专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）（解析版）.docx
专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点串讲）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练3考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2】利用等体积法求点面距8考点清单02异面直线所成角12【考试题型11异面直线所成角12【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围16【考试题型3】已知线线角求参数19考点清单03直线与平面所成角21【考试题型1】直线与平面所成角（定值）21【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）25【考试题型31直线与平面所成角（探索性问题）31考点清单04两个平面所成角36【考试题型1】两个平面所成角（定值）36【考试题型2】两个平面所成角（最值或范围）41【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题）49一、思维导图二、知识回归知识点Oh点到平面的距离如图，已知平面。的法向量为，/4是平面内的定点，P是平面。外一点.过点P作平面的垂线/,交平面a于点。，则是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=|AP=I='P''nnn知识点02：用向量运算求两条直线所成角已知。，人为两异面直线，A,C与B,。分别是。，上的任意两点，。，b为所成的角为夕，则ACBDaCBDcos<AC,BD>=cos=cos<AC,BD>=j-.IACIlBOlIACH8。y知识点03：用向量运算求直线与平面所成角设直线/的方向向量为，平面a的法向量为，直线与平面所成的角为。，CI与U的角为少，则有COS0=猿彳Sine=Icose=上曲.（注意此公式中最后的形式是：Sine）知识点0%用向量运算求平面与平面的夹角若R4_La于A，PB工0于B，平面交/于E，则NAEB为二面角。一/一夕的平面角,ZAE8+ZAP8=180.若4%分别为面。，夕的法向量cosed/>=/L工COSe根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;I1Il«2I若二面角为锐二面角（取正），则COSe=ICOS<4,%>1；若二面角为顿二面角（取负），则COSe=-ICoSVnI,%>|；三、典型例题讲与练考点清单Ol点到平面距离【考试题型1利用空间向量求点面距【典例1】(2023上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中)如图，正方体ABcd-ABCA的棱长为2,E为线段。的中点，尸为线段B瓦的中点，则直线FG到平面ABIE的距离为.【详解】AE/G，尸GU平面ABE,AEU平面AqE,.FC1/ABiE,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点G到平面AB1E的Ef漓，如图以O为坐标原点，DA所在直线为X轴，OC所在直线为y轴，OR所在直线为Z轴，建立坐标系,则A(2,0,0),4(2,2,2),G(0,2,2),打0,0),尸(221),F=(-2,0,l),AE=(-2,0,1),AB1=(0,2,2),ClBt=(2,0,0),设平面ABlE的法向量=(x,y,z)fi-AE=-2x+z=0n-ABl=2y+2z=0另z=2,则7=(1,-2,2),设点G到平面AqE的距离为d,故答案为：g【典例2】(2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习)已知正三棱柱48C-AUG的所有棱长均为2,。为线段CG上的动点，则A到平面AiBD的最大距离为.【答案】2【详解】取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-AqG为正三棱柱，所以AE_L8C,AAJ平面A8C,因为AEU平面ABC,所以A1LAE,所以以A为原点，AE所在的直线为轴，AA所在的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC-AlMG的所有棱长均为2,所以A(0,0,0),8(1,5,0),C(T,I),A(0,0,2)，设。=W(OKm2),则0(1,后,，所以A8=(1,3,0),B=(l,3,-2),BD=(-2,0w),当机=O时，BD=(-2,0,0),设平面A8。的法向量为=(,y,z),则nA.B=x+3y-2z=0_/-,令z=L则=0,2,，nBD=-Ix=H'7设A到平面4/。的距离为"，则JA823221d='l-l=,n4+37当TMWO时,设平面ASD的法向量为百=(,b,c),则nAiB=a+>3b-2c=0(4-m2、«_.»令=l,则=I,一,BD=-2a+me=0kj3mf11)设A到平面4/。的距离为“，则4-ndAB1+-Wp三4V3trr43m2+16-8/?i+w2+12JmT）2+6，所以当机=1时，d取得最大值专=应,所以A到平面AB。的最大距离为,故答案为：近【专训11】（2023上广东深圳高二校考阶段练习）在三棱锥尸-ABC中，PC，底面ABC,/8AC=90,AB=AC=4,/PBC=45,则点C到平面BAB的距离是.【答案】±633【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，A则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),p(0,4,4),所以AP=(0,4,42),=(4,0,0),PC=(0,0,-4).设平面RAB的一个法向量为Z=(X,乂z),mAP = O, 则<m AB = O,4y+4>z = 0, 4x = 0,46令Y=叵,则z=T,所以加=仅,应,一1),pC-m所以点C到平面PAB的距离为d=Lrr-°网3故答案为：还3【专训l2*2023上安徽高二合肥一中校联考阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC/平面ABCD,底面ABCO是边长为2的正方形，二PBC是等边三角形，M,N分别为A8和PC的中点，则平面OMN上任意点到底面ABC。中心距离的最小值为.连接AC,8。相交于点0,。点为底面ABCZ)的中心，取5C中点为E,连接EaEP,则EP_LBC,因为平面尸8C上平面48CD,则EP/平面ABCO,以点E为原点，分别以EaEaE户为XMZ轴正半轴，建立如图所示空间百角坐标系,且底面48C。边长为2,PBC是等边三角形，则。(2J0),M(l,TO),C(OJO),P(0,0网,则 N3,0(1,0,0),则 MN= -1,-,DN-2,总,O。= （IJO）,设平面OMN的法向量为=（乐y, Z）,、33n MN = -x + -y + X- Z = O2 2r,解得，-13DN = -2xy + z = 022X = -2y1- ,取 z = 7 ,则 y = -3 , 3z = -Jyx=23,所以=仅有,-6,7）,旦平面力MN上任意一点到底面ABa）中心距离的最小值即为点。到平面DnJ33DMN的距离，则d=jj=-j=-64o故答案为：立8【考试题型2利用等体积法求点面距【解题方法】等体积法【典例1】（2023上上海高二校考期中）已知三棱锥P-ABCPA=P8=l,PC=2,且RtPB、PC两两垂直，则点P到平面ABC的距禽为.【答案】吸加【详解】设点P到平面ABC的距离为d因为PA、PB、PC两两垂直，且尸A=P8=1,PC=近,所以A5=,AC=3,BC=BS么Zi=IXIxl=；,在JIBC中，CoSC=罢乎=|，所以SinC=Mly=岑所以XSinC=x冷=4所以VP-ABC=VA-PBC=；X与h=O应解得：h=叵.5故答案为：叵5【典例2】（2023上山西大同高二统考期中）在长方体ABez）中，DA=2D4=2OC=2,E,尸分别是棱AB,CG上的动点（不含端点），且AE=b,则三棱锥4-0防体积的取值范围是.【答案】罟【详解】法一：以。为原点，分别以亶线以DCDA为苍Mz轴建立空间直角坐标系£)一%.如图所示，设 E( 1,办 O) (O V m < 1),而 D(0,0,0), A (1。2),则 F(Xni)yDE = (l,w,0),DF = (0,1,叫 DAI =(1,0,2),设平面DEF的一个法向量为=(演y, z),DE Zi = 0x+My = 0,则= 八，令 z = T,则 y = w,x = -mDFn=Oy + mz = 0所以平面£石户的个法向量为"=(,zn,-i),点A到平面DEF的距离d =坨"=/ "八2z+n2 + l因为IDEI=I W7I= Jl +>,I= 2(z-z+l)设ADEF中的EF边上的高为h ,则h = J DE |2-rm l 2nr +m+2S DEF =婀力 KM?-" + J病+m + l Iyjm4 +m2 +1 »所以匕W)M诋d = "/(0 < "2 < 1),所以三棱锥A - DEF的体积的取值范围是故答案为:法二：设4E = CF = x(0<x<l),延长BC到G,使得CG = ,WiJtanZCFG = -=- CF 2tan ZC1CB1 =CC1 2则 NCR7 = NCC4,于是尸G /80,而长方体ABCo-A4GA的对角面A1BC。是矩形，则有4Q80FG,又ADU平面AOE,尸Ga平面AQE,于是FG平面A。所以产到平面4。E的距离等于G到平面DE的距离，12由等体积法可知匕_£)所=%_,他£=-AlDE=-DEG=，S.DEG=,SDEG»IS=S-S-S。+1+彳)xlxx(l-x)(l+-)12乂“ADEG-J梯形ABGD°DE°CD2,x2*,='"'，,''=十'22224【专训11】(2023上山东高二校联考期中)将边长为2的等边JWC沿8C边中线AO折起得到三棱锥A-BCD,当所得三棱锥体积最大时，点。到平面ABC的距离为.【答案】叵7【详解】由题意知：当Cz)J时，三棱锥A-BCQ有最大体积，此时：BC=4bD2+DC?=e所以：SwC=gBCJa8?-()=*'SBCD=QXBDXDC=Q,因为vr>-ABC=vA-BCD,所以gSmbc=SabcdAD,所以力=S A0>BC2故答案沏呼【专训l2（2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-ABG中,AAi=AB=AC=BC=21点。是AC的中点，则点用到平面A8O的距离是.AB=BC=AC=I,.ABC是等边三角形，又。是AC中点，所以BOJ.AC,因为三棱柱ABC-A妫G是直三棱柱，所以AA_L平面ABC,可得AAI8。，又AA,Ae是平面AACG
