2023-2024学年湘教版必修第二册4-3-1空间中直线与直线的位置关系第2课时异面直线学案.docx

第2课时异面直线用“川川川勿川川川川川川勿”川川川川W"HW"川川卅1卅多由团圆陶课前预习教材要点要点一异面直线的画法异面直线的表示，一般借助辅助平面.如图，图中的两条直线86均为异面直线.要点二异面直线的另一种判断方法Q与平面的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线.要点三异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线平行的直线，这两条直线所成的锐角或直角，叫作两条异面直线所成的角.2 .范围：.3 .如果两条异面直线a与8所成的角为90。，则称这两条异面直线互相垂直，记作.状元随笔（1）异面直线所成角的定义的理论依据是等角定理.（2）两异面直线所成角的大小与点0的选取无关，所以在具体计算两条异面直线所成角的问题中，点O经常选在一些特殊的位置或两异面直线的一条上.（3）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.基础自测4 .思考辨析（正确的画“，错误的画“X”）（I）分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线.（）（2）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线.（）（3）过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线.（）（4）两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直.（）5 .已知a,b是异面直线，直线。直线a,那么。与b（）A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3.在三棱锥S力比中，与弘是异面直线的是（A.SBB.SCC. BO.ABD. 若N4如=120°,直线a/OA,a与如为异面直线，则a和阳所成的角的大小为.W川川川“川川川川"卅川川川川川出川川川川川川川川川川Ih课堂解透川I川川川川川川川卅卅川川川川川川川川川川川川川卅Ih题型1异面直线的判断例1(1)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线()A.平行B.异面C.相交D.以上皆有可能(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么4况CD1EF,团这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？方法归纳判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内.(2)利用异面直线的判定定理.(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.跟踪训练1如图，点HQ,R,S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与ES是异面直线的一个图是.题型2求异面直线所成的角例2如图，在.正方体ABcPEFGH中,。为侧面力颇的中心.求：(1)BE与CG所成的角；(2)Fo与BD所成的角.HG变式探究1在本例正方体中，若是平面W的中心，其他条件不变，求仍和所成的角.变式探究2(变换条件)在本例正方体中，若M川分别是即CG的中点，且4G和EM所成的角为Ot求却/和HV所成的角.方法归纳求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角一一用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线.(2)求一一转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论一一设由(2)所求得的角的大小为。.若0°<090°,则。为所求；若90°<6<180。，则180o-0为所求.提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角。的范围是0°<"90°.跟踪训练2如图，已知圆柱的轴截面力能4是正方形，。是圆柱下底面弧力8的中点,C是圆柱上底面弧AlBl的中点,那么异面直线4G与比'所成角的正切值为W.白 C易错辨析忽略异面直线所成的角的范围致误例3如图1,己知空间四边形力吸中，AD=BCtMN分别为月昆切的中点，且直线比与陶V所成的角为30°,求a1与力。所成的角.解析：如图2,连接儆并取其中点连接可EM,%EN"BJMEHAD,故/以的（或其补角）为BC与JW所成的角，ZMEN（或其补角）为BC与4。所成的角.由AD=BCf知时E=EN,N图介=NEW=30。，入位V=I80°-30°-30。=120°.丁异面直线所成角8（O0,90°,，以7与曲所成的角为60°.易错警示易错原因纠错心得解本题时易忽略异面直线所成的角。的范围 是0° < 90o ,从而由乙把沪=120°直接 得出用与力所成的角为120°这一错解.在未判断出乙把邛是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果乙跖V为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.课堂十分钟1 .若空间三条直线a,b,。满足a_LZ?,b/cf则直线a与c（）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交2.G如图，在正方体力成力4笈G”中，直线物与4G的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直3 .（多选）如图所示，G,HtM1N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线做MV是异面直线的图形有（）4 .如图，在正方体ABCD-A,B'CDr中，异面直线A,B'与回所成的角的大小为W.5 .在空间四边形力阳9中，AB=CDf且力8与切所成的角为60°,E,产分别是比，AD的中点，求所与4?所成的角的大小.第2课时异面直线新知初探课前预习要点二相交要点三2. （0°,90°3. aA_b基础自测1 .答案：(DX(2)×(3)(4)2 .解析：假设。与人平行，由于C&,根据基本事实4可知a儿与外是异面直线矛盾，故C与6不可能是平行直线.答案：C3.解析：如图所示，SB,SC,AB,力。与弘均是相交直线，8。与弘既不相交，又不平行，是异面直线.答案：C析：因为a勿，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以方与如所成的角为60°.答案：60°题型探究课堂解透解析：(D平面a,S相交，如图所示：则au,k,a/bi又ac。，Cy£,a、C异面；CU£,de,c,d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交.分别为46与傲AB与GH,EF与GH.还原的正方体如图所示.答案：(I)D(2)见解析跟踪训练1解析：中再微中RSPQ,中斤S和尸0相交.答案：例2解析：如图，因为CGBF,HG所以NW'（或其补角）为异面直线BE与夕所成的角.又在婀中，NEBF=45°,所以助与3所成的角为45°.连接掰因为HDEA,EA/FBy所以M必又HD=FB,所以四边形的泌为平行四边形.所以如切，所以/你7（或其补角）为异面直线内与劭所成的角.连接胡，AF,易得FH=HA=AF,所以方为等边三角形.又知。为加的中点，所以/期830°,即必与切所成的角为30°.变式探究1解析：连接EG,HF,则夕为/庐的中点.连接加；AH,则。加：又CD"AB,所以N胡尸（或其补角）为异面直线少与切所成的角.由于/!跖是等腰直角三角形，所以N氏/=45°.故OP与切所成的角为45°.变式探窕2解析：连接物.因为四边形EG亦是正方形，所以BF碳CG.因为必，/V分别是跖，CG的中点，所以G.所以四边形成GW是平行四边形.所以BN/MG.所以N力6M或其补角）是异面直线力G和以所成的角，N4始（或其补角）是异面直线4V和笈V所成的角.因为Af=MG,所以ZAGlIf=NMlG=.所以/4监=180°-2Ot即4犷和AV所成的角为180°-（180o-20）=20.跟踪训练2解析：取圆柱下底面弧力8的另一中点连接AD.因为C是圆柱下底面弧四的中点，所以力比，所以直线/1G与力所成的角即为异面直线NG与9所成的角.因为G是圆柱上底面弧4笈的中点，所以J月因为圆柱的轴截面力眼4是正方形，所以Cg五AD,所以直线力G与/1所成角的正切值为VL所以异面直线/1G与比所成角的正切值为答案：2课堂十分钟1 .解析：因为a_L5,bcf所以a_Lc.答案：B2 .解析：因为正方体的对面平行，且直线4G与劭不平行，所以直线班与4G异面，连接力G则力加4G,ACVBD,所以直线勿与4G垂直，所以直线加与4G异面且垂直.答案：D3.解析：A中，直线67/J处B中，G,，/V三点共面，但.廨平面向州，且姆阳因此直线组与赵V异面；C中，连接,监（图略），GMHN,因此，阳与JW共面；D中，G,机N三点共面，但唐平面G阶；且火JW,所以67/与JW异面.答案:BD4 .解析：.8C"8'C,NHB,C即异面直线4B'与比所成的角，且N"B'（=90°.答案：90°5 .解析：取力。的中点G连接比，FG,MJEG/AB,EG=B,GF/CD,GF=*D,MB=CD,知EG=FG,，/6£尸（或其补角）为纺与小所成的角，/面或其补角）为脑与切所成的角.力8与切所成的角为60°,AEGF=或120°.由笈；=&；,知心为等腰三角形，当/仇/=60。时，/劭F=60°；当N£6户=120°时，GEF=30°.，与脑所成的角为60°或30°.