2023一模分类汇编-导数、解析几何、圆锥曲线专题汇编（解析版）.docx
目录专题一导数21.1导数大题2专题二直线与圆92.1 直线与圆的位置关系9专题三圆锥曲线112.2 双曲线及其性质112.3 抛物线及其性质132.4 直线与圆锥曲线的位置关系17专题一导致1.1导数大题1. (2022-2023海淀高三下4月一模20-15分)已知函数/(x)=e"-X,(I)当时，求曲线y=(x)在点(0,7(x)处的切线方程;(II)求/(x)的单调区间；(ill)若存在Xp/wl-Ll，使得/(%)/(%2»9,求。的取值范围.【解答】(1)当。=1时，f(x)=ex-f则/'(x)=e，-l,得f(0)=l,0)=0,所以曲线y=/M在点(0,7(0)处的切线方程为y=1.X卜8,-等)Inaa/'(X)-0+/(X)极小值Z(2)(x)=ev-x,则r(X)=ae"'-l当0时，(x)<O恒成立，此时/()在R上单调递减当a>o时，令ra)=o,解得X=-小a此时/(X)与/(X)的变化情况如下：由上表可知，"X)的减区间为8,-等增区间为(一等,+OO综上，当a0时，/(X)的减区间为(>,xo),无增区间当a>0时，/(%)的减区间为1,-呼)，增区间为,等,+)(3)将/(x)在区间T,l上的最大值记为x)g,最小值记为/a)小，因为存在知©Til,使得3)f(x2)9,所以3xTl,使得If(X)I3成立，即/*)ma.3或/(X)Ini11-3,x-lj,f(x)=ex-x>-x>-i若3xTl,使得If(X)I3成立，只需/(x)z3,由(2)可知/()在区间上单调或先减后增，故为/(T)与/中的较大者，所以只需当f(7)3或/3即可满足题意，即只需/(T)=e-0+l3或/=e"-l3,解得Tn2或«>In4,综上所述，。的取值范围是(y,-ln2qin4,+?).2. (2022-2023西城高三下4月一模19-15分)已知函数/(x)=ex-cosX.(I)求曲线y=f(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(II)设g。)=Xr(X)-/(x)，证明：g(x)在(0,+>)上单调递增;(III)判断3/(5与4/(3的大小关系，并加以证明.34解：(I)f,x)=e*+sinX.1分所以f(0)=0,/'(O)=I.3分所以曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y=x.4分(II)由题设，g(%)=x(er÷sinx)-(er-cosx)=(X-I)e'+xsi11+cosx.所以g'(x)=x(ex+cosx).6分当x>0时，因为e*+cosx>e0+cosx=1+cosxO，所以g'(x)>0.8分所以g(x)在。内)上单调递增.9分(III)3>4.10分证明如下：设(x)=/("),X(0,+co).11分X则,(x)=XWa)=驾.12分由(II)知g。)在(0,3)上单调递增，所以g(x)>g(0)=013分所以'(幻>0,即(x)在(0,E)上单调递增.14分所以力(；)>%),即3/(,>4/(>.15分3. (2022-2023东城高三下4月一模19-15分)已知函数f(x)ax2-xlnx.(I)当。=0时，求/(力的单调递增区间：(II)设直线/为曲线y=(x)的切线，当。时，记直线/的斜率的最小值为g(),求g()的最小值；I311(In)当。0时，设M=yy=r)(丁,7),=jy=,(),x(-求2a4a4。2a证：M建N.解：(I)当4=0时，/(x)=-xlnX,定义域为(0,+oo).,(x)=-Inx-I,令尸(X)=0,得=一，当XE(Oj)时，,(x)>O,e当X£(J,+8)时，fx)<O»e所以/(x)的单调递增区间为(02)5分e(II)令(X)=f,(x)=2ax-nx-,孙一，,、-12ax-l则h(x)=2a=.XXe1当一时，令"(x)=0,得x=.22a当x(0,;)时，z,(x)<O,(幻单调递减；当x(-!-,+oo)时，h,(x)>0,*)单调递增；2a所以当X=时，h(x)最小值为g(a)-(一)=ln(2a).2a2a当士时，ln(24)的最小值为1,2所以g()的最小值为1.11分113(III)由（三）知r(x)在一,上单调递减，在一,士上单调递增,4a2a2a4a3I3I1I又,)二不Tn,，ff(一)=-l11-f4a24a4。24。1311所以M=(ln(2o),-In),N=(ln(24),In-),24a24。111331(In-)-(In)=lnInl=ln3-l>0,24。24。4。4。所以MSN.15分4. (2022-2023朝阳高三下4月一模19-15分)已知函数f(x)=e2'-Or-1(eR).(I)求F(X)的单调区间;(II)若f(x)>0对Xw(0,+oo)恒成立,求的取值范围；(In)证明：若/O)在区间(0,”)上存在唯一零点不,则与<。-2.解：(I)因为/axe?'-以一l(xR),所以r(x)=2e2x-.若。4)，则r)>o,所以AX)在区间(y,y)上单调递增.若>0,令/'(x)=0,fx=-ln-.22当x(M,gl吟)时，f,(x)<0,所以/(X)在区间(-co-Inq)上单调递减；22当X(In,+co)时，/'(X)>0»22所以Ja)在区间j4收)上单调递增.综上，当时，/U)的单调递增区间为(y,y)；当白>0时，/S)的单调递减区间为(吟)，单调递增区间为(Nngy).5分2222(II)若.W2,当/>0时，2e2x>2,(x)=2e2x-a>0,则/(X)在区间(0,y)上单调递增.所以/(x)>/(0)=0.所以1W2符合题意.若a>2,则;呜>0.由(I)可知/3在区间(0-In号上单调递减，22所以当x(0,;Ing时，/(x)</(0)=0,不符合题意.综上，。的取值范围为(to,2.Il分(III)若/(冷在区间©”)上存在唯一零点飞,ei则1>2,XO>O且e"rO-I=O,即。=.欲证：x0<a-2,p2_I只需证：X0<2>只需证：e2%>(x0+1)2,即证：e->一+l.由（三）知，e2*-2x-l>0在区间(0,+)上恒成立,所以e-xT>0在区间(0,+oo)上恒成立.所以>x0+1.所以玉v-2.15分5.(2022-2023丰台高三下4月一模20-15分)已知函数/(x)=x+3(>0).e(1)求函数力的极值;(2)若函数/(另有两个不相等的零点七，X2.(i)求的取值范围；（三）证明：xx+X2>21nq.【详解】(1)因为/(x)=x+:,所以(")=1一=My因为>0ecc由f'(x)>0有：X>In6Z,由f,M<。有：x<na所以函数/(外在(-8,Ina)单调递减，在(InqE)单调递增所以函数“无极大值，有极小值f(ln)=l+lno(2) (i)由(1)有：函数/CO在(-,ln)单调递减，在(Ina,÷)单调递增若函数/(x)有两个不相等的零点七，巧，则/(Ina)=I+lnv,解得。寸所以O<<L因为当x+时，二0,3+x+,所以/(%)田所以/(x)=x+3在(Ina,+oo)上有1个零点e当Xf-OC时,e, IeJ又“指数爆炸”，所以/()->+所以*) = X+5在(Y),ln)上有1个零点综上，当0<。<,时，函数f(x)有两个不相等的零点与，/ e(ii)由(i)有：当0<<!时，函数f(x)有两个不相等的零点巧， e不妨设 <ln< ,构造函数F(X) = f(x)-f(21n0)因为八幻=1-£，所以小)=1-£ + 1-隽7 = 2-停+因为所以巴+ £2J巴反=2,当前仅当n 二 hw时取到等号 e eA a VeX a所以尸0)=2-(/+，卜0,所以尸(x) = f(x)-(21n)在R上单调递减又% > Iniz,所以 F(x,)< F(ln«) =/(ln6)-(216z-ln«) = 0即尸(2)=(w)-/(2Ina-W)<0,即F(W)<2Ina-Z),又/(/) =)(%)所以/(%)</(2皿。一天)，又 M<ln4<X2,所以 Zina - % <E由有：函数f(x)在(-,ln)单调递减，所以x>21na-七即+x2>21n,结论得证专题二直线与圆2.1 玄婉与BI的柱直关东1. （2023丰台一模03）已知圆（x2）2+（），-3）2=/（r>0）与）,轴相切，则r=A.2B.3C.2D.3【答案】C【分析】求出圆心和半径，即可求解.【详解】Ia（A2）2+（匕3）2=产G>o）的圆心为（2,3）,半径为厂因为圆与轴相切，所以r=2故选：C2. （2023海淀一模06）已知直线y=x+力与圆O：d+V=4交于AI两点，且zMO5为等边三角形，则小的值为A.±2B.±3C.±2D.±6【答案】D【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离"，结合点到直线的距离公式列出方程求出机的值即可.【详解】圆O:/+y2=4的圆心为ao,o）,半径r=2,若直线y=x+?与圆。交于48两点，且/108为等边三角形，则圆心。到直线y=+机的距离d=6，又由点到直线的距离公式可得3.解得m = 土卡 ,故选：D.3. (2023朝阳一模04)已知点A(-l,0),5(1,0).若直线y=米-2上存在点尸，使得ZAP8=90°,则实数k的取值范围是A.(-00,-5/31B.>/3,+00)C.-,3D.(x),-1U3,+oo)【答案】D【分析】将问题化为直线y=丘-2与圆/+V=I有交点，注意直线所过定点（0,-2）与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求左的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点（0，-2）的直线），=依-2与圆/+）,2=1有交点,故选：D4. （2023石景山一模09）已知直线/:履-y-24 + 2 = 0被圆C长为整数，则满足条件的直线/有A. 6条 B. 7条 C. 8条 D.9条【答案】B+ I）? =25所截得的弦专题三国锋曲线3.1 双曲战及其性质1. （2023石景山一模04）已知双曲线工-1=1S>0）的离心率是2.则b=4b-A.12B,23C.3D.g【答案】B
