第7讲隐零点.docx

第7讲隐零点利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异可分为以下两类：(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.(2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点.我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下：第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程/'(与)=0,并结合一%)的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围.第二步:以一阶导函数零点/为分界点,说明导函数r(x)在/左、右两边的正、负号,进而得到了(力的极值表达式与).第三步:将零点方程广(/)=0适当变形,整体代人极值式子/K)进行化简证明.有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代人即可.请注意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用累函数替换,这是简化函数的关键.无参隐零点问题隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数/(X),导函数方程r(x)=o的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为：第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程r()=o的根为%.第二步:写出零点等式r(%)=o成立.第三步:取点找出注意确定与的合适范围。第四步:把零点等式变形反带回了"),进行简化,从而求解.例1已知函数力=3e*+x2,g(x)=9x-L证明:/(x)>(x).【解析】证明：设X)=f(x)-g(X)=女，+幺-9x+l,."(x)=3e*+2x-9为增函数，.可设/()=0."(0)=-6vl)=3e-7>o(O,1).当x>/时,/(x)>0.当x</时，"(x)<0.(x)min=(用)=3e%+%-9+1.又3eA°+2xo-9=O,3e而=-2x0+9./(%)min=-2xo+9+-9+1=-11xo+1O=(o-1)(xo-1O).(O,1),.(o-1)(-1O)>O,J7(x)min>O,(x)>(x).【例2】已知函数冗)=e'-ln(x+2),求证:x)>0.【解析】证明：:(力=-+在区间(-2,+8)上单调递增,又(-)(o,r(o)o,(X)=O在(-2,+oo)上有唯一实根x0,且%(-l,0).3x(-2,题)时,V0.当xw(%,+a)时J'(x)>O.从而当X=XO时,/（X）取得最小值.由/a）=。,得得=1Xo + 2Jn(Xo+ 2) = T0,/(x)J()=+/=(A：+>0/(J)°人CI4I乙【例3】已知函数/(Jv)=V-X-Jdiu.证明:/(x)存在唯一的极大值点与,且e"<(Xo)<24.【解析】证明：/(x)=x2-x-xlnx,r(x)=2x-2-lnx.设MX)=2x-27nx,当XW(0,；卜j,z'(x)<0.当xe(；,+e)时,z'(x)>O.力（无）在（0,；单调递减,在（；,+/单调递增.又人32）0,仁）0,刈1）=0,.（x）在（。，；零点只有与，在；,+8）零点只有1,且当尢（0,）时,A(x)>0.Sx(,1)时,力(%)<0.当x(L+e)时,P(<)>0.,(x)=A(x),X=%是/(x)在(0,1)上的唯一极大值点.由Z()=OWInr0=2(-1).,()=(1-)由毛(0,l)得0<f(不)<；.TX=Xo是/(x)在(0,1)的最大值点,由e"(O,l),r(e->O得/()>(e,)=e-2'e2<()<22.含参隐零点问题含参函数的隐零点问题:已知含参函数/(x,),其中。为参数,导函数方程f(x,a)=0的根存在,却无法求出,其解题步骤为：第一步:设方程/'(x,)=0的根为小.第二步:写出零点等式/'(x,)=0成立时,含毛,的关系式.第三步:取点找出飞的合适范围,该范围往往和有关.第四步:反带回/(x)进行求解,通常可以消参.例1设函数/(x)=e2x-如%.(1)讨论/(x)的导函数M)零点的个数.z、2(2)证明:当。>0时/(x).2a+6zln-.【解析】/(力的定义域为(0,+e)J'(x)=2e2xq(x>0).当0W,(x)>0,(x)没有零点.当a>0时,.e2v单调递增,-q单调递增.X.J'()在(0,+。)单调递增.又r(G)>O,当b满足0<匕<：且方时,r（八）<O,故当>0时，r存在唯一零点.(证明)由(1)题,可设尸(可在(0,+8)的唯一零点为小,当工.0,不)时，r()<o当5,+<到时,r(X)>0.故“X)在(0,0)单调递减,在(%,+力)单调递增，.当Jr=Xo时,/(x)取得最小值,最小值为/(¾).由于2e?"-q=0,a22./(j)=f+4fln-.2a+Hn-.2%)aaz9故当>0时,/(x).2+ln-.【例2】已知函数/(x)=e*-In(X+m).当典,2时,证明:/(x)>0.【解析】证明：函数/(力的定义域为(-n也),则r(x)=e=,=(i)el.x+mx+m设(x)=(x+n)ex-l.g'(x)=(x+m+l)e'>0,.g(x)在(-肛+)上单调递增.又，>(-n)=-10,(2-w)=2e2-w-12×1-1>0.g(x)=0在(-加,+8)上有唯一实根x0.当xw(-m,x0)时,g(x)vOJ'(x)<O.当xw(%,+<j)时,且(工)>0,/(工)>0,从而当工=冗0时，/(可取得最小值为/()由方程g(x)=0的根为X0,得e"=3,ln(x0+M=To故f(0)=-+x0=-+(/+/W)-".2-机，当且仅当/+m=l时,取等号.x0+mx0+z又.,，2时,.j(%).0./(毛).0取等号的条件是+m=l,e%=M匕及?=2同时成立,这是不可能的,()>0,½(x)>0.例3已知函数/(x)=e*M,g(x)=用nx+Z(x+l).求司的单调区间.证明:当攵>0时,方程x)=Z在区间(0,+8)上只有一个零点.设MX)=/(x)-g(x),其中Z>0,若MX).0恒成立,求人的取值范围.【解析】f(x)=xex+l,.(x)=ex+,+ex+,=(x+l)ev+1,令r()>o得>.令r(x)<o得x<.故/(x)的单调减区间为(-8，-1)，单调增区间为(T+8)(2)证(明)设r()=()-=xex+l-k,k>O9则(x)=+l)e叫由题可知力在(T+8)上单调递增，又r(0)=-MOj=屁"-=MeE-10,.j(x)在(0,+e)上只有一个零点.故当人>0,方程/(x)=A在区间(0,+力)上只有一个零点.(3)由题意得MX)=/(x)-(x)=ev+l-lnx-A:(x+l),(x>0,Z:>0),.(x)=(x+)ex+l-k=(xex+,-A:).令/f(x)=0,贝IJXeM女=0.由题得MX)=m川-左,Q0,在区间(0,+。)上单调递增且只有一个零点.不妨设r(x)的零点为与，则当冗(0,x0)时,r(x)<0,即h,(x)<0,此时z(x)单调递减.当(+8)时J(X)>0,即,(x)>0,此时A(x)单调递增，/.函数MX)的最小值为(毛),且(为)=与户"“一Ah/-Mg+1)由与e。一A=0得Xo=-,故ev,+1h(xo)=k-kn-r-k(x0+1)=攵一kink.e'>根据题意(小).0,即k-dnk.O,解得0<鼠e.故实数Z的取值范围是(0,e.隐零点求最值利用隐零点求最值的步骤：第一步:求出一阶导函数/'(冗),并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判定).第二步:利用零点存在定理判定r(M存在零点,写出零点方程广(不)=。,并确定零点取值范围:0(0).第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式/(x0).第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式：ex°-!-=0u>e"=<>x0e,=IoIn(XOe")=Inx0+x0=0【例i】求函数/)=+i+(>o)的最大值.【解析】由已知得1+xer-(x+l)ex×(x+lnx+l)F(X)(Xel)-(x+l)(x+lnj)x2ex.令¢(冗)二冗+Inr(X>0),则“(x)=1+>0.函数x)在(0,+)上单调递增.-l=-(o,()=)o,ee.存在XO(L1,使得*(%)=毛+1叫)=0,其中X()+ln%0=0<>XOe%=1(指对互化).当OVXVxO时,e(x)(0,F,(X)0.当X>/时,(x)>0,F(X)V0.打力在(0,%)上单调递增,在(%,+8)上单调递减./(X)max=f()=+*+l=1.XOe【例2】求尸()=x(et-l)-lnx+2,x>0时的最小值.【解析】F(x)=ev-l+xev-=eA(x+l)-=(x+l)fev->O.XXXj(x)=ev-,x>0.令/(x)=e*+J>0.MX)在(0,+上单调递增.=e-2(,(l)=e-l),存在唯一的小(；,1)使得Mxo)=e%-1=0当OVJrV不时/(x)<0,即尸'<)V0.当X>X。时/(x)>即尸(冗)>。故尸(X)在(0,瓦)上单调递减,在(如+8)上单调递增.FU)min=(ejb-1)-Inx0+2=XoeM7。-InXO+2,由于(%)=1°-=fxoe=1,XO再对XoeAO=1两边取对数得x0+Inx0=0.F()min=%e"-XO-InXO+2=1-0+2=3【例3】求G(X)=匕詈一e'+2的最大值.X-(1+111)_ir22【解析】,(x=5e、=TnX，>0.v7X2X2令(X)=TnA:-x2ev,则“(X)=-工一(2xe*+x2ex)=-xev(2+x)<O(X>0),./(6在(0,+。)单调递减又4(1)=1-ee2>0,/(1)=-e<0,由零点存在性定理知,存在唯一零点g,l),使MXo)=O,即-In0=Me%.两边取对数可得ln(-ln)=21叫+%,即In(-InA0)+(-1