极值点偏移问题判定定理（解析版）.docx

极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=（）,在区间（心勿上只有一个极大（小）值点七,方程/（）=o的解分别为巧，X2,S,axx2b,（1）若）（2of）,则甘&（»用,即函数/=%）在区间（如引上极（小）大值点儿右（左）偏；（2）S（x1）（2x0-x2）,则"i（）°,即函数y=f（x）在区间（和与）上极（小）大值点儿右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y=/（）,在区间血力）上只有一个极大（小）值点,则函数f（）的单调递增（减）区间为m,%）,单调递减（增）区间为（为力），由于axlx2b,有XVXO,且2/一勺VXo,又/（X）v（2-七），故W（）2%-2,所以空（）%,即函数极（小）大值点与右（左）偏；（2）证明略左快右慢(极值点左偏O?土产)左慢右快(极值点右偏o?土爱)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1 .方法概述：(1)求出函数/*)的极值点与；(2)构造一元差函数F(X)=+x)-(-x)；(3)确定函数?'")的单调性；(4)结合F(O)=O,判断尸。)的符号，从而确定/(%+外、/(%-工)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2 .抽化模型答题模板：若已知函数/3满足/(项)=/(毛)，/为函数Ax)的极值点，求证：xi+x22x.(1)讨论函数/(X)的单调性并求出了(X)的极值点；假设此处/5)在(-8，/)上单调递减，在(x°,y)上单调递增.(2)构造7(x)=(%+x)-(Xu-x)；注：此处根据题意需要还可以构造成尸&)=/*)-/(2x0-x)的形式.(3)通过求导/(X)讨论汽X)的单调性，判断出Ax)在某段区间上的正负，并得出/*。+工)与/(与一工)的大小关系；假设此处尸。)在Qy)上单调递增，那么我们便可得出P(X)>产(Xo)=/(%)-/(/)=O,从而得到：XXO时,/(+)>(0-).(4)不妨设x1v%<W,通过/(X)的单调性，/()=(),/(/+力与/C)的大小关系得出结论；接上述情况，由于>°时，/(/+幻>/(与一幻且</<%2,/(X)=F(Z),故/(-V1)=f(x2)=/+(-)>f-(x2-)=/(2x0-X2),又因为XV%,2%-<X。且M在(-8,)上单调递减，从而得到NV-,从而E+£<2/得证.(5)若要证明/'(七2)<0,还需进一步讨论七包与工的大小，得出营所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为斗+毛<2/,故WI<陶，由于，(*)在(-8，/)上单调递减，故七B<0【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明*o+x)与/(x°r)(11g(2x0-x)的大小关系;若试题难度较大，则直接给出形如X+毛<2/或，(后Z)Vo的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、对点详析,利器显锋芒1 .已知函数/U)=KeT(XwR).(I)求函数f(x)的单调区间与极值；(II)若XWX2,且U)=(三),证明：X+S>2.2 .函数/O)=XJgV与直线y=(>一g)交于A(N,a)、B(2,o)两点证明：x+X2<2.23 .已知函数)=一+lnx,若XHX2,且/(%)=/(M证明:。+巧>4.X4 .已知函数/(x)=(a2"+(x-if有两个零点.设/，是/("的两个零点,证明：x+x2<2.四、招式演练5 .已知函数/(x)=+lnx-3有两个零点、/(X1Vx2).X(1)求证：O<a<e2；(2)求证:x+x2>2a.26 .已知函数/(x)=21nx(R,a0).(1)求函数/W的极值；(2)若函数/(%)有两个零点和WaVX2),且a=4,证明：x1+X2>4.7 .已知函数/(x)=x-2Ltr-,+1,X(I)讨论函数/("的单调性；(2)当。=1时，正数4,满足)+(W)=2,证明：x,+x22.8 .已知函数/(x)=lnx+(a；卜一2r,eR.(1)讨论/("的单调性；(2篇/(可在定义域内是增函数目存在不相等的正实数中Xz使得"5)+(w)=-3,证明：西+吃>2.9 .已知函数/(x)=F(0)e(1)求函数/U)的单调区间；(2)当=1时，如果方程/(x)=，有两个不等实根X，求实数/的取值范围，并证明x+X2>2.10 .已知函数f(x)=lnx-x(。为常数).(I)求函数/(x)的单调区间；(H)若。>0,求不等式/(力-/弓7)>0的解集；9(In)若存在两个不相等的整数毛，%满足/()=f(A2),求证：3+2>-.11 .(1)试比较2/加与八-,。>0)的大小.X(2)若函数/*)=X-加的两个零点分别为七，占，求m的取值范围；证明：1+<2M.12 .已知函数)=(3x2-6x+6)ex-x3(e为自然对数的底数).(I)求f()的图象在ml处的切线方程；(2)求/(%)的单调区间和极值；(3)若士工X2,满足/(3)=/(乙)，求证：%+)<0.13 .设函数/("=1-二.(1)证明:xR,f(x)x；(2)令Mx)=Mf(X)求(力的最大值；如果NHZ,且力=WX2),证明：i+2>2.14 .已知函数f(x)=xT+"r(1)讨论/(x)的单调性；(2)设冷与是/(x)的两个零点，证明：X+%>4.15 .设函数/(x)=f-(-2)x-lnx.(1)求函数/O)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数，的值；(3)若方程/(X)=C有两个不相等的实数根毛，求证：/'(工产)>0.16.已知函数/(x)=e'-加(awR)在(0,+0)上有2个零点七、2(x1<x2).(1)求实数的取值范围；(2)证明：X1+X2>4.17 .已知/(x)=In(x+-nr("zR)求8)的单调区间；(2)设心1,Xm为函数/(X)的两个零点，求证：.-vl+<018 .已知函数/(x)=Inx,g(%)=+次一1,(,b三R)x(1)当。=1"=0时，求曲线y=()-g(x)在入=1处的切线方程；(2)当Z?=0时，若对任意的xl,2,/W+g(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)当4=0，>0时，若方程Kt)=g(t)有两个不同的实数解R,X2(X<X2),求证：x/+*>2.19 .已知函数/(x)=lnx+-s(seR).(1)讨论/("的单调性；(2)当r=2时，若函数外力恰有两个零点大,毛(0<西为)，证明：-v+>420 .已知函数f(x)=-or+xlnx.(1)若函数/0)=1-办+月门的图象与X轴有交点，求实数。的取值范围;(2)若方程/(X)=；有两个根为，且内<不，求证：X+>l21 .(1)试比较2加与x-'(x>0)的大小.X(2)若函数/*)=X-加的两个零点分别为巧，演，求"7的取值范围；证明：Xy+X2<i.参考答案：1 .(1)f()的单调增区间为(y,D,单调减区间为+),函数Ja)在X=I处取得极大值/，且/；(2)见解析.e【详解】试题分析：(I)先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间以及极值(2)为极值点偏移问题,先构造函数产(x)="x)(2r)1X(O,1,根据导数可得F(X)单调性，即得/(2-N)(N注/(乙)，最后根据/W单调性得2-x1<x2,即证得结论试题解析：(I)由尸(X)=(IT)/,易得外工)的单调增区间为(Fl),单调减区间为(1,÷),函数/(X)在X=I处取得极大值/。)，且"I)=B(II)由/(%)=/(W),X工七，不妨设玉<巧,则必有0<N<1<当，构造函数P(X)=/(l+x)-(IT),xe(0,lf则E'()=r(+)+f'(i)=言(*T>o,所以尸3在X上单调递增，F(x)>F(O)=O,也即/(l+x)>(l)对x(0,l颉立.0<x1<l<x2,则1一芭(0,l,所以/(1+(1TJ)=/(2-xj>(l-(I-N)=/(-V1)=/(x2),即/(2f)>(x2)f又因为2-$,x2(l,+),且/(x)在(Ly)上单调递减，所以2-王</，即证内+Z>2.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数力(X)=/()-g*)根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.2 .证明见解析【解析】由已知函数/O)的单调减区间为(-,1),增区间为(1，田)，依题意可设N<占，且当<1,%>1;然后构造函数Pa)=+)-f(i),利用导数证明：7>o,从而可证x+x2<2成立【详解】设Nr,函数/()=fTv的单调递减区间为(,i),单调递增区间为(L+),有工2>I,设厂(X)=/(l+x)-F(I-X),F,(x)=8(3-2x+l)>0,故F(X)单调递增区间为(f,田)，又P(O)=O,所以当工>0时，F(x)>F(O)=O,即x>0时，/(l+x)>/(l-x)f/(%)=/(9)=/(1+(9-1)>/(2-%)，又为<1,2-,4又函数/(%)=£-§/单调递减区间为(-,D,所以耳<2-%，即N+%2<2.【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题，主要考查学生的转化与化归思想，属于难题3 .证明见解析【解析】利用导数求得函数/(X)的单调性，得到/U)="/)时,必有M<2<七，得到4一内2,2222化简/(王)一/(4一玉)=+Inx1+ln(4-x1),令/?(%)=+lnx+ln(4-x),%4-士X4-x导数求得函数(力的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，因数)=2+inx的定义域为(o,÷),n'=-4÷-=,XXXX当XW(O,2)时，r)<o,函数x)单调递减；当x(2,+)时,V)>0,函数/(“单调递增,若/0)=/(%),则必有为<2<，所以4>2,22而/(百)一/(4-Xl)=+In石+ln(4-xl)X14xi22令Mx)=+Inx+ln(4-x),X4-x2则。)=-72117 +(4-x) X 4-X-2(4-J、-2f+(4-处2+J(4-J)2(4-)28。一2).(0a-2(4-)2'所以函数人“)在