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最优控制PROJECT对单级倒立摆系统进行控制的研究组别：第二小组成员：余凯刘姓陶敬导师：管晓宏专业：系统工程班级：硕325/硕330院所：西安交通大学系统工程研究所日期：2004.05.18二、单级倒立掘余统挂制问题的提出-3三、单级倒立握乐院挂制问题的分析一4四、对单级倒立旗东统进行控制并利用SlMU1.lNK进行仿真8*不同控制C调节）方景的比较54M、本次Project与实标中对单级例立掘东统进行越制的区别55七、工作情况和心存体会-56八、感谢和小结56对单级倒立摆系统进行控制的研究一、倒立41余统简介1 .引言倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究在理论上、实践上和方法论上具有重大意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。对倒立摆系统进行研究可归结为对非线性多变量绝对不稳定系统的研究,其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途。近年来,国内外不少专家学者对一级、二级倒立摆进行了大量的研究，有些研究人员对四级倒立摆系统进行了研究。人们试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法对严重非线性和不稳定系统的控制能力。对倒立摆系统进行控制的研究如今已取得了巨大的成果，人们研究了闭环状态反馈极点配置、闭环输出反馈极点配置、1.QR线性二次型状态反馈最优控制、1.QY线性二次型输出反馈最优控制、PID控制、模糊控制、神经网络控制、拟人控制、专家控制以及多种控制理论的综合控制如基于神经网络的模糊控制、基于PID的模糊控制、基于遗传算法的模糊控制，模糊专家控制等等，已经对单级和二级倒立摆系统实现了较好的控制，有些研究人员还对四级倒立摆控制系统进行了成功地实验和开发.2 .倒立摆系统的图示卜.面我们来简要地看一下单级和二级倒立摆系统的图示（图1和图2）：U图1单级倒立摆系统的图示图2二级倒立摆系统的图示以下我们仅研究对单级倒立摆系统的控制。二、单级倒立旗氽统旌制问题的援出1 .单级倒立摆系统的组成图3单级倒立摆系统如图3所示，单级倒立摆系统由一个可以在导轨上滑动的小车和一个可以绕小车中部的较接点的杆组成。我们设水平方向为X方向，小车的质量为M,杆的质量为m,杆的长度为21.,转动惯量为J,小车与地面的摩擦系数为b。杆的摆角为O,杆的角速度w,小车的位移为X,小车的速度为V。各种参数的具体数值如图中所标。2 .对单级倒立摆系统进行控制的目标我们对单级倒立摆系统进行控制的基本目标就是：使系统稳定，鲁棒性好，即系统受到扰动后能够较好的恢复到稳态。使系统的瞬态和稳态性能良好，即系统的调节过程应当迅速，振荡不要太强，并能较好地改善静态时的摆动现象。这即是要求对倒立摆系统进行控制后能够使杆的摆角稳定在垂直位置，即0=0,小车的位移也能够稳定在平衡位置（位移为零），即x=00在系统向稳态值进行调节的过程中，应当尽量迅速且振幅保持较小。同时，在系统受到干扰时能够很好地恢复到平衡状态。由此看来，我们要将单级倒立摆系统最终调回到各状态都为零的位置，因此从准确意义上讲，我们研究的是对单级倒立摆系统进行调节的问题。但是以后所介绍的内容也适用于对单级倒立摆系统进行控制的情况（终态位置各状态为某值），因此我们这里统一称作“对单级倒立摆系统进行控制”。三、单做倒立旗东统校制问题的分析1 .建立倒立摆系统的数学模型首先我们需要建立单级倒立摆系统的数学模型。如前面图5所示，需要对一个质量为M的小车进行控制，在小车上固定有一根长为21.的质量为m,且密度均匀的刚体摆杆，我们将水平向右设为X轴的正方向，竖直向上设为y轴正方向，记小车的位移为X,由此推得速度为北、加速度为无，记摆杆与y轴的角度为。，由此推得角速度为6、角加速度为小，同时我们假设小车与地面、小车与摆杆的摩擦力忽略不记，仅考虑与其速度相关的阻力f=b4io再将杆所受的力N分解为水平方向上的NX和竖直方向上的NY对小车在水平方向上进行受力分析可得：F=Mx+Fx-Vbx(1)对摆杆在水平方向上进行受力分析可得：j2Fx=m*(x÷2*sin)(2)将(2)式带入(1)式可得：F=+rn)x+bxtnl2sn+mlcos(3)再对摆杆相对于小车的转动进行分析可得：mlmg1.sinm1.xcos(4)我们将摆杆的转动范围限定在一个较小的范围内考虑-5。<6<5。，此时我们可以得到以下三个近似关系式：si。=Ocos夕=1炉=O由此对(3)、(4)进行线性近似可得：F=M÷ni)x+m1.+bxZTiZ?=mg1.mx1.(6)由(5)、(6)可以解出:.ml?F一ml3bx-m2l3x=77Tf(7)mE(M+m)-m1.(8)(M+m)ng1.+bmlxmlF将乂月夕例设为状态变量，通过(7)、(8)可以得出:010_.ml(M +m)-m2l000、"M_厂nl3(M +m)-n"l0ml(M-vri)- nrIj0(M + ni)mg1.nl(M + m)- m2l00mlml(M + m) - m2l 0-mlnl(M +m)- mil3XlOO司一oO1即整个倒立摆的线性近似数学模型。下面我们代入具体数值M=IKg、m=0.1KgNg=10NKg>2*1.=0.6m%b=0.1Nmsec后得到系统的状态方程：'x"01OOXOXO-0.094-0.353（）X0.94OOOO1*+O*p(9a)O0.11912.941O-1.1762 .控制方案的提出对于单级倒立摆系统,我们可以采取多种经典的控制方法以及近代兴起的一些智能控制方法进行控制。我们观察单级倒立摆系统的数学模型结构如图4所示：图4单级倒立摆系统的开环结构可见，该结构是一个开环结构，系统的被控制量对系统的控制作用没有影响，不具备抗干扰能力。为了能够使单级倒立摆系统具备抗干扰能力，我们可以运用不同的控制方法，设计出一个闭环结构。 我们可以建立具有状态反馈的闭环结构。如下面图5所示：图5单级倒立摆系统具有状态反馈的闭环结构图5所示的是具有状态反馈的闭环结构。对应于这种闭环结构的控制方法有：闭环状态反馈极点配置法，1.QR线性二次型状态反馈最优控制法等。这些方法都需要依赖受控系统的线性数学模型。 我们可以建立具有输出反馈的闭环结构。如下面图6所示：图6单级倒立摆系统具有输出反馈的闭环结构图6所示的是具有输出反馈的闭环结构。对应于这种闭环结构的控制方法有：闭环输出反馈极点配置法，1.QY线性二次型输出反馈最优控制法等。这些方法也都需要依赖受控系统的线性数学模型。 我们可以建立具有PlD控制的闭环结构。如下面图7所示：图7单级倒立摆系统具有PID控制的闭环结构图7所示的是具有PlD控制的闭环结构。PID控制也需要依赖受控系统的线性数学模型。我们可以建立其它一些控制系统的闭环结构。如下面图8所示：图8单级倒立摆系统其它一些控制系统的闭环结构图8所示的是其它一些控制系统的闭环结构。对应于这种闭环结构的控制方法有：模糊控制、神经网络控制、拟人控制、专家控制等智能控制方法以及多种控制理论的综合控制如基于神经网络的模糊控制、基于PlD的模糊控制、基于遗传算法的模糊控制，模糊专家控制等等。这些方法不需要依赖受控系统的线性数学模型，可以直接根据单级倒立摆的物理模型进行控制。3 .控制方案的选择控制方案的选择是要根据对单级倒立摆系统进行控制后所产生的结果来分析比较最终选出最优的控制方案。比较分析的标准就是上面提到的进行控制的目标：哪个控制方案能够使杆的摆角稳定在垂直位置，即。=0,小车的位移也能够稳定在平衡位置，即X=0,且使系统向平衡位置进行调节的过程中迅速且振幅保持较小，同时在系统受到干扰时能够很好地恢复到平衡状态，哪个控制方案就较为优良。但是，我们所面对的往往是多目标优化问题，这就意味着要求多个目标都为最优。但这种情况是很难出现的，往往会由于优化了一个目标而牺牲了别的目标，因此我们只能根据要求提出一个折衷目标，进而求出一个折衷解。追求绝对最优控制是不现实的。8、对单级例立标亲线进行校南（明节）并利用SlMU1.INK进行仿宾我们首先利用Mat1.ab中的Simu1.ink工具对开环系统进行仿真。仿真结构如图9所示。该结构是一个开环结构，控制输入为一个随机干扰信号，它的期望值为零，方差为I,其信号波形如图io所示。系统的初始状态为0,即Xo=O；o；o；oF。我们认为系统的输出如果大于5即为饱和状态，因此我们加入了一个SatUratiOn模块。下面我们对其进行IOS的仿真，来观察系统输出的结果。>0图9开环系统仿真结构图图10随机干扰输入信号波形图11输出结果X和0(t)波形图11中，蓝线表示小车的位移X,绿线表示杆的摆角0。可见，它们均趋向于极限饱和状态，随着时间的推移，偏离稳态值越来越远，因此是不稳定，也不具备抗干扰能力的。那么为什么这个系统的开环结构是不稳定的呢？我们通过计算，可以得到该系统的零极点为：0,-0.0908,3.5958,-3.5990),可见其中有极点是正实数，因此这个系统是不稳定的。但是我们通过计算该系统的能控性矩阵可以发现，00.9400-0.08840.4213Q=B9AB,A2B,A3B=0.9400-0.08840.4213-0.07880-1.17000.1109-15.1514-1.17000.1109-15.15141.4851的秩为4=n,因此该系统是完全能控的。同时我们通过计算该系统的能观性矩阵可以发现,1.0000000001.00000"C'01.000000CA0001.0000CA20-0.0940-0.35300CA300.118012.9410000.00880.0332-0.35300-0.0111-0.041712.9410的秩为4=n,因此该系统是完全能观的下面我们选用闭环状态反馈极点配置法、1.QR线性二次型状态反馈最优控制法、1.QY线性二次型输出反馈最优控制法以及模糊逻辑控制法对该单级倒立摆系统进行控制，并利用SIMU1.lNK进行仿真。1.闭环状态反馈极点配置法闭环状态极点反馈实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。它的含义是：以一组期望极点为性能指标，对线性时不变受控系统