复变函数重要知识点总结.docx
第一章复数及复平面一基本概念和主要结果：1 .且数域及复平面：规定/二寸二工复数集C上I?=H十9,1,£底1,则实数集及UC在C上规定加、减,乘、除运算，给豆数集一个代数结构，则且数集成为且领域(可看成是实数域映扩张而来)设N=%+"i=%+"i,£胺定义1.16±不一(%+ajt(b±b.,ji.得马二(a+外)(+厚)一(%/-6也)+i(a也十%,),4%+6J%十句均用工一七匕三二门7二可前厂+I可干)复数域上引进一种拓扑结构:任爸W已名=%+增向=L+电,苞与&的距离%-%=(Q-1)2+C一为产，从问发数域成为夏欧氏空间，在这个空间可以比义邻域棣念，为在复平面此引进极限作好了准备.发数集、二维平面的点集及平面上的向量集构成了一个一一对应关系.复数的二角表示：N二忆I(CoSArgZ+iSinArgz),一|苞cosArgzv+iSinArgN，之？一2cosArg2+isinArg221.乐爸=1爸1设21kos(ArgWIArg,J+isin(Ar%+Argxa)j,设J三三黄h>MArgA-Args,)+isin(Arg%-Arg2z)-义if称为第数ZLliy的共扰数，记为三(，和彳也称为互为共扼数)，Z和三关于第平而实轴对称，Izl=同Arge=Args.zi+Z2=号+T2.27Ty=zl2,?=z,(三)=T",x*=2 +K还可以令以下表示：Z=%+iy,则Z=_Q二."=豕(2一句，用于化简，证明一姓代数式：复数z=zcosArg+isinArgs的乘辕和开方运算：短"二INHC-Os(7z?ArgC)+isi【GArg2),C2.(整数集)Zm=:I/!ZlCoSArgZ)+isin(:Argsj,n为才子等于2的正整数.2 .兔球而和犷充第数集。8在三维空间中，作球而S:产+犷+2司,把XOY平面石竹z=/+i平面,取球.而上V(O.O,D称为球极，可建立起笑平面C。SN的一个一一对应：作连接NUXOY平面上任一点工”，英0)z+zZ_NIrP1的直线，直线与球面的交点是工，(/././),就有，=E4、/=m朱:一.弁规卜卜+1)(k2+1)IW+1定复平而上的个理想点LN对应，称此理想点为复平面I:的无穷远点00,记。8=CUx,从而CQQ与S建立了一个一一对瓯3 .复平面的拓扑：定义13宏燃悉以卜概念(定义)(1)邻域：U(ar0.r)=zz-z0<rt56C).(2)去心邻域：:)(")=c0<±一OJ<r.z£C.闭邻域:U(XO.r)=zz-zoC).(4)聚点：集EJtC,若集口>(),。(“口少至。，称是E的聚点.(5)内点：集E,F.3U(xo.r),使U(4.DC£,称为是E的内点.X*(6)边界点：集EeC,Vt0.U(%>力。£壬仇5/M)D£声/称与为E的边界点.(7)边界：山集E的全部边界点所组成的集称为R的边界，记为(8)/包：7?=a,;U?.孤立点：。EE3r>0,使得U(n.r)nE=S,称。为E的邠立点.(10)开集：集E的点全部是内点，称E为开集.(11)闭集：集E的补集是开集，称E为切集.(12)有界集:3r>0,使得月UU(OJj,称E为有界集.(13)无界集：不是仃界集，称为无界集.(14)紧集：有界闭集称为紧集.(15)集D的连通件：集D中任两个仃限点U以用仃限个首尾相接的折税连接.(16)区域：连通的开集称为区域.(17)曲线：设2=e=1加Xt)+MiN,aWtWb的点n之轨迹，称为曲线.(18)连续曲线：若曲线？=2(。/W卜向也这(4)/皿连续.(19)简单连续曲线:连续曲线乞=z(£).,M。，411丫/怎(46,4叱2.电(日(20)简单闭曲线:简单连续曲线z=%(£),/£E“旦2(a)=z(b).(21)单连通区域D:区域D内任何简单闭曲线的内IX域中符一点都属于D.(22)多连通区域:不是单连通区域,称为多连通区域.二、例题与练习：1.1求i的四次方根.解：因i=cos+2人兀)+isin+2力r),所以a=cos(，J.)4-isin0.1.2,3则cW+isin/cos+*而口.cos+,)藉吗+4cos6+9)+7F3>'w仁十刃.注：第.章定义了指数函数/(句=,产和欧拉公式=COSe+iSih仇此题可利用复数2的指数表达式2=AEi十算囚为i=/(号+2V),所以i的四次方根(四个)是：d吉,/住十年)，/(之十)5年一州)即一台ic哈.1.2已知/斗之+1=(),求2"+式斗七3之值.好瀛1:阁)？j2那导知NI541=(),故z31=o即Z是i个三次单位根从而Z”二产,，=%,炉1.3设二是任意一个不等于1的n次单位I礼求1卜2+/+丁-L的值1_/解：因Z"=i,z1,则1+z+N"1=().1 Z1.4 证明：若Z是实系数方程a网*+°网1+a加+6=0的根，则三也是其根.证：因为对任意自然数】I,有三=(可3又因为明为实数当且仅当%=%山已知Z为方程/严+%严一】+。&+*=0的根，所以有%泮+%济-1+*4+(=o对上式两端同时取共挽运第，得田=0)Q/口+Q12T+Qn.1N+Q,=0于是aon+a7i41%衣+0即司也是a0wn+a(Wy+aw_xW+a11=0fiJ.1.5 用CoSIJjHin0表示cos5.解：cosj=Re(cos5+isin50)=Re(coS(9+isin(9)5=Re(eos57+5icos4«sin0-1Ocos23 X2x>0和。< 中=16fein2P-IOicos?Osii,O+BcosOsiiJe+isin5O)Lcos3O-10cos36fein2/?+5cos<in4theta.同时也得至U:sin565cos4OsinO-10cos2Sin3+Sin”同1.6若8于O,试证明sin5+sin("+1)O1 +cos0+cos2o+cos2=.2 sin今八八八8sg-cos/77+I)sin0+sin2。+一卜sin6=-.2sinf证：令Z=cos£+Isin8.zrcos,6+isinff又因为1+z+/+.1-zMZA、1-lcos(7i+7+isin(i+1)8即1+(cos0+isin0)+(cos2"+isin2。)H-F(cosn+isinO)=:1(cosO+sxO)从而(1+cos0+cos20HFcos11Oki(sin0+sin2。+sinn)1(cos(n+1)0+isin(n+1)(1CoS04-isin。)/8)f0)一(cos-2-Si/J-2(1-cos(9)-4sH其中f0-cos(n+l)l9(lcos)4sin(nM)«>sin6+,sin8(1cos(n-+1)6>(1cosO)sin(n卜1)6整埋后印可得A(f(3)sin§4-sin(n+5)1 +cos0+cos20HF<x>sn-Re<=力4sir打2sinfcosgcos(+J)£Sln0+sm2。+SlnImV.4sin2fJ2sin31.7 集月上二i.J中,i是E的聚点,其余各点均为孤立点.1.8 集£=<+1i,+;I一，一中旬一点都是E的孤立点，是它的聚点但不用于E.1.9 满足条件OVarg(z-1)<2VR«,z<3的点Z所组成的点生是什么？解：如图的阴影部分,是外界单违通区域y0n+i+(+1)2.i+(“+1产z137“°满足条件。<-7TT<4的点'所组成的点集是什么？工247J-1山已知2MS)o且2+(y+1产(X2+y2>1整理后，得(C+1尸+y2>(V2)2所求的点集是(6+1)2+/22的外部U件为半平血的所仃点组成的集合，是单连通无界区域.第二章复变函数本章用微分方法研究攵变函数.一、基本概念和主要结果.定义2.1设E是夏平C上的点菜，如果有个法则上使得V看=i+3w=V+ivC叮11对应，则称/是E上确定的灯变函数.注：W=(N.y)+iu(i.y)即一个且变函数等价十两个二元实变困数.记A=/(E)=/(a:)|z夕为函数/")的象集，如果/是E到A的一个双射，则E和A是一彳对应.定义2.2设义旬在集E上确定，得是E的个聚点，。是一个均常数，如果Y5>0.m8=打>0,使得当a:U«n0(2o")时，12)-八IV£,则称。是函数/当,趋近于7时的极限.记为Iirn/(3)=a注:令八=&+必2£EJ(Z)="(£.")+皿J2=+i?/,%=/+i%,于是有下列结论：hrvJz=3<=»binu(×.y)=a.Iiniv(×.y)=b.ZiZo少一上1工。ZEEV一如y一如实变函数中关于两函数的和、差、积、商以及更公的极限的-此结论可以推广到灾变函数.定义2.3设函数m=/在E上定义，是集E的个聚点，如果VH>0.三3="4)0,使得当，ECk论花)0£时，I之)l>1,则称函数/G)是e趋近于7时的无穷大，记为也？/6)=00.a%ZEE定义2.4设函数W=/(3)在无界区域E上确定，C是个有限复常数，如果Ve>O.三=仁)>O,使得当Z6E.>时，(z)-aV£,则称a是函数/当Z趋近于Oo时而极限,记为&U(3)=&zeE定义2.5设函数“二/(之)在无界区域E上确定，如果t4>0,三O=夕>0,当/££,设|。时91f|>4则称函数加/是Z趋近于Od时的无穷大，记为Jim向=Oc.GOC江E定义2.6设函数wM优M+i%¥.切在集E上确定且E的聚点%E,如果Iim/一f/(维吗VjWlI国特第二元实函数Iimu×,y=u(×a.y).Iim论M=7"、司OM-t?(2;,?/),7若/(3)在区域E上每一点连续，则称/(3)在E上连续.定义2.7设函数/(3)在集E上确定，如果。，存在只Im仃关。无关的正数不；蛇)>0,使得李”，之£?11上'一工I<3时，lG)0")<k则称函数/在E上致连续.定理2.1函数/仁)是简单曲线或方界闭区域E上的连续函数则有：(D/在E上致连续(2)z)在E上有界，(3)加在E上可以达到它的最大模和最小模.定义2.X设函数/设区域I)内确定的单值函数，%W,如果魄T)二，存在H等于复数则称2)在点可导或可微或行导数C,记为(%)=”.“定义2.9如果函数句在区域D内每一点可导(可微)，则称函数/仁)在区域D内解析.如果为在4的一个邻域内解析,则称做Ez。点解析.如果/在I又域G内解析而闭区域方CG,则称/(Z)在闭区域万上解析.注：实变函数美卜和、差、积、商以及复合函数等导致的运算可以
