专题04三角函数（新定义）（解析版）.docx
专题04三角函数（新定义）一、单选题1. （2023秋山东临沂高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制广度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常2数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度数为奇，则角。的正弦值为（）A.BB.；C.-D.一32222【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角。的弧度数，继而求得答案.lr2n【详解】设角。所在的扇形的半径为，则5=2,r2-T4兀所以。=三，所以Sine=Sin"=-sin'=一立，332故选：D.2. （2023秋江苏苏州高一统考期末）定义:正割SeCa=一，余割CSC=一.已知加为正实数，且CoSaSincrmcsc2+tan2N15对任意的实数X（XW版+',"ez）均成立，则用的最小值为（）A.1B.4C.8D.9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得rncsc2x+tan2x=+SirIj15（sinxcosxRll、，u.,sin4x艮IJm15smx-.cosx因为x攵乃+Z）,所以cos2（0,l,则15si一包"5（l-cos2）-iW=17J+16cos2COSX,8S-XICOS'x）17-2J-16cos2x=9，VCOSX当且仅当COS2X=3时等号成立底故相9,故选：D.3. (2022全国高一专题练习)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“007”,478密位写成“4-78”.若(Sina-COSa):=2SinaCOS,则角力可取的值用密位制表示错误的是()A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出Q，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为(Sina-COSa)2=2SinaCoS,即sin2a-2snacosa+cos2a=2sinacosa»即4sincos=l,所以sin2=-,所以2a=乙+244,&eZ,11g2a=+2k,keZt266解得a=+k冗、ZZ或=+kykeZ1212对于A：密位制12-50时应的角为黑、2万=雪，符合题意；o00l)12对于B：密位制2-50对应的角为需、2万=符合题意；60001213509对于C：密位制13-50对应的角为3x2%=?,不符合题意；oul)020对于D：密位制3250对应的角为梁24=当，符合题意；600012故选：C4. (2022秋山东青岛高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)计算器是如何计算SinX,cosx,/，Inx,«等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数,通过计算多项式的值求出原函数的值，如ISinX='-+e-二+,COSX=I-+-义+,其中3!5!7!2!4!6!nl=×2×.×h,英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的SinX和Cosx的值也就越精确.运用上述思想，可得到-sin(g+l)的近似值为()A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56【答案】C【分析】将一Sin俘+1化为CoS1,根据新定义，取x=l代入公式coSX=I)+/上+中，直接计算2；2!4!6!取近似值即可.【详解】由题意可得,=l-0,5+0.(>41-0.001+.0.54,故选：C.5. (2022春广东中山高二统考期末)密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的N二称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“0015”，1个平角=3000,1个周角=6000,已知函数小)=8-2COSX,xpy,当/*)取到最大值时对应的X用密位制表示为()【答案】CA. 1500B. 3500C. 4000D. 4500【分析】利用导数研究/O)在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定/O)取到最大时X用密位制.【详解】由题设,(x)=3+2sinx,在X呜苧时f")>0,2Exe(y,yWV)<0,所以F(X)在勺,3-)上递增,在x(-,?上递减,即/(x)g=F(y),故/(X)取到最大值时对应的X用密位制表示为4000.故选：C6. (2022春云南昆明高二校考期末)在平面直角坐标系Xoy中，P(x,y)(x)0)是角a终边上一点，P与原点。之间距离为，比值C叫做角的正割，记作SeC出比值二叫做角的余割，记作CSCa；比值鸟叫Xy)做角。的余切，记作CoIa.四名同学计算同个角4的不同三角函数值如下：甲：SeC夕=-(；乙：CSC夕=|；34丙：tan/?=-；T：cot/?=.如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果.【详解】解：当甲：SeC夕=-?错误时，乙：CSC夕=?正确，r5此时一=7，r=5k,y=3k,则用=必，（£>0）,V334内：ta“=-=不正确，丁：8/=:不正确，故错误的同学不是甲；4 3甲：SeC4=一°,从而r=5A,x=-4k,Iyl=34,(4>0),45 34此时，乙：csc=j；丙：tan户=-：；T：COl夕=§必有两个正确，一个错误,Y丙和丁应该同号，.乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，34*.y=3k>0,1=-4AV0,atan=-,ty9=,故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁.故选：D.aiah1.L则函数/(x)=SinXOcOSX的b,a<b最小值为()A. -1B 22c -1. 2D. 0【答案】B【分析】由定义先得出/(幻=sinxCOSXSin X COsxCosxlsinxj然后分SinxsS。SCSinX两种情况分别求出山）的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得/(x) = SinXCOSX =SinXCOSXsin X Cosx cos X > sin X0<0当SinX8sx时，即SinX-COSX=&sin则2k<x-<2k+,kZ,即2k+-x2k+,kZ444此时当x=2&+四MeZ时，SinX有最小值为一也42当COSX>sinx时，psinx-cosx=sin则2k兀+<x-<2k+2%,IcgZ,即2k+<x<2k+次Z444此时，COSX>立2所以/()的最小值为-4故选：B8. (2023秋浙江杭州高一浙江大学附属中学校考期末)正割(SeCant)及余割(CoSeCant)这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的.定义正割SeC。=一，余割CSCa=一1.已知?为正实数，且COSaSincrmcsc"+tan215对任意的实数中吟入Z)均成立，则，"的最小值为()A.1B.4C.8D.9【答案】D【分析】由参变量分离法可得出“17-+，利用基本不等式川求得?的取值范围，即可得解.24【详解】由已知可得mcsc2+tan%=Y-+f15,可得z15sh?竺，sinXcosXcosxS¾x+y(eZ),则8s2e(0,l,因为15sin2SinX=5(-cos2x)"皿：)=17-f-+I6cos2xcosX'7CoS-XICOS-X)17-2J-5-16cos2x=9,VCoS-X当且仅当C(x=。时，等号成立，故294故选：D.9. (2022春江西景德镇高二景德镇一中校考期中)对集合,4，4和常数机，把02=疝2(4-6)+/2(%一加)Sil(包-定义为集合佃,电,相对于m的“正弦方差”,则集合k相对于M的“正弦方差”为()I626JA.IB.立C.ID.与机有关的值222【答案】C【分析】先确定集介-相对于川的“正弦方差”的表达工3再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合J，g，相对于m的“正弦方差''为626=31-cos-2mI3.21 -cos(r- 2tm)2+ COSy-2zW-3-cost+2n+cos(-+2n=cos(2n)-sin(2n),cos(-2zw)=-cos(2m),cos=cos(2n)÷-sin(2n),代入上式整理得，2=-故选：C.10. （2022秋.山东高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为避二12（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.（3）有一个内角为36。的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得S加126=（）A,在匚B.在里22C有TD召+1,44【答案】D【分析】如图作三角形，先求出8S36=侬，再求出S加126的值.4【详解】如图，等腰二角形ZABC=36,AB=BC=a,AC=b,取AC中点。,连接8Db5-l丁丁，2由题意可得.n生1_小71-5-,2aa2224所以cosZABC=1-2sin2幺些=1-2(-)2=避土!,244所,以8S36='”,4所以S加126o=CoS36='+1.4故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.、一。b11. (2021秋四川巴中高一校联考期末)定义运算，=d-反，如果cdzx105jiJr/(x)=o/,3>0,°<e<小的图像的一条对称轴为1=:3满足等式2808=312118，则“取最',2Sm(S+9)24小值时，函数/(x)的最小正周期为()A.B.C.D.2万22【答案】C【分析】根据2cose=3tane,利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin。的二次方程，可求出8的值，结合对称轴可求出口，最后利用周期公式
