专题1-10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（解析版）.docx
专题IlO数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题胸回O求和后放缩三三放缩通项再裂项相消求和三s放缩成等比数列朝根式的放缩三s跳过第一项再放缩求和利用重要不等式放缩s三通过糖水不等式进行放缩型不放缩后错位相减求和Mfe数列恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和：第二，将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.I.常见的裂项公式：必须记111,212例如：<-<或者I-r=<-c=<-<=/等h(11+1)n(n-)nw+l÷?w?+w-l2 .一个重要的指数恒等式：次方差公式/一b"=(-力)("T+"力+d%2+帅”2+Z)I)这样的话，可得：an-bn>(a-b)an-xt就放缩出一个等比数列.3 .糖水不等式分子分母同加常数：>(b>a>O,m>0),>(>b>0,m>0)aa+maa+m常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型1 1II/小(1)-1PJ-=-7一(2);n(n-)nn-n2 111>='n2n(n+)nn+,、I44(11(3)-T=I一<=2I一n24n24w2-12w-l2w+lEil加Il1II/c、(4) KJ/=而切i7<K;O=k：(E；二、根式型(5)y/n y/n + yfn jn- + G291+ )( 2)；（7）y/n yfn + yfn yfn + y/n + 1=2C-yfn + yn+ 1 j ；(8)yn +1 -yjn 1ynn2 y(n-)n(n+ ) y(n -1 )zz (w +1)J +1 - >n - 1“2); yn2 n + yn n2 nn -1 + (n - 1)w J( (五 + yn-三、指数型2n(10) (2-l)2 (2-l)(2rt-l) < (2-1)(2-2) (2n-l)(2,1-1)112w, -1 2n -1( 2 2):(11) (1 + ：<1+1+1<3；1×22×3(w-1)«_22_2_(12)亚丁(1+1)-飞+0；+_=(+1)二厂才；2"T11_z)(13)2n-<(2n'-1)(2-1)2,-12"-1"此',(14)2(77+1-4n)=-I-r<4-<-Il=2(4n-Jn-).?+1+ynz"+h-1酗O求和后放缩1.已知=4x3"T,设f = l0g3筌,看为数列2+，的前项和.证明：lq<2【解析】 = iog3 = iog3r=w,所以1一一三<1,即（<2,是单调递增数列综上，7L<2.1_1-1I'111anan.(2w-1)(2w+1)21-12/z+lJ,2.已知“=2-1为，证明:+，/36出a2aianan,2【解析】I1IIjIIlI1、1。1、11axa2a2ayanan2(3352-12n+lJ22n+l)22(2+1)I111随着的变大，万一1而TD变大，故当二1时，y2Q.+i)取得最小值'11111I最小值为万一=,JL2-2(2/?+l)<2,故1.+，/3。必2。2。3anan13.已知4=产，设"=：%，记Z=U+&+>,证明：7；<1.【解析】bn=-=t_12n=尹+K+''+而,ITl2n27"=2+2t+",+27t,两式相减得=*+摄+击一券，ZTII1fl所以I=初+齐+广1714n,1n,n+2,产=1万=1<i4.已知数列%中，=；,%.=%-%("2N),数列也“满足=J("N).求数列4的通项公式；（2）设数列看的前项和为q,证明【解析】（1）当=1时，4=3,a,11a.-an,当2时，Ft=1,%an-an-I所以数列"是首项为3,公差为1的等差数列,所以数列通项公式为“=3+(-1)x1=+2.11If11>因为欣所以+，+，+3+24+3-5+4-6h"Illl4n-1+1n+2,M1+r-TMT4vh;1I«+2+w+12+32+22因为1+I"=1>IJ=T+1+2(+1)(+2)(+1)(+2)(w+l)(w+2)n+2f3Ifl1131231<=.42+1+2J42n+24n+2'豳照放缩通项再裂项相消求和5.已知。“二+1,若数列图的前项和为小求证：7；|.【详解】证明：由（D得q=+1（"N*）,.1二1二4.4二4_rj1!_所以f=e+l)2=4("+l)2<4("+)2f=(2/+l)(2+3)=-2+3111112n+2+36 .已知数列%前项积为小且勺=，设S.=邛+n2+窗，求证：5w>an+1-ln+12【详解】Tn =aya2anX ××=2 3 n+1 n+l所以s“=(2+"+7L2二W+110.已知%=二,若b.=ai-att, S”为。的前项和，证明：12S,<15. 2 3+"+111IlllIlll>+=+=2×33×4(11+1)(+2)2334n+r+22n+2所以S,>/+1-5.7 .设%=l+f*+1,N2.求证:an<2.解析=1+-+-l+4+"E=kk>k(k-),k2(只将其中一个左变23n23n成£一1,进行部分放缩)，2<7t=17一),K,k(k-1)-1于是.l+*+*+<l+(l-g)+(g4+(=-5=2一4<2.,1rs3.己知为二2-1,设£=7=,数列4的前项和为求证：Tn<-1.11解：S".，”=(2"1)户而FA=I1.111I(Il)可知当“2时，nn(2n-n(2n-2)2(-1)211三n)=Ih1I<-,不等式得证2(n)28 .已知/=土=(£“)，记%,eN,S.=7；2+6+年.证明：当gn时，w+2v,432【解析】Tnala2-an=-n+2.7.4>4/_!qn(+2)2(+2)(+3)n+2n+3)'Ien+2224"w÷33+1312所以，当GN'时，-Sn>an+i-.211+2n+l2rt+2n+3解析.=,bn=：_4'=-«=-：-Ti1=-；×-：,w,I.Sfj2"，'3，nn,n2"+_32"+_32"_32"_3'.N2+1-3>0,.h=：X：>O,/.S>S.=h.=12f24,S,=Z>,+¼=12+-<15,21225.12S<15.)n1711 .已知数列a”=".?,设G=一,求证：c1÷c2+cn<n1解：思路：C"=-,无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：<）,若要放册“2缩为裂项相消的彩式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以（一1）,再进行放缩调整为裂项相消形式。n1n-解:，丁百二许F厂112w-(?-l)_n+17，J(«-1)2m-,_7F=w(w-1)2mn(n-)2nw-1所以CL而至7；(w2)(-1)2m-,7212 .已知%=2"-l,（的前项和为S”，4>0,片=1+飞,数列2的前项和为7；,证明：Tn<n+.,2【详解】Sn=心则ST=S+I)?,=1÷71=F'则“里卢, n2 +2/? + 3.D -1 ="W + 1(zi + 1)2( + 1)yn2+2n+3-(+1)-1=(+1)y(n+1)+2+(z+11117<(+1)2n+1'Tn=hi+h2+-+bn<n+-</?+1+lS放缩成等比数列13 .(2014全国2卷)已知为=1,证明：-+÷-<.1211解析：-=ft,因为当附3T2b,所以fihF1111于是一+ <a a2 %11 1-+ r+ H-=3,31 2 33m,1-上=-i3ULx 1.2 3”2所以1111<./a2%an2注：此处3"-l23"-便是利用了重要的恒等式：次方差公式:231当然，利用糖水不等式亦可放缩：<=i-,请读者自行尝试.3"-133n13n+1 +314.已知%=Ft211111证明：-+-+<7%a2%3【详解】121212=×<X=33"+l33"3+,所以 "L+_L+，+2 2 2<7÷7÷7÷2, +产=I 1115.已知q=23",记=J：*nwM，求证:3【解析】当=1时，Z>=-<1：,L2an4x3“3“3”3n,J'"(an-2)%3一433一3"(2×3n-2)2(3-I)2(3"-l)(3"-3)(3"-1)(3"T-I)1 z11、=(一)2 3"T-13o-所以4+4+"<4+g(±-±)+;(七-/)+.+T(F=Im)TT忌XL16.记q=3"-1,证明：一+,+<1.qa2anI1三-,2123"-2-3"3n-2C.=>O,3"3-13n(3-l)3rt(3n-l)【分析】当=1时，验证所证不
