7.1角与弧度.docx

7.1角与弧度【考点梳理】考点一：任意角1 .角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2 .角的表示：如图，如是角a的始边,如是角的终边,0是角a的顶点.角a可记为“角a”或或简记为“.3 .角的分类：名称定义图示正角按逆皿方向旋转形成的角上负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线线直作任何旋转形成的角O*A(B)考点二：角的加法与减法设明£是任意两个角，。为角a的相反角.(1)。+£：把角的终边旋转角.(2)a:aB=+(T).考点三：象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与凰臣重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么，角的线边在第几象限，就说这个角是第几象眼鱼；如果角的终边在坐标钿上，就认为这个角不属于任何一个象限.考点四：终边相同的角所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S=f£=。+4360°,ArZ),即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角。与整数个周角的和.考点五：度量角的两种单位制1 .角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制.(2)1度的角：周角的心.OOU2 .弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.(2)1弧度的角：长度等于按氐的圆弧所对的圆心角.考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式角度化弧度弧度化角度360o =2 rad2 Ji rad=360 °180o =j_ radH rad=180oJT1 o rad0. 017 45 rad IoU1 rad=(啕° 七57. 30°度数x=弧度数 IoU弧度数X(T9)=度数设扇形的半径为此弧长为/,(0<<2n)为其圆心角，则(1)弧长公式：I=aR.(2)扇形面积公式：5=7?=!【题型归纳】题型一，任意角和终边相同的角1. (2021上江苏宿迁高一沐阳县修远中学校)下列命题中正确的是()A.第一象限角一定不是负角B.小于90。的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限的角D.终边相同的角一定相等【答案】C【分析】根据象限角的定义、锐角、钝角、终边相同的角的定义逐一判断即可.【详解】A：-271。角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确；B：锐角是小于90。的正角，所以本选项命题不正确；C：钝角是大于90。小于18()。的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确；D：361。角和1。角显然是终边相同的角，但它们不相等，所以本选项命题不正确，故选：C2. (2022下.辽宁朝阳高一凌源市实验中学校联考阶段练习)下列与角与的终边一定相同的角是()A.B.kr-(keZ)33vfC.2+y(Z)D.(2%+1)乃+与(AZ)【答案】C【分析】根据6=+2ArcZ表示终边相同角，即可判断.【详解】对于选项C：与角券的终边相同的角为2+(AwZ),C满足.jrjr对于选项B：当欠二2”("Z)时，k-=2n一-Z,Z)成立；当左=2"+l("Z)时,k-=(2n+)-=2n-(kwZ,eZ)不成立.对于选项D：(2&+1)4+与=20+与(AwZ)不成立.故选:C3. (2021高一课时练习)己知角。与角夕的终边相同，分别求满足下列条件的角。的度数.(l)-360o<a0o,尸=15。；(2)360oa<720o,月=一120°；-720o<a<一360。，夕=180。；(4) 0°or<360°,£=400。.【答案】(1)345。(2)600o(3)540o(4)40o【分析】由终边相同的角相差360的整数倍，可得=+h360(ZeZ),再根据各问题中。范围及夕值确定整数攵即可得解.【详解】因角。与角夕的终边相同，且尸=15。，则=15+h360伙wZ),而-36()o<a0o,于是有Z=T,=-345>所以角的度数-345.(2)因角与角夕的终边相同，且尸=-120。，则=T20+h360(AZ),而360。v7200,于是有Z=2,a=600»所以角的度数600.(3)因角与角夕的终边相同，且尸=180。，则0=180+A360(AZ),而一72()。<a<-360。，于是有&=-2,a=-540,所以角的度数-540.(4)因角与角夕的终边相同，且夕=400。，则=400+h360(ZwZ),Ooa<360°,于是有k=T,a=40,所以角。的度数40.题型二：象限角4. (2022高一课时练习)下列说法中正确的是()A.第二象限角大于第一象限角B.若无3600VaVF360o+180o(eZ),则。为第一或第二象限角C.钝角一定是第二象限角D.三角形的内角是第一或第二象限角【答案】C【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.【详解】对A选项，如-210。<30。，故A错误.对B选项，。为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角.故B错误.对C选项，因为钝角大于90。且小于180。，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.对D选型，当三角形的一个内角为90。时，不是象限角，故D错误.故选:C.5. (2022下.北京房山.高一北京市房山区房山中学校考阶段练习)给出四个命题：-60°是第四象限角；235。是第三象限角；475。是第二象限角；-315。是第一象限角.其中正确的有（）个.A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据任意角的相关知识，对每一项进行逐一判断和分析，即可选择.【详解】对：-60。是第四象限角，故正确；对：180。<235。<270。，故其为第三象限角，故正确；对：475o=360o+115o,又115。是第二象限角，故475。是第二象限角，正确；对：-315。=-360。+45。，又45。是第一象限角，给-315。是第一象限角，正确.故正确的有4个.故选：D.356. （2021江苏高一专题练习）若=2E-r,kwZ,则角。所在象限是（）4A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C35【分析】判断-所在的象限，根据终边相同的角即可求解.4【详解】因为一9v笠<8,-3<-<-3+-,442所以一日在第三象限，3535因为-与角a=2E-丁终边相同，44故角。也在第三象限，故选：C.题型三：确定n倍角所在象限Cf7. （2023上江苏盐城高一盐城市第一中学校联考期末）已知。为第三象限角，则万为第（）象限角.A.二或四B.三或四C.一或二D.二或三【答案】A【分析】根据。为第三象限角得到a的取值范围，进而可得券的范围，即可求解.【详解】因为。为第三象限角，所以k360°+180,<<k360°+270°*eZ,所以&.180+90<y<il180o+135oeZ,当Z为偶数时，记k=2"Z,所以360°+90°<-<n-360°+135°/Z,2所以合为第二象限角，当2为奇数时，记女=2"+l,"wZ,所以360°+270°<-<n-360°+3l5°,neZ,2所以券为第四象限角，Cf所以,为第二或第四象限角，故选:A.8. （2020上四川凉山高一统考期末）g的终边在第三象限，则。的终边可能在（）A.第一、三象限B.第二、四象限c.第一、二象限或y轴非负半轴D.第三、四象限或y轴非正半轴【答案】C【解析】根据题意得出乃+2&用<与<予+2&乃（&eZ）,求出。的范围，据此可判断出角。的终边的位置.【详解】由于T的终边在第三象限，则乃+2觊v<+2&乃（AeZ）,所以，2r+4A»<6<3+4Qr（AZ）,因此，6的终边可能在第一、二象限或>轴非负半轴.故选：C.【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题.9. （2021高一课时练习）设。是第一象限角，试探究：（1） 26一定不是第几象限角？（2） *是第几象限角？【答案】（1）2,一定不是第三、四象限角；（2）g是第一、二、三象限角.【分析】根据。是第一象限角，得至J2A万VeV2+Z,再判断即可.【详解】（1）因为。是第一象限角，即v2k兀+gk?Z,所以4k<2<4k+,k三Z,所以如一定不是第三、四象限角；（2）因为。是第一象限角，即2匕tvOvZ,所以34<与<3乃+亲ZWZ,当4二O时，o<,g是第一象限；363当左=1时，W是第二象限；3363当4=2时，?是第三象限；当左=3时，2乃<?<孚，g是第一象限；363综上：?是第一、二、三象限角.题型四：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）10. （2021下高一课时练习）下列说法中，错误的是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1。的角是周角的上,Irad的角是周角的3602C. Irad的角比1。的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1的角是周角的工，1阳d的角是周角的-，故A、B正确；36021QAImd的角是（二57.30°>1°,故C正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D11. （2023下高一课时练习）下列说法中，正确的是（）A.1弧度角的大小与圆的半径无关B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D.用弧度来表示的角都是正角【答案】A【分析】根据弧度的定义和任意角的概念，结合选项依次判断即可.【详解】A：由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值,唯一确定，故A正确；rB：大圆中1弧度角与小圆中1弧度角的大小相等，故B错误；C：圆心角为1弧度的扇形的弧长为/=|。|r=，与半径有关，半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误;D：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,故D错误.故选：A.12. （2021下.高一课时练习）关于弧度制有下列说法：扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大.大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角.大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角.其中正确的说法有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【分析】根据弧度制的知识确定正确答案.【详解】I弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，与圆的半径无关，据此可知正确，错误.故选：B题型五：角度与弧度的互化13. （2023上广东深圳高一统考期末）在半径为2的圆中，弧长为冗的弧所对的圆心角为（）A.60oB.90oC.120oD.180°【答案】B【分析】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.Jr