7.4三角函数的应用.docx

7.4三角函数的应用【考点梳理】考点一：三角函数的应用1. 三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.2. 用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据一画散点图一选择函数模型一求解函数模型一检验.考点二：函数y=4sin（3+。），40,3>0中参数的物理意义【题型归纳】题型一，三角函数在物理中的应用3. （2022下浙江杭州高二统考期末）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在f秒时相对于平衡位置的高度力（厘米）由如下关系式确定：A=2sin+,f0,功，0（r）.已知当/=2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在f=0秒时"的值为（）A.2B.2C.-3D.3【答案】D【分析】根据当f=2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得九进而求得人的解析式，再代入E=O求解即可【详解】因为当/=2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故9'2+。=%+22肛（心2）,即。=4+2碗,（丘2）,63又，故=容故4=2Sin修+即，故当LO时，=2siny=3故选：D4. （2022下山东高一统考期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间，（横坐标）变化的情况.如图所示，已知一根长为/cm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移$（单位：Cm）与时间/（单位：S）的函数关系是s=2cos2后f,其中g980cms2,3,则估计线的长度应当是（精确到0lcm）（）【答案】C【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.【详解】*5=2cos2,得=暗二机.由函数的图象可知函数的周期为04,UL1、IT=O40.16g0.16×980所以/F，即/=一一17.4cm.7"3-故选：C.5. （2021上江苏高一专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ZS时相对于平衡位置的高度力（单位：Cm）由关系式7=2sin+?）确定以f为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（）A.小球在开始振动（即，=0）时的位置在（,）B.小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2cmC.小球往复运动一次所需时间为2sD.每秒钟小球能往复振动L次【答案】D【分析】对于a,把f=o代入已知函数，求得y值即可得初始位置；对于B,由解析式可得振幅，即为所求；对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解；对于D,由频率与周期的关系即可求解.【详解】对于A,由题意可得当f=0时，=2sin（o+?）=&,故小球在开始振动时的位置在（0,应）；故A正确；对于B,由解析式可得振幅A=2,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2Cm；故B正确；对于C,可得函数的周期为T=资=牛=2,故小球往复运动一次需2质；故C正确；对于D,由C可知，T=2,可得频率为/=二，-（Hz）,即每秒钟小球能往发振动，-次，故D不正确.T22故选：D.题型二：三角函数在生活中的应用6. （2023下江西萍乡高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20,气温上升到约30开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花，该景区6时16时的气温V（eC）随时间（时）的变化趋势近似满足函数y=10sin（5x-亨）+25,则在6时16时中，赏花的最佳时段大致为（）【答案】B【分析】由三角函数的性质结合条件即得.【详解】当t6,16时，IX-日W一小¥，,.f5兀、CLCCz.f51由y=10smG%-1J+25=20,sm-x-yI=-,所以Jx-手=-F,x=g8.7（时）；8463,.f5c,-八，口.（兀5）1由y=10snl-x-y1+25=30,sml-x-yI=-,1.L.、t兀5TtTC34.zr,1所以"X-i-=r,x=二*11.3（时）.8463故在6时16时中，观花的最佳时段约为8.7时1L3时.故选：B7. （2023下山东临沂高一统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆0,筒车上的盛水桶抽象为圆。上的点尸，已知圆。的半径为4m,圆心。距离水面2m,且当圆。上点尸从水中浮现时（图中点玲）开始计算时间.根据如图所示的直角坐标系，将点尸到水面的距离（单位：m,在水面下，为负数）表示为时间f（单位：S）的函数，当，=15时，点尸到水面的距离为（）A.4mB.3mC.2mD.Im【答案】A【分析】设点Pay）,利用点尸到水面的距离=2+y求出函数的解析式，计算z=15时,的值即可.【详解】设尸Hy）,则点尸到水面的距离=2+），由题可知，。与与。丫的夹角为OP在时间，转过的角度为吟X，=?，OvJ由图可知，点尸的纵坐标y=4sin,仁十1，因此则点P到水面的距离/"2+y=4sin仅用+2,当，=15时，=4sinf15-÷2=4sin2=4,所以点尸到水面的距离为4m.故选：A8. （2023下浙江高一校联考期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为/米.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为"z=0.9米，则?的值是（）A,B.C.2D,6近10105【答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度A8,再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AA设N3AQ=a(<e<则8Q=-0.过A作AC垂直内侧墙壁于C,8作8。垂直内侧墙壁于D,则AC=BD=3,NCPA=NBAQ=yADPB=AABQ=y-6>.在直角三角形ACP中，SinNC¼=sin6=±,所以AP=当;=2.APsinsin因为小正方形与大正方形面积之比为1 :xf-!11 *一1所以Nana 上回叫 =CoSa-sina =: 上JSinaSina所以(CoSa-SinaJ _ 1 -2iano + tan% _ J sin2 a + cos2 atan2 a +155,彳，所以(CoSa-Sina)2 =g ,所以AB=AP+8P=N-+-/()<0<工SineCoSel2)因为AB=二一十二一之3x2J，一=66y(当且仅当Sine=CoSe且6二过时等号成立).SineCoSesin6cos6Ysin264所以486忘.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为/=Ja5?+32=J(6y+32=9,Q1所以帆=0.9=0.99=K故选：A题型三：几何下的三角函数模型9. (2023上云南大理高一统考期末)周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为QO且小正方形与大正方形面积之比为1：5,则tana的值为()A.-B.C.-D.；5432【答案】D【分析】方法一：用直角三角形较短的直角边长X及a表示出大小正方形边长,由小正方形与大正方形面积之比为1:5求得CoSa-Sina后再求tana的值.方法二：设较长直角边边长为X,小正方形边长为小大正方形的边长为从由小正方形与大正方形面积之比为1：5及直角三角形边关系求得戈=2,进一步求tana的值.【详解】方法一：设直角三角形较短的直角边长为X,由于O<a<f,则较长直角边长为,所以小正方形的边长为上-X,大正方形的边长为一一，tanatanasina由于OVa<；,解得tana=g.方法二：设较长直角边边长为X,小正方形边长为小大正方形的边长为儿a1.tr=.5f：a:b=1:小,b=>5a,b2=x2+（a-a）2,.C力一1x=2a,Iana=-,X2故选：D.8. （2023上广东东莞高一统考期末）记某时钟的中心点为。，分针针尖对应的端点为A.已知分针长。A=5cm,且分针从12点位置开始绕中心点。顺时针匀速转动.若以中心点。为原点，3点和12点方向分别为X轴和5轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到X轴的距离（单位：Cm）与时间，（单位：min）的函数解析式为（）A.>,=51sinrIB.y=5cosr_Tt-ItC.y=5sintD.V=5cost3030【答案】D【分析】画出图像，由题意分析得y=5sin卜家+4利用已知条件求解出。化简即可.【详解】如图所示：由题意得分针每分钟转芸=Wrad,6030则r分钟后转了和rad,则点A到X轴的距离V与时间t的关系可设为："=5sin+4当r=0时，点A在钟表的12点处，此时y=5,所以5=5§访（一点乂0+qOkinoI=1,所以可以取9=,lll_Tt此时y=5cos证/,故选：D.9. （2022上江苏常州高一校考期末）王之涣登鹳雀楼：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km,如图，设。为地球球心，人的初始位置为点M,点N是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧4W的长度为500km,则需要登上楼的层数约为()(参考数据：黑。O.O785,cos0.07850.9969,黑*6390.8)63710.9969A. 5800B. 6000C. 6600D. 7000【答案】Cc【分析】根据弧长公式可求得/AOM即NAON的大小。=彳*0.0785,在RjOAN中，即可求得。N的大小.R【详解】O为地球球心，人的初始位置为点“，点N是人登高后的位置，加的长度为500km,令NAoN=6,则。=0.0785,R,:OAYAN,OA=R,ON=-6390.8(km),COSeCoSe0.9969.MN=ONOM=19.8(km),19.8×1000= 6600,所以按每层楼高3m计算，需要登上6600层楼.故选：C.题型四：三角函数的应用10. (2023全国高一课堂例题)一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心。距离水面2m,已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点外)开始计算时间