4.1数列的概念与简单的表示人教A版2019选择性讲义.docx
数列的概念与简单的表示本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大!1数列的相关概念(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成出,&，Qn,，简记(即.2数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4n无穷数列项数无限的数列1,2,3,4,+1.按项的大小递增数列Qn>%S2)2,4,8,.12n,.递减数列Qn<11-(n2)1111-,2'3''n常数列每项都相等的数列1,1,1,摆动数列每项的大小忽大忽小的数列1,2,3,495f.3数列与函数的关系数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集1,2,3.n)上的函数f(7i),其图象是一系列有限或无限孤立的点.PS日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.4通项公式如果数列Qr的第?I项与序号九之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.Eg数列1,0,1,0,，其通项公式可以是斯=&W,%=SiM券等.注：(1)/I与&l是不同的概念，n表示数列的，2,，而Qn表示的是数列的第n项；(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.5递推公式若己知数列%l的第一项的（或前71项）,且任一项On和它的前一项rl（或前几项）间的关系可以用一公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.EgQI（初始条件）,r=3r-+4九（递推关系）；1=1,a2=2（初始条件）,即=n-1+册_2（递推关系）.6%与Sn的关系若Sn为数列On的前n项和,即Sn=1+2+.+n.则册=俨sn.5n.1,n>21【题型一】数列的相关概念【典题1下列有关数列的说法正确的是L数列一1,0,1与数列1,0,一1是同一数列；数列0,1,2,3,可以表示为n数列&的第A1项是高w；每一个数列的通项公式都是唯一确定的.【解析】对于，数列是有序的，故数列一1,0,1与数列1,0,一1是不同的数列，故选项错误；对于，数列0,1,2,3,.可以表示为8-1,故选项错误；对于，数列e的第k一1项是其下，故选项正确；对于，数列的通项公式可以有多个，故选项错误.故选：.【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别.数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.【典题2】求数列伯翳是增减性.【解析】an=三=2+“n+4n+4方法一作差法333°n+l-即=初一百=（n÷5）（n÷4）°，所以%+1<%，故数列9是减数列.方法二作商法n+12n+13n+42nz+21n+52ann+52n+ll2n2+21n+55又an>0,所以每+i<Q，故数列焉是减数列.方法三函数思想o.3Qrl=247，nn+4/(x)=系在(0,+8)递减，.an=2+总也是随着n的增大而减少，故数列煞1是减数列.【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：作差法，比较厮+1-Qn与0的大小：作商法，比较等1与I的大小，此时要注意的的正负；视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意日的取值范围是正整数.巩固练习I()下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B.数列0,1,2,3,的通项公式是%=nC.-1,1,-1,1,是常数列D.1,2,22,23是递增数列，也是无穷数列【答案】I)【解析】根据题意，依次分析选项：对于4、数列1,3,5,7与数列7,5,3,1中顺序不同，不是同一数列，故A错误；对于8、数列0,1,2,3,.的通项公式是郁=711,故B错误；对于C、常数列的通项为时=。，则一1,1,一,.不是常数列，故C错误；对于。、1,2,22,23,.是递增数列，也是无穷数列，故。正确.故选：D.2(*)下列说法不正确的是()A.数列不一定有通项公式B.数列的通项公式不一定唯一C.数列可以用一群孤立的点表示D.数列的项不能相等【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于4数列不一定有通项公式，如某班级每天消耗的文具数量，4正确；对于3,数列的通项公式可以有多个，不一定唯一，8正确；对于C,数列中Ti为正整数，可以用一群孤立的点表示，C正确；对于D,数列的项的可以相等，。错误；故选：D.3(*)下列叙述正确的是()A.数歹J缶是递增数列B,数列0,l,2,3,.可以表示为用C.数列0,0,0,1,.是常数列D.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列【答案】A【解析】依题意，设y=*=l-.,n,故数列羔是递增数列；所以4正确；tl表示单元素集合，这个集合只有一个元素71,显然数列0,1,2,3,不能用它表示；故8错误；因为数列0,0,0,1,中的常数不相等，故它不是常数列，C错误；数列根构成该数列的项的顺序有关，所以数列1,3,5,7与7,5,3,1是不同的数列，故。错误.故选：A.4(*)下列数列中，156是其中一项的是()A.n2+1B.n2-1C.n2+nD.n2+n-1)【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于4,若数列为+l,则有"+1=156,无正整数解，不符合题意；对于B,若数列为(小一"，则有n2-1=156,无正整数解，不符合题意；对于C,若数列为/+町，则有112+n=156,解可得n=12或一13(舍)，有正整数解n=12,符合题意，对于D,若数列为彦+兀一1,则有小+一一1=156,无正整数解，不符合题意；故选：C.5(*)数列Q7l是递增数列，则21的通项公式可以是下面的()A.On=B.an=n2-3nC.an=2nD.an=(-n)n【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于4Qn=一9有Qn-%T=W一；=而%，又由r2,则Qn-Qn-I>0，数列%l是递增数列,符合题意；对于8,%l=M-3n,则Ql=I-3=-2,。2=4-6=-2,数列即不是递增数列，不符合题意；对于C,an=2n,有%=2-1=,2=22=数列Qr不是递增数列，不符合题意：对于D,Qn=(ToL有。2=(-2)2=4,%=(-3)3=-27,数列册不是递增数列，不符合题意；故选：A.6(*)已知数列%是递增数列，且对于任意N*,卅二九2+2Q+,则实数A的取值范围是.【答案】4>一,【解析】数列n是递增数列，.对于任意n,n+1>n,(71+I)?+2(+1)+1>M+2n+1»化为：>».数列Lw1单调递减，.>V7()已知数列瓦满足匕=2“一nT-112,若数列%是单调递减数列，则实数;I的取值范围是.【解析】数列%是单调递减数列,则%+1-=24(一)-(n+I)2-2(-)n1+n2=6(-)-2n-l<0,当？I为偶数时，6<=(2n+l)(-2)n,即6lV(2+l)2n,由于2+l)2z为递增数列，则数列2z+l)2rl的最小值20,.62<20,即6若,当Tt为奇数时，6<=(2n+l)(-2)n,BP6>-(2n+l)2n,由于(2n+l)2r为递减数列，则数列一(2n+l)2z的最大值一6,:6>6,:>19综上所述实数/1的取值范围是(-l,g)【题型二】数列与函数的关系【典题1】数列4l的通项7=-2浓+9n+1,当On取最大值时，n=.【解析】方法一数列的单调性根据题意，册-1=-2(n-I)2+9(n-1)+1=2n2+13n10,则Qnan-1=-4n+11,当1113时，an-an.10,即QlQn,当n>3时，an-an1<0,即QTl先递增后递减，而。2>。3，故数列%l各项中最大项是第2项.方法二函数法依题意，Qtl=-2几2+9几+1,表示抛物线f(n)=-2n2÷9n+1当九为正整数时对应的函数值，又y=-2+9x+l为开口向下的抛物线，故到对称轴式=:距离越近的点，函数值越大，故当71=2时，%=/5)有最大值.故数列aj各项中最大项是第2项.【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量n是正整数.【典题2】数列qQ的通项On=品r则数列斯中的最大值是.【解析】a"=端语=豕W',/(%)=%+：在(0,7)上单调递减，在(7,+8)上单调递增，',斯=1上在(0,夕)上单调递增，在(，+8)上单调递减，而。2=U<a3=32,此时即=就£取得最大值为由=【点拨】根据数列的通项公式想到与之对应的函数，形如y=三驾3的般和对勾函数与基本不等式有关.巩固练习1()已知数列Qr的通项公式为41=-3n2+88n,则数列0r各项中最大项是()A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项【答案】C【解析】根据题意，数列即的通项公式为M=-3n2+88n,Mn.1=-3(n-I)2+88(n-1)=-3n2÷94n-91,则册-n-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91,当11115时，Q71tl>0，即an>%,当16时，an-n«1<0,即ar<%1-1，故数列az各项中最大项是第15项，故选：C.2()已知数列ar的通项公式为a11=储+心1+2,若对于n,都有an+册成立，则实数k的取值范围()A.k3B.k>3C.k2D.k>2【答案】4【解析】若(¼+lan成立，则函数Qn=M+k"+2,在nAT,上为增函数，则对称轴一33即可，即k-3,故选:A.3(加数列$()A.既有最大项，又有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.既无最大项，又无最小项【答案】A【解析】；210=1024,211=2048,二根据指数函数的单调性知，悬砺在1"10时为减数列且为负，在ri11时为减数列且为正，数列工J的最小项为第10项，最大项为Ii项.故选：A.4()已知数列6的通项为斯=哼，对任意7iN*,都有即。6,则正数上的取值范围是()A. k6B. 5 < k < 6C. k> 6D. 6<k<7【答案】D【解析】%=合n-k+k+2n-k=1+与n-kk > 0,n k.
