1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（解析版）.docx
142用空间向量研究距离、夹角问题考点01：异面直线夹角的向量求法1 .如图四棱锥RABC。中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（）【答案】A1C.D.【分析】连接AC与3。交于点。，连接PO,以。点为原点，建立空间立角坐标系，分别求得向量A2和PC 的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接AC与8。交于点O,连接尸。， 由题意得，AClBD,且POl平面ABCD,以。点为原点，建立如图所示空间内角坐标系,设四棱锥P-ABCZ）各棱长均为2,则人O=BO = DO = JJ, PO =母,可得 a(,o,o),e 吟'、号,c(,o,o),p(o,o,应),-喈,PC = (-2,0,-2),设异面直线AE与PC所成角为6，l .l AE PC (-2)×(-2)÷×(-2)下则 cos = COS AE, PQ = =11 回同 qq,27o726故选：A.2 .如图所示，在正方体ABS-AMGR中，求异面直线A/与4G所成的角.【答案】异面直线A/与AC所成的角为90 .【分析】利用向量的分解和数量积运算，结合正方体中的线线关系，可证明A8 AC；=0 UUU UUU UUU【详解】A1B = AB-AA1 . AC, =AB+AAi+AD,于是A1B AC,= (A-AAt)(A +AA1+ADj = AB2-AA12+ AD-AA1) t对于正方体来说，AB2-AAi2 =0> ADJ.AB, 4O_L A4 ,故 AZ>45 = 0,4> A1 =0 ,即"("一私)=0,于是A&AC；=O,即A1B _LAC,故异面直线AB与AC所成的角为90考点02:已知线线角求其它量3 .如图，在正三棱柱A8CAgG中，AB = AAy=2.E,/分别是BC、AG的中点.设。是线段4G上的 (包帮羊个般点)动点，当直线8。与律所成角的余弦值为坐，则线段8。的长为.Bl【答案】22【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设。(U,2)(T1),利用空间向量法计算异面直线所成角的 余弦值，即可得到方程，解得，从而得解.【详解】解：如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则 E(O,O,O),F8(0,-1,0),设 D(0,/, 2)(-1 rl),贝IJEb= ¥，表2)8。= (0/+ 1,2),设直线8。勺所所成角为。r+2+4所以S/二 EF BD 2 + 加,gp23z2 + 14r-37 = 0.IErlIBDl 5(r + l)2+44解得f = l或f = 琮（舍去），所以闸=Jo2+2+22= 2五,故答案为：2.4 .如图，在直三棱柱ABC ABG中，ZBAC = , AB = AC = AA,=,已知G与E分别为Aq和CG的中 点，0与F分别为线AC和AB上的动点（不包括端点），若Gz）_LEf'、则线段。尸长度的取值范围为（）故 E尸=,GD =tn-，因为Gz）_1砂,A.李1） B.坐.刍C. .2）D. I也,布 15455【答案】A【分析】以A为坐标原点建立空间"角坐标系，设出。,尸的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并 建立OP关于参数的函数关系式，求其值域即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，5l_则3,OR,G，设点0坐标为(2,0,0),尸(0,几0), 0<w<l,0<n<l,故可得 E7GZ) = -6一, + , 二。，WJ w = -2zh+1 ,由(0,l)可得加+ 5,又 DF = (T几 /1,0),故 I DF = yjm2 + n2 = j5m2 -4n + l = 5故当Zn=,时，I闭取得最小值比；又当旭=0时，。月=,但无法取到桁=0,则IM无法取到1； 55综上，线段。尸长度的取值范围为 故选：A考点03：线面角的向量求法5.如图，在长方体A8C。-A4GA中，B = AD = 2, DR =4,则A圈与平面AGo所成的角的正弦值为【答案】I【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】以A为坐标原点，ARAD,M所在直线分别为X,)，,Z轴，建立空间直角坐标系,A (0,0,4), 4 (2,0,4),。(0,2,0), G (2,2,4),设平面ACI。的法向量为6=(X, 乂 Z),nAyC =(x,y,z)(2,2,0) = 2x + 2y = 0则,，mAiD = (x, y,z)(0,2,-4) = 2y-4z = 0令z = l,则 y = 2,x = -2,故? = (-2,2,1),设Aq与平面ACQ所成角的大小为。，则Sine小何间卜”二玲Me1 '71 m-A,B4 + 4 + l×2A4与平面ag。所成角的正弦值为;.6.己知四棱锥P-ABC。中，AB/CDt ABlBC, AB=PA = 4, BC = CD =求证：ADYBP;求直线尸C与平面P8。所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析利用几何法找到线面所成【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直；（2） 角进而求解或者利用空间向量求解.【详解】（1）在梯形 A8CQ 中，ABHCA ABlBC, AB = 4, BC=CD = 2, 可算得 AD = J与 + BC? = 2&, BD = 4BC2+CD = 22,所以 AD2 + BD2 = 所以 AD± BD，在.皿）中，Q4=4, PD = AD = 满足PA?=也?十尸。2,所以AD_LPD，又 PDU平面 PBD, 8。U平面24。，RPDcBD=D,所以AC)_L平面P/”)，又因为BPU平面PB/), 所以4)_1_80：(2)由证明可知，AZ)J_平面因为ADU平面ABeD,则平面P8D_L平面ABa),取BD中点O,连OP, 0C,因为BC = CD,所以OCJL80,而OCU平面ABC。，且平面尸8D平面ABCL>= 80,OC _L平面?8。，所以/0PC就是PC与平面PBD所成的角，在ABCO中，易得0C = J,在APBO中，PB = 2«，BD = PD = 2近,计算可得OP =旧，解法2:由证明可知，AD_L平面。8Q,因为ADU平面ABCQ,则平面PBDL平面ABCD,通过计算可得NPOB =笥，建立以DA，Z)B为X轴，y轴的正方向，以过。与平面AAC。垂直的向量为在Z轴的正方向建立如图空间宜角坐标系, 显然Z轴再平面PBD中且垂直于BD,则 50,0,0), B(0,22,0), P(0,-衣病,C(G近,0),所以 PC =(应,2l#)，DP = (0,-,6), DB = (0,22,0),设平面PBD的法向量为 = (x,y,z),取,0,0),设直线PC与平面PBD所成角为6,则SinfC ,旦=旦 所以求直线PC与平面PB。所成角的正弦值为正. PC44考点04：已知线面角求其它量7.己知平面。的法向量为 = (1,2,0),直线/的方向向量为L则下列选项中使得/_La的是()A. v = (2,-l,0)B. V = (2,1,0)C. V = (2,4,0)D. v = (-l,2,0)【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若/_La,则红线/的方向向量B垂直于平面所以G与平面。的法向量 = (1,2,0)平行，显然只有选项C中丫 = 2满足.故选：C8.如图，在直三棱柱 ABC-A4G 中，AB = CG=3, BC = 4, AC = 5, AE = AAAi ,。为 8C 的中点.（1）当4 =；时，求证：AO平面8CE;（2）若J4也，CQ与平面8CE所成的角为/求Sine的取值范围. 44【答案】（1）证明见解析J返迈（）39，13【分析】（1）首先取BG中点。，连接0。，0E,。为BC的中点，易证四边形AQOE为平行四边形，从而得到AD/OE,再利用线面平行的判定即可.证明AO平面BCiE.（2）以B为原点，BeBA,84分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向吊法求解即可.【详解】（1）取BG中点。，连接。，OE,。为BC的中点，如图所示:B因为O。分别为BG和8C的中点,所以 O° ；CG 且 OO = TCG， 又当4 =；时，E为AA的中点， 所以 AEgcG，且 AE = ；CG，所以OOAE,且QD = AE,所以四边形AQQE为平行四边形，所以AOOE, 因为AO0平面BGE, OEU平面3CE,所以A£> 平面8。出.(2)因为AB=3, BC = 4, AC = 5,所以 AB? + 8C? = AC?,即 AB18C又因为三棱柱ABC-48£为直三棱柱，所以以8为原点，BCBA.BB分别为x,y,z轴建M空间宜角坐标系，如图所示:Bc= (4,0,3), E = (0,3,32),设平面BC1E的一个法向量n = (x,y,z),nBC, =4x+3z = 0.、所以,令x=3,得万= (3,4l,-4).n BE = y + Az = 0又 OG=(2,0,3),所以Sine =怦9)= L / 6 ,= pZ)C1 13162+25又LWg所以SineJ噜,平，所以Sine的取值范围为噜，当.考点05:二面角的向量求法9 .在如图所示的圆柱QQ中，AB为圆。I的直径，C,。是AB的两个三等分点，EA, FC, GB都是圆柱GQ的母线eC Qj)求证：股平面Ae>£；(2)若BC = FC = 2,求二面角A-BF-C的余弦值大小.【详解】(1)连接OC,因为区4，Q都是圆柱的母线，所以AE/B,又AA为圆。I的直径，C,。是AB的两个三等分点，所以 C0A5,CO = gA5,所以四边形AoCol为平行四边形，所以A。 O0,又 AEl AD = A,CFf,101F = F,AEAoU平面 AED, CEaFU平面。尸，所以平面AEO/平面QCr，因为FaU平面OC尸，所以r平面AOE；(2)连接AC,因为48为圆。1的直径，所以AC/8C,因为CF_L平面 ABC, C4,C8u平面 ABC,所以b_LC4,Bj.CB ,如图建系，因为C3 =。=2,所以=4, CA = >JAB2-CB2 =23则 C(0,0,0), B(0,2,0), F(0,0,2), 4(2,0,0)，AB = (-23,2,0), AF(-23,0,2),设平面ABF的法向最为笳=(x,y,z)，AB - m = -2y3x+2y = 0,L
