奥数裂项法(含答案).docx
奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。(一)阅读思考例如！一,=-,这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到3412一般情况，就有一个很有用的等式：即n+1n(n+1)一111或=(+1)n+1下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】、*1111例1.计算：÷1+H1985×19861986×19871987×19881994x1995分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一局部分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例2.计算：-+!+一!一+!11+21+2+3l+2+3+-+l(X)公式的变式当分别取1,2,3,100时，就有例3.设符号()、<>代表不同的自然数，问算式'=一+一中这两个符号所代表的数的6()<>数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，!就变成L-L=，与前面提到的等式6()<>6()<>-一一=5相联系，便可找到一组解，即！=1+-nn+1n(n+1)6742另外一种方法设小x、y都是自然数，且xy,当L=L+!时，利用上面的变加为减的想法，得算式土二nXynxy这里_L是个单位分数，所以工一定大于零，假定-z2=r>o,那么X=+代入上式得yt1ln2=,即y=F。n(n+t)yt又因为y是自然数，所以/一定能整除W?,即1是"的约数，有个，就有个y,这一来我们便得到一个比L一=!更广泛的等式，即当x=+f,y=-+n,，是2的约数时，一定有nn+1n(n+1)t1=1+1,即nXy2I1I上面指出当X=+，y=+/?,，是2的约数时，一定有二+,这里=6/2=36,36tnXy共有1, 2, 当，=1时， 当r = 2时, 当/ = 3时, 当£ = 4时,3,4,6,9,12,18,36九个约数。X=7,y=42X=8,y=24%=9,y=18x=10,y=l5当，=6时，当E = 9时，当F= 12时, 当f = 18时, 当f = 36时, 故（）和VX=12,y=10X=15,y=10X=I8,y=9X=24,y=8X=42fy=7所代表的两数和分别为49,32,27,25o1.2.3.计算：3 1 1 IlIllllllll 1计算： I1111111111113 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120x、y是互不相等的自然数，当 =2+ 工时，求x + y.18 X y【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：【试题答案】1.计算：,zoy111111111111112. 计算：I11F111F1111136101521283645556678911051203. x、y是互不相等的自然数，当二+'时，求x+y。18Xy元+)；的值为：75,81,96,121,147,200,361。因为18的约数有1,2,3,6,9,18,共6个，所以有J-与=J+上1818×(1+1)3636还有别的解法。裂项法二前一节我们已经讲过，利用等式,-n + 1 n(n + 1)-,采用“裂项法”能很快求出n n + t n(n + /) 【典型例题】例 1. + +1× 3 3x5 5x7,现利用这一等式来解一些分数的计算问题。-+4÷4÷+;这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：2612209900+1993×19951995×1997分析与解：此题如按异分母加法法那么来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。下面我们用，-,现在给、f一些具体的值，看看有什么结果。n+fn（n+1）当"=1,=2时，有=1x313当zt = 3 = 2时，有21 1353-5当九=5,1=2时，有=5×757当" = 1993,/ = 2时，有1993x1995119931995当 =1995,1 = 2时，有21995x1997-19951997上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1,但是很112112容易将题目中各数的分子变为2,例如=-×，=-×，,这样采用裂项法也1×321×33×523x5能较快求出结果来。112 X 1993 × 1995 2 1993 × 1995乂Il2Il21×321x33x523×5112=×1995×199721995×1997所以+ + 1x3 3x5例2. - + 十1 × 2 × 3 2 × 3 × 41993 × 1995 + 1995x19971因为3-1H98×99×10021 × 2 2×3 1 × 2 × 3 1 × 2 × 3所以一5 = -×(1×2×3 21×2 2×3同样可得 =× (2×3×4 22x3 3×4一般地，因为这里是任意一个自然数。利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。11111例3.计算：1111-H22+32+3÷42+3+4+52+3+4+-+200分析与解：K11(n+2)-(-l)3r=-n-1+2(-1)(+2)(-1)(+2)即-=×(-二)(n-l)(n+2)3n-1n+2连续使用上面两个等式，便可求出结果来。【模拟试题】答题时间：15分钟）二.尝试体验Ill111 .求和：I11F*H33+43+4+53+4+5+63+4+5÷÷202 .求和：1+3+5+7+9-+111040881542383403 .求和：+1×2×3×42×3×4×517×18×19×20【试题答案】“111111. 求和：I11F*H33+43+4+53+4+5+63+4+5+-+202.求和:3.求和:1 1ClUIr1ClJ1F31-5F7F9Fll1040881542383401F H 1×2×3×4 2×3×4×517×18×19×20111
