解析几何中若干经典结论及其应用——结论部分.docx

解析几何中若干经典结论及其应用结论部分一、定点类结论结论1设AB是圆锥曲线。的弦，点A关于X轴的对称点A'(点4,8不重合)，且48过点P(/,0).(1)若曲线C为椭圆W+E=l(>A),则直线AB过定点Q(Q,O);ab(2)若曲线C为双曲线W-二二l(4>O,Z>>0),则直线AB过定点Q(Q,0)；ab-t(3)若曲线。为抛物线y2=2px(p>0),则直线AB过定点Q(,0)结论2过圆锥曲线上的一个定点M(X°,九)任作两条互相垂直的弦MP,MQf若曲线为非等轴双曲线，则直线PQ必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线PQ斜率为定值.(1)若M在椭圆W+E=l(4>b>O)上，则PQ过定点(小名与，一GW%);(2)若M在双曲线£一与二l(4>0,人>0)上，erb当白时，PQ过定点(今4”。L5哆%)；当时，PQ的斜率为；(3)若M在抛物线b=2px(p>0)上，则PQ过定点(M+2p,-%).结论3A,B是抛物线丁=2p(p>0)上异于顶点的两动点，点M(Xo,%)为抛物线上一定点，过M作两条弦MA,MB.(1)若kMAkMB=in(非零常数)，则直线AB过定点0-女，-%)；(2)若ZMA+Kws=(非零常数)，则直线AB过定点(事-生,空一%)；(3)若直线MA,例8的倾斜角分别为,且+4=6(0v6<)为定值，当口,变化时，直线48过定点(%-2汉-2p,°tan。tan<9°)一般结论：A,B是圆锥曲线上两动点，点”为其上一定点，MA,的倾斜角分别为,则以下条件均可得出直线AB过定点：MMB=祖(非零常数)；kMA+kMB=(非零常数);+万=6(0<e<)为定值；MAM月为常数.结论4已知点P为圆锥曲线上一点，若曲线在点尸处的切线交准线于点A,则以线段限为直径的圆恒过与该准线对应的焦点.结论5已知曲线£±£=1的左顶点为A,过右焦点尸的直线交曲线于点B,C,直线A8,abAC分别交右准线于点M,M则以MN为直径的圆必过尸.注：在抛物线中，将抛物线的一个顶点看作在无穷远处，有类似结论成立.结论6已知AB是过圆锥曲线的焦点F的弦，E是与焦点F相对应的准线I和圆锥曲线对称轴的交点，点C在/上，则直线AC过线段E户的中点的充要条件是BC取.推论1若尸是圆锥曲线的焦点，七是与产相对应的准线/和圆锥曲线对称轴的交点，AB是过焦点尸的弦，FE/BC,N是线段EF的中点，则BC与AN的交点C在准线/上.推论2若尸是圆锥曲线的焦点，E是与尸相对应的准线/和圆锥曲线对称轴的交点，点8在圆锥曲线上，点C在准线/上，FE/BC,N是线段EF的中点，则直线8尸与CN的交点A恰在圆锥曲线上.结论7已知椭圆二+±r=l(q>Z>>O),过椭圆内X轴上一点(w,0)任作两条相互垂直的arb-弦48,CD,设M,N分别为A8,C。的中点，则直线MN必过定点(,?)，Ob二、定值类结论2.1与±，有关的结论结论8(1)已知M,N是椭圆马+4=1(。>人>0)上关于原点对称的两动点，P是椭圆上aZr异于M,N的一点,若直线PM,PN均存在斜率，则ZaAf%,=-4；a(2)己知M,N是双曲线-4=l(a>0,>0)上关于原点对称的两动点，P是a-Zr双曲线上异于M,N的一点，若直线尸M,PN均存在斜率，则“%v=4.a结论9(1)已知M,N是椭圆W+W=l(>b>O)上的两动点，P是线段MN的中点，a-h-O为坐标原点，若直线OP,MN均存在斜率，则%wv=-;a(2)已知M,N是双曲线百一g=l(>O,>0)上的两动点，P是线段MN的中crb2点，。为坐标原点，若直线OP,MN均存在斜率，则%p%w=4.a结论10已知M(X,y1),N(X2,M)是椭圆r+=l(>h>°)上的两动点，的面ab积为S,点M,N均不在坐标轴上，O为坐标原点，则以下五个命题等价: k。MkON=xf +xj=a2i®S=ab；QM2+OM=a2+b2,若尸为椭圆上一点，ROP=AOM+ONt则储+/Z=1.结论11已知圆锥曲线：/(Hy)=A+Cy+。+与，+尸=0上一定点P(沏，N°),过P作倾斜角互补的两条直线PM,PN分别与交于异于P的两点M,N,则直线MN的倾斜角为定值.注：若曲线为椭圆K+C=l(>b>O),贝I%N=4,即改.=不；abaay0若曲线为双曲线W-E=l(>O,6>0),则3n=-4,即&N=aba若曲线为抛物线y2=2px(p>0),则2.=一'.%该命题的逆命题也成立.证明：当点P在曲线：/*,y)=A+cy2+D+sy+尸=o的对称轴上时，直线MN的倾斜角为0°或90°,结论显然成立；当点P不在曲线的对称轴上时，直线PM,PN,MN的斜率均存在且都不为零,此时条件可设为即M=Z,怎N=-&，设(,K),N(x2,y2),则/(知NO)=0,/(X，乂)=°，f&，y2)=由/(X，J)-(>%)=0,两边同时除以-不，得C(y1+yo)+F+D+A(x1+)=0，同理。(必+%)+可(一口+。+4+$)=0，+0,得以(y-%)+A+x2)+2O+2=0，得A(K-X2)+C%(y+%)+2次+2Cbb=O，所以X+x2=y(y-2)+2x0，X+%=Mx-占)+2%K代入，得(+如y-j2) = -(2D + 4x0),(a + j(x1-x2) = -(2E + 4Q0),两式相除，得A.=当=器誉(定值).所以当小，吟哈。时，2悬2,262当)二=一"一1=。时，k“N=r-2:abay当/3y)=y2-2px=0时，kMN=-.%2.2与/有关的结论结论12已知曲线氏£±W=1(>0,>0)的左右顶点为A(-a,0),8(,0),点Q(m,)aZr(三0,"z±0)不在曲线七上，QA,QB分别交E于C,D,直线Co交X轴于点尸，则有。POO=。？.注：曲线E可以表示焦点在X轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致.结论13(1)己知A,8为椭圆C+5=l(>h>0)上两动点且关于X轴对称，P为X轴上ab一定点，连结附交椭圆于点M,则3M恒过定点Q,且有OPoQ=/；(2)己知4,8为双曲线£-二=l(>O,b>0)上两动点且关于X轴对称，P为Xarb轴上一定点，连结而交双曲线于点M,则恒过定点,且有OPOQ=/.(3)已知A,B为抛物线V=2p(p>0)上两动点且关于X轴对称，P(a,0)为一定点，连结附交抛物线于点M,则恒过定点。且有OPOQ=一6.结论14(1)设A,B是椭圆W+4=l(>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外a'bi部的两点，若过A点引直线(直线不与坐标轴垂直)与椭圆相交于P,Q两点，且NPBA=NQR4,则点A,B的横坐标满足4/=/；(2)设A,8是双曲线5-太=l(4>O,h>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两点，若过A点引直线(直线不与坐标轴垂直)与双曲线的这一支相交于P,Q两点，且NPBA=NQ84,则点A,B的横坐标满足=«22.3焦半径公式结论15(1)已知椭圆g+=l(4>b>0)中，弦A8过左焦点尸，且倾斜角为仇crb2点4在X轴上方，则4尸二一-7,BF=一.-ccos+ccos9(2)已知双曲线m-4=13>0,>0)中，弦AB过左焦点尸，且倾斜角为仇crtr点4在“轴上方，则A尸二匕力，BF=-+ccosJa-ccos(3)已知抛物线y2=2px(p>0)中，弦AB过焦点F,且倾斜角为仇点A在工轴上方，则A尸=1P丁，BF=,Pq.1-cos1+cos注：在(1)(2)中易得48=,2婆若左焦点改为右焦点，其他条件不变,a2-C2cos2结论16(1)设直线/过椭圆W+4=l(>b>0)的一个焦点凡且与椭圆相交于P,Qa-b-两点，若PF=m,FQ=nt则上+1=4(J+l=2).mnbmnep(2)设直线/过双曲线£W=15>0,。>0)的一个焦点况且与双曲线的同一a-b-支相交于P,。两点，若PF=m,FQ=n,贝口+人普.tnnb(3)设直线/过抛物线y2=2pNp>0)的焦点F,且与抛物线相交于P,。两点，若PF=m,FQ=n,则JL=2.innp注：以上结论利用结论15极易获证.结论17在圆锥曲线中，设过焦点尸且不垂直于坐标轴的弦为A8,其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R,则g=5AB22. 4与垂直有关的结论结论18(1)已知O为原点，P,。为椭圆g+W=l(>A>O)上两点且OP_LoQ,则arb-±+4=±+,。到一Q的距离为-J”.。产OQ2a2b2之(2)已知。为原点，P,。为双曲线W-二=I(OeaV3上两点且OP_LOQ,则a-b2工+Jb=4-,。到尸。的距离为Jb。产0Q2/b2N而二7结论19已知。为原点，P,。为抛物线y2=2px(p>0)上两点且OP_LO0,则S."24户.结论20(1)若A8,。是过椭圆£+二=l(>h>O)焦点的弦，且AB_LCZ),a-b-则+=2.jABCD2ep,(2)若A8,Co是过双曲线W-E=l(>O,人>0)焦点的弦，且AB_LCZ),orb-则;+=iA(3)若A8,8是过抛物线V=2px(p>0)焦点的弦，且A8_LCz),则II=IABCD2p'注：其中e为圆锥曲线的离心率，为焦点到相应准线的距离.三、定轨类结论结论21已知(,>,l),N(X2,%)是椭圆二+上r=l(>b>°)上的两动点，O为坐标原ab点，则生/(W=-4与以下命题等价：a线段MN中点的轨迹方程为马；ahr2若动点P满足OP=OM+ON,则尸点的轨迹方程为£+二=无+/?.CTb注：命题与结论10中六个命题均等价.结论22设定点Q(*,No)不在圆锥曲线A+如v+Cy2+f)+fy+尸=0上，过。作直线交曲线于M,N两点，P为动直线MN上异于Q的另一点，且满足嚣=畏,则夕点的轨迹是直线40+6生产+Cy°y+D与E巧互+F=0或其局部.证明：设M(XI,y),N(x2,y2)fP(x,y),则Axf÷Bxiyl+Cyf+Dxa+Ey+F=0,Ax+Bx2y2÷Cy?÷Dx2+Ey2+F=0»l + 和 )1+2乃xi+Ax2不妨设。在圆锥曲线外部所以-x+3W三+Q,°y+O号+E号+尸_Ar12-A2X2Bxa>,-2Bx,y2Cyf-2CylDx-2Dx2Eyi-A2Ey2F-X1F=-2+-1-2"+1-2+1-2+-1-+1-=(Ax；+BXIy+Cy12+DXl+Eyi+F)2(Ar；+Bx2y2+Cyl+Dx2+Ey2+F)J=T°-22°=0此时P点的轨迹是直线做x+8汽纶+Cy°y+。主尹+七"滋+F=O在曲线内的部分.同理易证得，当点Q在曲线内部时，P点轨迹为直线本身.结论2