基本初等函数知识点及练习.docx
【指败与指数函数】一、指数C一)整数描数¥1 .整数指数事概念："=(nwN")；an=(O,"wN).规定："=(0).2 .整效指敷事的运真性质：1""'"=,(2Jam+an=(m,nZ)；(3) (a)"=("?,WZ)；(4) ab)j'=(«Z).二)根式1 .根式的概念1的"次方根的概念%一般地，如果一个数的"次方等于(">1,"WN),那么这个数叫做。的"次方根.即：假设，那么X叫做的"次方根.(n>l,"wN.)例如：27的3次方根，一27的3次方根，32的5次方根，一32的5次方根.说明：(1假设"是奇数，那么的"次方根记作夜；假设>0,那么板,假设<0,那么2假设"是偶数，且>0,那么"的正的"次方根记作板，"的负的"次方根，记作：一W；例如：8的平方根；16的4次方根.3假设"是偶数，且<O那么爪没意义，即负数没有慎次方根；."=(>l,MeN*),;.0=(>i5式子夜叫根式，"叫，a叫.2 .的"次方根的性质1一般地，假设"是奇数，那么夜7=;假设"是偶数，那么而7=.2(加")"=(注意。必须使板有意义.(r)分数指效¥1 .分效指敷事：nr规定：1)正数的正分数指数幕的意义是=(>0,，"、"gN.,">1)；2)正数的负分数指数幕的意义是a-'=(>0,?"、"wN.,">1)；3) O的正分数指数幕等于，0的负分数指数零.2 .分数指数事的运算性辰I整数指数幕的运算性质对于分数指数幕也同样适用a”=(a>O,r,swQ);(2)(ar)=(a>0,r,swQ)；(3)(aZ>)r=(a>O,b>O,rG0).说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幕的形式;例如：V®10=(a>),W"-=(a>)【练习稳固】1 .求以下各式的值：1)(2)J(To)-4(3-乃)'J(a-b)2(a>b)2 .a<<0,">1,"W*,化简：;斤+gf3 .计算：族+莉+力一廊4.求值:昌4-65 .用分数指数幕的形式表示以下各式(a>0)：1a14ai2a3-；3)Ja&.6.计算以下各式的值式中字母都是正数.2） L L（a>0）.7.计算以下各式：a(<M-JilM)+<M二、描数函数1 .指敷函敷定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是.2.描敷函敷y=ax在底数a>lfi<a<l的图象特征及函敷性质：图象特征函数性质图象的伸展：图象的对称性：图象的位置：图象过定点：自左向右看，图象逐渐_自左向右看，图象逐渐_在第一象限内的图象纵坐标都在第一象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都图象上升趋势是越来越图象下降趋势是越来越函数值开始增长,到了某一值后增长速度函数值开始减小到了某一值后减小速度总结:指数函数J=O1在底数>1及O<<l这两种情况下的图象和性质：a>l0】图象4Oi23F4-3-2-1-1Q123T_K性质1)定义域：.2值域：3)过点,即X=O时，J=,.4)在R上是函数，当x>0时,；当x<0时,.4在R上是函数，当*>0时，i当*<0时，.掌握指数函数在底数不同时的图象变化规律.当a>l时，y=jr的图象向上越接近y轴，向下越接近X轴.当O<<l时，y=jr的图象向上越接近y轴，向下越接近*轴.【练习稚固】一、指数函数的定义问腰例：假设/(5?Al)=X-2,那么/(125)=.练1.指数函数图像经过点P(-l,3),那么/(3)=.练2.设函数/(x)=qT*a>0且wl),/=4,那么CA./(-l)>(-2)B./(1)>(2)C./(2)<f(-2)D./(-3)>/(-2)3练3./(X)是指数函数，且/(-彳)=不工，那么/=二、描敷函敷的图像问例1：假设函数y="-3+l)(>0,l)的图像经过第一、三、四象限，那么一定有A.>l且5>0B.0<<l<0C.0<<l且>0D.a>LS.fr>1例2：画函数y=J"(>l)的图像.练1.方程2国+x=2的实根的个数为.练2.直线y=3与函数y=卜*一1(>0且h1)的图像有两个公共点，那么"的取值范围是练3.假设一l<x<O,那么以下不等式中成立的是练4.函数y="T+3(>0且"1)的图象恒过定点.练5.函数y=a"r+1(0>O且1)的图像必经过点练6.设0,b,c,d都是不等于1的正数，yax,y=Z/,j在同一坐标系中的图像如下图，那么,A,c,d的大小顺序是)A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<d<cD.b<a<c<d三、求解有关指数不等式、方程例：(/+2+5)3*>(+2+5)i,那么X的取值范围是练1.设O<<l,解关于X的不等式q2*'-3*+2>a2/+2*-3练2解方程3*+2-32'=80.练3.假设方程(：)'+(；)*+=O有正数解，那么实数"的取值范围是.练4.设O<<l,使不等式"7*+1>jr'-3jr+s成立的X的集合是.四、定义域与值域问M例：求以下函数的定义域、值域.(1y=82*；(2)y=Jl-(；)*；3y=3-"(4)y=：+卜>0,l).练1.当XWl-1,1时，/(X)=3*-2的值域为.练2.函数y=/(x)的定义域为(1,2),那么函数y=/(2*)的定义域为.练3.设集合S=yy=3*,xeR,T=yIy=x'-l,xeR,那么ST是)A,0B、TC、SD、有限集练4.求以下函数的定义域与值域1) y = 2xi ； (2) y = 4* + 2" + l ；3) Iy练5.2x W ,求函数y = (；)的值域.五、量值问题例：函数y="2*+2、-l(">0且l)在区间-1,1上有最大值14,那么"的值是.11练1.XG-3,2,求/(x)=*-不j+1的最小值与最大值.练2.-lx2,求函数/(*)=3+23"1-9、的最大值和最小值.练3.设04*42,求函数y=4"-z-32'+5的最大值和最小值.六、比拟大小问悬例：设;<'那么)D. ab <ba <aaA.aa<ab<B.<ba<ahC.ab<aa<ba练1.<)5-2,那么实数a的取值范围是练2.炼3.(h+8)B.1 一,+82以下三个实数的大小关系正确的选项是20H<2-< 1201112011<2比拟以下各组数的大小:B.C. (-8,1)20HD. 1< 22011D.12011201IJ1"'W1)假设>b>c>l,比拟与；2假设>b>0,c>0,比拟'与加；3假设>%>0,c<0,比拟'与工；4假设w(l,+8),x>y>0,且*=b>,比拟4与方；5假设,be(,l),Xey<0,且*=Z,比拟与方.七*单调性问康例:讨论函数/(x) = (；)的单调性.练1.函数y =的单调增区间为.练2.函数y = 2jfT的单调递增区间为.练3.函数/(x ) = 2' A. 6,+ 00)-2<-D>+l在区间5,+8)上是增函数，那么实数"的取值范围是B.,+ 8)C. ( ,6 D. (- QO, 6 )练4.的单调增区间为函数yA.(-ro,+ro)B.(0,+8)C.(l,+oo)D.(°)练5.函数/(x)=j在(一oo,+oo)上(A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值练6.求函数y = 2-+"+2的定义域，值域和单调区间.练7.求函数y =的单调区间.备敷的奇假性问题例:«+1当a>l时，证明函数y=F-是奇函数.a1练1.如果函数/(x)在区间一2,4"一2"上是偶函数，那么=.练2.假设函数/(x)=+一是奇函数，那么=.4-1练3.假设函数/(*)=e-"-"P的最大值为，"，且/(x)是偶函数，那么，"+"=.,2练4.设4是实数，/(*)="一歹(*gR),1)试证明：对于任意,/(*)在K为增函数；2)试确定a的值，使/(x)为奇函数及此时/(*)的值域.练5./(x)=(+白)*.1)求函数的定义域；2)判断函数/(X)的奇偶性；3)求证：/(x)>0.12【对数与对敷函数】一、对数1 .对数的概念：一般地，如果"*=N(>0,l),那么数X叫做以为底N的对数，记作：X=IogIIN其中：是，N是，log”N是两个要对数：L)常用对数：以10为底的对数IgN；常用对数：IgN=IOgIoN(2)自然对数：以无理数e=2.71828为底的对数的对数InN.自然对如InN=Iog,N其中e=271828；对敷式与指数式的互化lajr=N转化>ogN=x2 .对敷的性质，(1负数和零没有对数；C2)1的对敷是零IIOgaI=；(3底敷的对数是1,1Og(Ia=；£4)对1恒等式：N"'=；5IOg“。"=.3 .对数的运算法那么：Iog“(MN)=(M,N三R+),loga-=(f,NeR+)iEg”(N“)=(NWR+)；IOg“正=(NWR+)4 .对敷换底公式:IOgJbN=!5 .由换底公式推出一生常用的结论：(1) Eg”加log.a=,log”=；(2Iogjbm=；(3) logu6"=；k)g“am=.二、对三l函JR1 .对效函数的概念：函数y=Iog"*(a>0且aw1)叫做对数函数其中X是自变量，函数的定义域是(0,+8)2 .对我函数J=Iogn*在底敏a>1及0<a<1的图象特征及函数性质：图象特征函数性质a>l0<a<l&>10<a<1图象的位置：函数图象都在y轴右侧图象对称性：图象关于原点和y轴不对称图象的伸展：向y轴正负方向无限延伸图象过定点为：函数图象都过定点(1,0)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降第一象限的图象纵坐标都大于O第一象限的图象纵坐标都大于O第二象限的图象纵坐标都小于O第二象限的图象纵坐标都小于O总结：指数函数J=IOg(IX在底数>1及0<<l这两种情况下的图象和性质:
