专题14-一次函数中的最值问题(解析版).docx

专题十四一次函数中的最值问题考点一坐标系中两点之间的距离最值问题【方法点拨】点到直线的垂线段最短；两点之间线段最短。【思路点拨】当线段最短时，P8与直线y=%+m垂直，根据解析式即可求得C、。的坐标，然后根据勾股定理求得CQ,然后根据三角形相似即可求得P8的最短长度.【解析】解：当线段最短时，PB工CD,如图所示：由直线y=-x+m可知，直线与坐标轴的交点为C(-孙O),D(0,m),：*OC=m,OD=m,CD=而，点尸的坐标为(2,0),*»PC=2+?，丁/PCB=NOCO,/PBC=/DoC=90°,，丛PBCS丛DoC,.PBPCnPB2+mBCDm：.PB=_/十一2in【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键.2如图，点P在第一象限，AABP是边长为2的等边三角形，当点A在X轴的正半轴上运动时，点8随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+3若将AABP的抬边长改为2>27另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为+5，【思路点拨】根据当。到AB的距离最大时，OF的值最大，得到。到A8的最大值是78=1,此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM,即可求出答案；将AABP的PA边长改为无，另两边长度不变，根据22+22=(22,得到PBA=90°,由勾股定理求出PM即可【解析】解：取A8的中点M,连OM,PM,在RtOl',OM=黑=1,在等边三角形ABP中，PM=3无论aABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM,/W在一直线上时，f距O最远，1Y。到AB的最大值是FB=L2此时在斜边的中点”上，由勾股定理得：PM=22-I2=37AOP=1+37将aAOP的PA边长改为22，另两边长度不变，V22+22=(2砂，ZP=90o,由勾股定理得：PM=12+22=57，此时OQ=OM+PM=I+-5.故答案为八1+3,1+5.【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出Po的值是解此题的关键.考点二坐标内的线段和（差）最值问题【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小，差最大31.如图，已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为（初-2）,点尸在直线y=-X上运动，当照-P855A.（2,-2）B.（4,-4）C.（-,一亍）D.（5,-5）22【思路点拨】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案.【解析】解：作4关于直线y=-X对称点C,易得C的坐标为（L0）；连接BC可得直线BC的方程为y=-x-55求BC与直线.y=-%的交点，可得交点坐标为（4,-4）；此时俨A-PBl=IPC-F阴=BC取得最大值，其他BCp不共线的情况，根据三角形三边的关系可得PC-PB<BCi【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大.2.如图，在平面直角坐标系中，RlAOAB的顶点A在X轴正半轴上，顶点B的坐标为（3,35,点C的坐标为（5, 0）点P的斜边OB上一个动点，则PC+E4的最小值为（2v 7【思路点拨】作A关于OB的对称点D,连接CD交08于P,连接AP,过£）作DNLOA于M则此时PA+PC的值最小，求出AM,求出AO,求出DN、CM根据勾股定理求出CD,即可得出答案.【解析】解：作4关于OB的对称点D,连接CD交OB于Pf连接APf过。作DNLOA于N,则此时H4+PC的值最小，VDP=PAfPA+PC=PD+PC=CD,：B(3,3),.AB=31OA=3,VuinZAOB=b=-OA3ZAO=30o,；OB=2AB=2事由三角形面积公式得：1×OA×AB=1XOBXAM,223 2=M.AAD=2×=3,YAM8=90°,ZB=60o，NBAM=30°,VZBAO=90o,ZO4f=60o,t:DN-LOAf.AN=1AD=由勾股定理得：DN=%2221VC(-,0),CV=3-1-2=l,22在RI£>NC中，由勾股定理得：DC=JI2+(亨)2=于JTT即PA+PC的最小值电.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出尸点的位置，题目比较好，难度适中.3.如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是（4,4）、点8的坐标是（2,5）,在X轴上有一动点P,要使PA+PB的距离最短，则点P的坐标是_（-鼻，0）_.个B（2,5）A（-4,4）5-4-3-2-1-5-4-3-2-1Ol2345-1- -2-3-4-5-【思路点拨】先作出点A关于轴的对称点A1,再连接A1B,求出直线的函数解析式，再把），=0代入即可得.【解析】解：作点A关于X轴的对称点4（-4,-4）,连接A/交X轴于P,-8的坐标是（2,5）,直线48的函数解析式为y=L5x+2,把夕点的坐标（，0）代入解析式可得【点睛】此题主要考查轴对称-最短路线问题，综合运用了一次函数的知识.4 .如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6,点4、C分别在X轴，），轴的正半轴上，点。在。4上,【思路点拨】作出。关于08的对称点。'，则的坐标是（0,2）.则尸。十%的最小值就是AD'的长，利用勾股定理即可求解.【解析】解：作出。关于08的对称点。，则。的坐标是（0,2）.则PD+¾的最小值就是40'的长.则OD'=2,因而A。'=0D2+OA2=4÷36=210则PD+P和的最小值是2l.故答案是：2.J0;【点睛】本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出?的位置是关键.5 .如图，一次函数y=r+2的图象分别与X轴、)，轴交于点4、B,以线段48为边在第二象限内作等腰RtABC,NBAC=90°.(可能用到的公式：若A(x,y,),Bx2,”)，A8中点坐标为(匕地，"垃)；22AB=7(x-X2)2+(y-y2)2)(1)求线段AB的长；(2)过8、C两点的直线对应的函数表达式.(3)点D是BC中点,在直线45上是否存在一点P,使得PC+P。有最小值？若存在，则求出此最小【思路点拨】(1)求出一次函数图象与X轴交点坐标，再利用勾股定理求出AB的长即可；(2)过。作CE垂直于X轴，可得出三角形ACE与三角形AoB全等，进而确定出C坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式即可；(3)根据中点坐标公式，可得。点坐标，根据轴对称的性质，可得O'点，两点之间线段最短，可得P点，根据解方程组，可得E点坐标，根据中点坐标公式，可得。'，根据两点间的距离，可得答案.【解析】解：(1)对于一次函数y=*+2,令X=0,得到y=2,令y=0,得到X=-4,即A(-4,0),B(0,2),0A=4,0B=2,则B=OA2+OB2=2x57(2)过C作CElx可得EG4+C4E=90°,第7页(共25页)84。为等腰直角三角形，：.AC=ABt且N8AC=90°,.NC4E+NOA8=90°,NECA=NoAB,在£：&!和aCMB中，ZECA=ZOABZCEA=ZAOB=90°CA=AB.t.ACEAO(AAS),：.CE=OA=4,AE=OB=Z,即0E=0A+AE=6,，点C的坐标为（-6,4）.设直线BC解析式为y=kx+h,把3(0,2)与C(6,4)代入得：户=2I6k+b=4解得：k=-则直线BC解析式为尸飞1t+2;作出。关于直线48的对称点(b=2D1,连接CD',交直线AB于点P,此时CP+DP最小,Y点D为3C的中点，O62+4，点。的坐标为（-，即O（3,3）,Y直线AB解析式为产1x+2,k=1t22直线的k=-2,设直线DD,的解析式为y=lcx+bf将&=-2,D（-3,3）代入，解得b=-3,直线解析式为y=-2-3,与直线48解析式联立得:y = 2x 3(y= 2x÷2解得:X=- 2 y = 即两直线交点E坐标为（2,1）.设D,（x,y）,由中点坐标公式，得X3y+3解得x=-l,y=-LD,(-1,-1),则最小值为=（-6+l）2+（4+l）2=5J7【点睛】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用两点间的距离公式；解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出C点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用轴对称的性质得出P点坐标，又利用了对称点的中点在对称轴上得出。'点坐标.6.在平面直角坐标系上，已知点4（8,4）,AB_Ly轴于B,AC_LX轴于C,直线y=x交AB于。.（1）直接写出B、C、。三点坐标；（2）若E为。延长线上一动点，记点E横坐标为小ZBCE的面积为S,求S与。的关系式；（3）当S=20时，过点E作于尸，G、”分别为AC、CB上动点，求尸G+G”的最小值.【思路点拨】（1）首先证明四边形ABOC是矩形，再根据直线y=x是第象限的角平分线，可得OB=BD,延长即可解决问题；（2）根据S-Sobe+SoecSaobc计算即可解决问题；（3）首先确定点E坐标，如图二中，作点尸关于直线AC的对称点尸，作尸HLBC于H,交AC于G.此时/G+G”的值最小；【解析】解：（1）.A8"Ly轴于B,AC_Lx轴于C,.*.ZABO=ZACO=ZCOB=90o,.四边形480C是矩形，VA(8,4),：.AB=OC=S,AC=OB=4,：.B(0,4),C(8,0),Y直线y=x交AB于O,；4BOD=450,：OB=DB=4,：.D(4,4).(2)由题意E(0,。)，Ill;.S=SOBESOECSObc=×4×a+×8×aa×4X8=6t?-16.222(3)当S=20时，20=6-16,解得=6,：.E(6,6),*：EFIABTF,F(6,4),如图二中，作点尸关于直线AC的对称点F,作尸HLBC于H,交AC于G.此时尸G+G/7的值最小.Ff图二VZABC=ZFfBH,NBAC=NFHB,：AABCsAHBF',ACBCBFVAC=4,BC=42+82=4v57BF=AB+AF'=8+2=10,4_4、亏F-10：F/7=25，尸G+G”的最小值=F/7=267【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的判定和性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题.考点三坐标系中三角形周长最小问题【方法点拨】通常巳知一线段是定值，运用“将军饮马”模型求