三角函数的图像变换练习题.docx
三角晶微y=ASin(m+°)的画像变换蠢大脑体操电作业完成情凉)山教学目标)、1结合具体实例，瓒举y三Asin(勿¥+9)的郑J逾义会用“五髓”画出襦iy=Asin(g+。)的？胭。会用Il算机画图，赚并倒渗数A,MWi角A,对醴图象2能由国型!线觎平移、伸雌换得到用in(x+的性像3教为装中体现简单至愎杂、椒卷InmoI徽学思赳毒趣味引入)坛知识梳理)1、函数图象的左右平移变换TTTT如在同一坐标系下，作出函数y=sin(x+1)和y=sin(xa)的简图，并指出它们与=snx图象之间的关系。TT解析：函数y=sin*+W)的周期为24，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。7tK设x+5=Z,那么Sin(X+§)=SinZ,x=Z-275当Z取0、X,右二,2乃时，X取36363。所对应的五点是函数2 2TTTTSte3 y=sin(x+-),x,图象上起关键作用的点。4 1.33_列表:X562Tl65TX+3023224ZK、sn(x+-)010-107T类似地，对于函数y=sin（x-可列出下表:xR及X43兀T5TlT9714X402322.，兀、Sm(X-)010-103个单位而得到的，y=sin（x-工）的图象可以看作是把V=Sinx的图象上所有的点向右平行移动4了个单位得到的。注意：一般地，函数y=sin（x+e）（eWo）的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当e>°时）或向右（当时）平行移动倒个单位而得到的。推广到一般有：将函数）=/*）的图象沿X轴方向平移个单位后得到函数y=（x+）3±0）的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。2、函数图象的横向伸缩变换.1.Cy=sinx.如作函数y=sm2x及2的简图，并指出它们与y=Sinx图象间的关系。T2汽解析：函数）'=sin2x的周期一2一，我们来作工6加时函数的简图。必把,2乃时，所对应的五点是函数JT3、4设2x=Z,那么sin2x=sinZ,当Z取0、,2y=Sin乙Z0,2力图象上起关键作用的五点，这里一2,所以当X取o、4、时，所对应的五点是函数）'=sin2x,xe0,组的图象上起关键作用的五点。列表：XO423冗T2xO23乃T2sin2%OIO-1O函数y=Singx的周期T=竿=4乃，我们来作X口44时函数的简图。2列表:X WR及XO23乃441X2O23兀T21sinx2O1O-1Oy=sinX»XGR的简图（图略）。2从上图可以看出，在函数y=sin2x的图象上横坐标为贵（XoWA）的点的纵坐标同），=SinXX0=sin（2）=sin=1.smx0 = sny =1上横坐标为R。的点的纵坐标相同（例如，当2时，22）。因此，y=sin2x的图象可以看作是把y=Sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。1y=sn-x类似地，2的图象可以看作是把N=SmX的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。注意：一般地，函数y=sinm（o>°且GWI）的图象，可以看作是把y=Sinx的图象上所有1点的横坐标缩短（当G>l时）或伸长（当。口Vl时）到原来的0倍（纵坐标不变）而得到的。推广到一般有：函数y=（0）（G>O,0Wi）的图象，可以看作是把函数y=/（X）的图象上的点的横坐标J_缩短（当。>1）或伸长（当OVGVl）到原来的G倍（纵坐标不变）而得到。3、函数图象的纵向伸缩变换1如在同一坐标系中作出y=2sinx及y=sinx的简图，并指出它们的图象与，=sin1的关系。解析：函数y=2sinx及y=gsin戈的周期丁二2%，我们先来作X2加时函数的简图。列表：X02322%sinx010-102sinx020-201.sinx2022020描点作图，如图：利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到y=2sinx,xR及1 .dy=sinx,XeR2 的简图（图略）。从上图可以看出，对于同一个X值，y=2sinx的图象上点的纵坐标等于y=sinx的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而）'=2sinx,XeR的值域为-2,2,最大值为2,最小值为一2。1 1类似地，y=上SinX的图象，可以看作是把y=smx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的上2 2倍（横坐标不变）而得到的，从而y=!sinx,xR的值域是最大值为,，最小值22221为一5。注意：对于函数y=Asinx（A>o且AHI）的图象，可以看作是把y=Sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>l时）或缩短（当0<A<l时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，y=Asinx,XCR的值域为a,a,最大值为A,最小值为一A。推广到一般有：函数y=A（）（A>o且AWl）的图象，可以看作是把函数y=/（X）图象上的点的纵坐标伸长（当A>l）或缩短（当0<A<l）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。4、函数)=Asin(m+0)的图象作函数，=Asin(m+°)的图象主要有以下两种方法：(1)用“五点法”作图用“五点法”作y=Asin(G+0)的简图，主要是通过变量代换，设z=m+e,由Z取O,7L2万，红，24来求出相应的X,通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。2(2)由函数)'=sinx的图象通过变换得到y=Asin(G+°)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一：先平移后伸缩y = sin x向左">0)或向右(9<0)平移网个单位= Sin(X + °)> y = sin(r + )y= ASin(公 + ¢)横坐标变为原来的J倍纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍横坐标不变法二：先伸缩后平移y = sinxy = sin Ctir横坐标变为原来的J倍坦>纵坐标不变.向阳纥。那向.右(汽鱼>)=si。.+平移l个单位纵*黑黑的A倍>y"iM+°),.四可以看出，前者平移m个单位，后者平移G个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量X而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。当函数y=Asin(s+e)(A>o,>0t+8)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间-21T=J=口，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数T24，它叫做振动的频率；5+9叫做相位，。叫做初相(即当x=0时的相位)。典例讲练71.y=sin(2x+)例1.用两种方法将函数V=Sinx的图象变换为函数3的图象。71兀x->2x2(x+)=2x+-分析1：63横坐标缩短到原来的;y=sinx=解法1；纵坐标不变向左平移菅个单位y=sin2x471y=sin2(x+)=sin(2x+)63Axx+>2x+-分析2,向左平移个单位解法2,'=Sinx2>横坐标缩短到原来的;y=Sin(X+)273纵坐标不变y=sm(2x+)点评：在解法i中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即不和§),但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。练习:要得到y=sm(2xg)的图象，只要将y=sm2xfr5困泉解一：由于y=sm(2x令=矶4/令)，所要得到T=Sm(女/的图应选D解二；y=sm2量西点(0,0),y=乳n(2x1)则经过点6,0)这是与36X轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与X轴交点中最,只要将y=以立制图象向右平移7个单位，就可得到y=三n(2x-63的图象.选D例2.用五点法作出函数y=2sin(2x+q)的图象，并指出函数的单调区间。分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。解析：(1)列表TTrTT列表时2X+：取值为0、)、号、2乃，再求出相应的X值和y值。(2)描点X6n3l12562x+-302322020-20(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y=2sin(2x+?),xR的简图(图略)。TT1TT可见在一个周期内，函数在一,上递减，又因函数的周期为4，所以函数的递减区间1212为k+-,k+-,(ZZ)°同理，增区间为k-,k+,(RZ)°_1212JL1212_点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的皈+取0、J冗乜、222万，然后求出相应的X,y值。例3.如图是函数y=4sin(3+0)的图象，确定a、。、W的值。解析：显然A=2T=-7-(-)=66242_.,.=2T:,y=2sin(2x+0)X=解法1：由图知当6时，y=02x+=2×()+0=0:.=-故有6%,33y=2sin(2x+)二所求函数解析式为.3解法2：由图象可知将y=2sin2/的图象向左移不y = 2sin2(x)即得6 ,即71y 2sm(2x + y)-3点评：求函数V=Asin(m+e)的解析式难点在于确定初相。，一般可利用图象变换例:4.试述如何由尸Lsin(2+-)的图象得到尸SirLY的图象。33解析：Z=sin(2广鼻)横坐标扩大为原来的2倍)Jsin(xI)纵坐标不变3,5图象向右平移个单位1>y=sinX纵坐标不变3纵坐标犷大到原来的3倍一7bill横坐标不变另法答案：(1)先将片Jsin(2户上)的图象向右平移2个单位，得片JSin2¥的图象；3363(2)再将片JSin2上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得片LSin*的图象
