应用SCM於Timoshenko梁之分析研究.docx

应用SCM於Timoshenko梁之分析研究民阈92年(硕士)阜位t文摘要愿用SCM於Timoshenko梁之分析研究研究生：榻耀昇指溥教授：SS第一章J大多数工程技彳标冏题，由於物飕黑何形状敕覆J或者冏堰的某些特徵非性，故少有解析解。解决此类题常有雨槿途彳里：一是引入麓化假W殳，符方程与遏界脩件麓化可虑理的冏题，优而得其在曾化状憨下之解答。此槿方法僮在有限的情况下可行，此乃因遇多麓化揩可能溥致不正碓、甚至是之解答。另一槿方法y妻攵值方法。目前要紧以有限元素法(FEM)及有限差分法(FDM)最卷潢泛使用。上述雨槿妻攵值方法乃以近的黑低!黑占来描某一他!特定黠的力学特性，因此敦值耦合限於局部性。若用此雨槿数值分析技巧来求解结横物冏题敕精硅的数值解暗，便须利用敕多的格黑占来离隹散分析。在本文中，吾人就以另一槿妻攵值分析方法(SCM)，可揉敕少之格分割黑占来近似分析，使甯子言十算檄的数值it算量减少，降低因算而累稹的数值差量，能迅速地攫得令人满意的分析幺吉果。本文研究目的，式以SCM典SCEM直接法模Timoshenko梁冏题之重攵值模式，以求解有Timoshenko梁之分析冏题。第二章SCM之基磁理介貂SCM是一槿数值上的近似方法，其要紧概念是以座才票上的言午多名罔格分割黑占(CollocationPoints)，透谩彼此Iyj相速2吉，央造出一yf固近似函重攵MX),以逼近模吾人所欲求之除函数/(x)。於SCM中，其近似函t"x)是以多项式的形式叠加:MX)=*(x)f三-2其中，生岛未定保凄攵，l不一致的外加脩件而不一致；8j(x)即>Splinefunction0妹)可有多槿ig撵，优一F皆、二F皆直到任意的mF皆皆辗不可，其中三P皆不再CubicSpline、五F皆又耦>QuinticSpline°片之逗择舆其所1鹰之微分方程式有,即不一致微分方程视其F皆数及相鹰之遏界或者外加脩件，Mi½it撵不一致的妹)来求解，本文中所言寸言俞Timoshenko梁冏题之操纵方程均二次微分操纵方程式,故挑Ig3-rd6Splinefunction(CubicBSpline)>>合理逾富之3#。在推醇B,(X)之遇程中,需利用ForwardDifference的原始式来i行。幺罡推厚得QU1 .Quintic B SB0 = 52 .Cubic B SPNAeI Atie B Spline function 及 Cubic B Spline functidn 驿下 “：,("%*-6(X-NJ . >% Mine tunction,.(XrT) -6("%) +15("%)xj.,<xxj .(c),(-J-6(K-XJ+ 15(KFJ-20(XTJxl xxul .(</)G 丫 + 15(f J 20dJ +15(,J¾ 4* 林4):甘二标2彳了豳狂用Odj+ 15("±"-6(”七J 飞声3令”)Bi(X) =(厂*(x xi-2 )3 - 4(xx._z)3 + 6(x- xi)虽隹已求得B SPIin6fuMW/很程瀛用空仍嫌繁腹耐率塔方履4舞可便於使otherwise用，於是吾人三式著整锂道些善口近结黠的B Spline Value，而裂作出一份完整BSplineValue的表格。XXT冷-.Xi.当.3B(X)0126662610矶X)05/?50Ih0-50/?-5h0矶力02()/?40h2-1224022()/0砰060A3-20hy0120/好-6030耳301204-480/72O4-480/12A40XX-xi-lxiXi+1七十2S3O141O*O3XO3hO%)O612a67O在SCM中，封於载重的模，揉用的方式是f载重做性内插,以模擦集中载重及非性的载重形式。a.常集中载重作用於5黑占工，此彷玛耐力失於Q，因此此B寺=Qo八b.常集中载重作用於结黑占呼器幺吉黑占惜SCM j於分傣载重能够模的性分佛载重,而非,缥性在h结黑占取得敕多的情形之用，也裾很近极的模度Q第三章SCEM之基石楚理t介貂封虞理大部份载重及不一致遏界脩件而言，SCM是一相富有效率而精碓的方法，然而常言十算如多跨结横、结横燮断面或者必须以模掇载重来分析等厚致吾人模掇之SCM曲不再是一速平滑的曲寺，不僮初始差增大，收敛的效率亦大幅降低。考结横以元素的型魅表示，符各元素蹄散卷SCM的结黑占及元素，再使用各相郝元素之速t4条件来速幺吉各元素，此模l方式耦悬SCEM。在使用SCEM分析B寺，除了原先之结黠操纵方程式及it界脩件外，於结情的各元素亦增加了u固虚结黑占而必须再增加u固操纵方程式。故利用元素之速脩件来速结各元素而分析。SCEM符结情以元素型熊蹄散多催1结黑占（以n来表示每他1元素现雕散催Ig吉黑占），即卷每值）元素内之相属暴吉黑占操纵方程式、元素Ra相互速接之言皆与修件式与遂界脩件式，以SCM理言俞迤行数值近似的表示雄散化。再符各他元素已蹄散化之操纵方程式、元素速接的卷皆与修件式与遏界脩件式名且合，便可得到一整飕的性代数系统算彳复，即可求得吾人欲求之未知待定保数。SCEM之求解步骤如下：1 .首先求得欲分析结情物之操纵方程式及遏界修件中所有的簿函事攵或者偏厚函数。2 .由操纵方程式来，夬定SplinefunctionBi（x）°3 .视所分析之情况，符幺吉情物分割成有限值）元素（N）。4 .符结才菁物的各值!元素瑰分别Hb他SCM近似函数MV）代入各他禹隹散结黑占之操纵方程式，以簿出近似操纵方程系统。5 .加入元素舆元素速接之言皆与脩件，即元素之内力平衡及燮形者皆与等内部遏界速接修件。6 .代入散化之遏界修件、元素速4条件，加上已离隹散化之结黑占操纵方程式，得到离隹散化操纵方程名且。7 .化成矩阵型式，用通常求解多元一次聊立方程式之事攵值言十算方法求解待定保教矩睡。或者根獴各槿不一致之冏题需求去求解特徵值系统以求得特徵值与特徵向量。第四章SCM舆SCEM於Timoshenko梁之分析愿用通常所言找俞之梁挠度冏题皆假言殳僮考由矩引彝携曲鹰力所生的燮形，而5攵有考;因剪力使梁生剪鹰燮所崖生之挠度。常此剪燮形量辗法吾人所忽略日寺,以幺田晨梁之理t背景所厚出之公式，便辗法完全逾用於此槿梁之模型。因此吾人必须优基本的力阜平衡中，优新推尊一正碓之操纵方程式。不考>!t其自重因素，假言殳梁本身僮受Z方向之负荷T坐逾度假言殳予以曾化三雒效鹰，且假言殳平面在燮形前彳灸保持平面，最彳灸可得考Tt剪燮形影辔之党斗呼天普邮帚杳:O2玄取等断面特例，总圆亶搬"S&碗错物取值解。SCM之模擦近似函数如下：Mx)=/。4。)<=-1n+l伟遭寿博用哈稗他甯跺樽战方程式如下：Z三-lt三-l”!尹!如!Tim超翻M帑篇阿)力嘴遮缪独k赤代入雕散化如下：燮位：wixi)=YaiBi(xi)袒剪燮形：W(Xi)=ZCiDi(Xi)臂矩：Mg=El=EI*Q：(Xj)剪力:。(巧)=,4，：阴IJd)向=FGA.Dz(x,.)+FgaXbXxJ欲求得TimOShenkO梁之妻攵值解，其中共有2(+3)=2+6假1未知保M»gf0.1,a0,M"及j,Co,q,g,%+等待定yf系事攵，因此需要2+6催1方程式整理彳麦可得SCM模摄1Timoshenko梁之离隹散化结黑占操纵方程M。以矩睡表示求解：B(2+6)x(”+3)"(n+3)xl+°(2"+6)(+3)c("+3)xl-10(2+6冈:每现元素蹄散催1食京段幺坐谩算，吾人即可求得待定保数矩阵。及c，即可得到各值!离隹散结黑占的燮位、剪燮形、臂矩与剪力之值。2玄考一均匀截面(即石，、定值)、全梁承受均怖载重(lNm)之Timoshenko梁幺吉横，梁晨度/3a,梁之横断面尺寸A5pn×5mo言寸t方便起见'吾人IS取剪切弹性保数G=I、榻氏保tE=2.6N?、蒲松比(POiSSon'sRatio)v=0,3。由於此熟臂梁断面矩型，故得剪力修正保数二=0850。(卷舆DQEM之分析数值结果比率交，故梁晨度典横断面尺寸探用典DQEM之例17相同)。今吾人取"=4，即符此梁结横散成四催1京京现，共有五值1雕散黠,再,为，与，匕，故有a.1,a0,a1,2,a3,a4,5与c1,c0,c1,c2,c3,c4,c5共14yf固待定保数°符十彳条结黑占操纵方程式典四彳条遂界彳条件式加以整理，可得以矩阵表示之结果如下：14×7 7×l +7×1 =0.010058 -0.000649画网幺至谩建算徒吾人豆源端雅求之待定保数：a = a2 U<-0.009795H SH) c = c2 符所求得之名;及。艇K烈吉黑占之燮位、剪箜形、M -QftOooo 得各结黑占所欲书制之* 0 ,哪成%过a燮位：=-qq.剪燮形:臂矩：M = H6空哪汾SCEM於等中跚牌S)梁之分析：0.74452346pm0.001031 '-0.000172-0.000344-0.000000,(反 再)域锻觉力近似式，即可 009Q7)c 00000 l0T2-(9剪力：V=椒椒就福-W-1.48904691揩SPlinefUnCtiOn代入操纵方程式，分别f各值!元素予以离隹散化'可得到元素结黠操纵方程式如下k-GAe(ai)e8J+k2GAeciDe,(X)=-pr(x)Z=-I/=-1n+i÷I÷lTimoshenko桀朝扁困¾演戟讶鬻式徐滩藏缥*足。燮位：we(xi)=B"(xi)剪燮形：，(巧)二c；r)；(项)折H+I粤矩：Me=(El-?-=(E/)C；DsMa)剪力：Q=k2GAe，+色匕kw+dx)÷二"人与：S(XJ+YgaN"坪)气.)其中,上本票(e)表第e元素，e=l,2,3,N。揩元素之幺吉黑占操纵方程式、遏界脩件舆速修件谩整理彳灸可得如下SCEM之TimoShenko梁离隹散化幺吉黑占操纵方程名且：V×(2w+6)x×(n+3)a×(11+3)×1+V×(2m+6)×V×(m+3)cjV×(m+3)×1,幺型由通常之算,吾人可求得待定保妻攵矩阵及c，再揩及k代回式（4.33）、（4.34）、（4.35）及（4.36），依序可得各元素蹄散黑占之燮位、剪燮形、矩、剪力之近似分析值。第五章幺吉言俞典未来展望本文鹰用SCM舆SCEM迤行Timoshenko梁之分析，舆D