ｎ／７与一类线性方程.docx

n/7与一类线性方程n/7与一类线性方程真分数n/7是一个6位纯循环小数：1/7=0.142857；2/7=0.285714；3/7=0428571；4/7=0.571428；5/7=0.714285；6/7=0857142.各分数除数字排列顺序有别外，其数字组成完全相同.依据这种结构特征可编排一类线性方程，通过这类方程解法的研究，可开拓中学生的思维空间，增强其分析、想象、综合、归纳等解决实际问题的能力，现提供几例供参考.例1有一六位数，假设将后三位数依次移到前三位，那么所得新的六位数是原六位数的6倍.求原六位数.解：设原六位数的前三位数为X,后三位数为y,那么原六位数为103X+y,移动后的新六位数为103y+X.故依题意得103y+x=6×103x+6y,即5999x=994y,亦即857x=142y.又因为X与y皆为三位数，且X的首位上的数字小于2,否那么其6倍便要进位而成为一个七位数了，又857与142互质，故y=857X=142,因而原六位数是142857.例2有一位六位数，假设将后三位数依次移到前三位，那么所得新的六位数比原六位数大13.求原六位数.解：设原六位数的前三位数为X,后三位数为y,那么原六位数为103X÷y,新六位数为103y+X.依题意得4×103x÷4y=3×103y+3X,即3997x=2996y;亦即517x=428y,故有x=428,y=571,那么原六位数是428571.例3有一六位数，假设将首位上的数字移至末尾，那么所得新的六位数是原数的3倍，求原数.解：设这个六位数的首位上的数字为X,其余五位数为y,那么原数就是1O5X÷y,新数是IOy+X.依题意可得10y+x=3X105X+3y,就是7y=299999x,y=42857x,显然，X只可取1或2,当x23时，y便不是五位数了.故当x=l时，y=42857,原六位数是142857；当x=2时，y=85714,原六位数是285714.例4有一六位数，假设将首位上的数字移至末尾，那么所得新的六位数与原六位数之比为2：3,求原数.解：设这个六位数的首位上的数字为X,其余的五位数为y,那么原数就是105x+y,新的六位数是10y+x,依题意可得30y+3x=2×105x+2y,也就是28y=199997x,亦即4y=28571X.显然，x只可取4或8.当x=4时，y=28571,那么原数是428571；当x=8时，y=57142,那么原数是857142.例5有一六位数，假设将前两位数依次移至末尾，那么所得新的六位数是原数的2倍，求原数.解：设这个六位数的前两位数为X,后四位数为y,那么原数就是104X+y,新的六位数是102y+x.依题意可得102y+x=2义104X+2y,也就是98y=19999x,亦即14y=2857X.因14与2857互质，故X可取14、28或42,那么对应的y值应是2857、5714、8571,故所求的六位数是142857、285714或428571.有兴趣的读者不妨再做以下练习：1有一六位数，假设将末尾的数字移至首位5倍，求原数.(2)有一六位数，假设将末尾的数字移至首位比为3：2,求原数.(3)有一六位数，假设将末尾的数字移至首位8O%,求原数.(4)有一六位数，假设将末尾的数字移至首位13,求原数.5)有一六位数，假设将末尾的数字移至首位字移至末尾，前后两次移动所得新数之比为5：,那么所得新数是原数的,那么所得新数与原数之,那么所得新数是原数的,那么所得新数是原数的,再将原数的首位上的数 3 ,求原数.答案：(1)142857；(2)285714或571428；3)714285；(4)428571或857142；(5)142857)