中科大《线性代数与解析几何》讲义4线性空间.docx

第四章 线性空间(LinearVeCtorSPaCe)?4.1 n维数组空间每一个方程可以与一个 + 1维向量对应因此,一个线性方程组对应于一组n÷1维向量.对方程组做初等变换对应于对向量做加、减、数乘等运算定义4.1 n维数组向量(对平面、空间向量的推广)及数组向量的运算加、减、 数乘.运算法则：(i)加法交换律(ii)加法结合律 (iii)分配律(iv)零向量(V)负向量(Vi)乘法结合；(Vii) 1 a = a.定义4.2线性组合与线性表示初等变换即对方程做线性组合.线性组合的线性组合仍为线性组合.线性方程组可以表示为向量形式Xl 31 + + Xnan = b.其中a,，a11, b为m维列向量.齐次方程的通解可以表示为X = tl i + + t-rn-rm考虑集合：(81 ,，3m) ：= i3i i F i=1 k该集合拥有性质bl ,，bk (a ,，am),则 bi ，al).i-1定义4.3生成子空间与生成元生成子空间的几何考察.n = 3,(31) = aj | 1 F)一般表示一条直线,a2) = ai + 2a21入1 ,入2 F一般表示一个平面( , a2, a3) = a + 2a2 + 3a31 1 ,2 一般表示整个三维几何空间.问 b (a. a2, a3)?4.2线性相等与线性无关考察下列线性方程组h : = an× + 1 + axn - bi = O)2 ： = a21×1 + , , , + 32Xn - b2 = OLI Im ： = am1 ×1 + , 1 + amXn - bm = O如果Ii是其余方程的线性组合,即Ii =.与人而，则去掉方程Ii= O1原方程组与现方程组等价：Z1rh = 0h =0I2 = 0IIlh+=°Im( Im = 0此时称1 ,2 ,，m = 0是线性相关的.if X + y + z = 1C '1 2x÷ y÷5z= 2是否线性相关？例4.2(X - 3y +13z = 1解：k = X ÷ y + z - 1, I2 = 2x + y +5z = -2, I3 =X- 3y +13z - 1 = 0.设 3 =Alh + A2 2 ,则( 1 +22 = 1| 1 + 2 = -3、= 1 =-7入 1 +5 入 2 =1312 = 4. 1 +2入2 = 13 = -7 +42 .由于方程与向量一一对应因此可以类似定义数组向量的线性相关性定义 4.4 设 a , , am Fn.如果 3i 及 Aj F (j * i)使,= jaj,则称 j闺a1 , , am线性相关,否则,称它们线性无关.重新考察例 4.2 设 a1=(1, 1, 1, 1), a2 =(2, 1,5,2), a3 = (1,-3, 13, 1).则 a3 =-7a1 +4a2.因此a1 , a2, a3线性相关.由于mmMaj= 0,某个 i = 1 0 jj = 0,某个入i 01=1j=1因此有定理4.1设a, ,an三FL则a, ,am线性相关=3不全为零的常数 m 1 , ' ' ' ,m 使 i3i = 0.i=1例 4.3 问向量 a1 = (1, 1, 1), a2 = (2, 1, 5), a3 = (1, -3, 13)是否锦性埠关?1，9解：a1,a2,a3 线性相关 O Aa + A2a2+入 3a3 = 0 有非零解 ='215 , = 0.，9T -3 135因此，a1 , a2, a3线性相关.几条基本性质：(1)含零向量的向量组线性相关,特别0向量线性相关.(2)部分相关=整体相关.(3)整体无关=部分无关.例 4.4 设 aI，a2, a3 R3.则a 与 a2 线性相关 OaI= Aa2 或 a? = ,即 ai /a2a与a2线性无关o tt a2ai, a2, a3线性相关Q其中一个向量是另两个的线性组合,不妨设a3 = 1at +2a2Qa1 , 32 5 3 共面ai , a2, a3线性无关。，a2, a3不共面定理4.2 a am线性相关。某个ai是它前面的向量的线性组合.定理4.3 a, , am线性相关=入通+ mam = O有非零解.(1)m>n, a, ,a1 线性相关.(2) m = n, det(a, 1 am) = 0.(3) m < n = rank (a 1 , a1) < m (a1, , am)的所有 m 阶子式为零.总结起来有a1 am Fn, a1 am线性相关。某个ai是其它向量的线性组合=某个 ai是它前面的向量的一性组合 =线性方程组1al + + mam = 0有非零解 。 rank (ar an) < m.对应可以得到线性无关条件.例4.5 一些例子 a, b, c 6 R3 共面 o det(a, b, c) = 0.，叨，e线性无关. a1=(1,0,，0), a? = (1,1,，al1 = (1,，1)线性无关.设1 , 2 , 3线性无关=31 + 2 , 2 + 3 , 3 + 1线性无关.a4 = (3, 3, -3, 5)是否线性 a1=(3, 4, -2, 5)1 a2 = (2, -5. 0, -3)1 a3 = (5, 0, -1, 2),相关？解入间+入222 +入323 +入4 24 = 0,34一2得(入1 ,入2 ,入3 ,入4 ) = (2, 1,-1, 1 ),即 2a> + 2 - aa- 4 = 0.因此,31 , 2,83,84 线性 相关.例4.6 ai, a2 R3 .设耕，b?是a，a?在R2上投影则讲,b2线性无关=a, a2 线性无关.反之不然4.4 a>= 1a2= 1 p,j . an, jj及加长向量组anar2Srm则 aram线性无关=bi bn无关bi bm线性相关=> a am相关接下来我们看看线性相关与生成子空间的关系我们回忆(a, , a): = ia, F.先在R3中考虑OA 1 O() = a | R)=-过原点直线Rl送”.«1/«2 直线(31,(82) (l + 22 I 入1 ,入2 R)= <I al t Aq 过a , a2 平面.| a /a2 g直线(a1,a2.a3)= , a1tta2, a3位于a1, a2所决定的平面，a, 2平面l'a1 , a2, a3 不共面生成子空间的核心性质：Ibi, , bi ，am),则 bj ，a).J= 1定义4.5 VU Fn为非空向量集合,它满足I若 a,., a1三 V , ,. , F ,则 AiaiW V ,i=1则称V为Fn的向量子空间.显然，am)为Fn的子空间,称为a, , am生成的子空间(Subspacespanned by ar an).R3过原点的直线或平面为线性空间.空间(a1 am)的“大小”，与m没有必然关系,与a1 - an相关性有关.若a am线性相关,设Si = AjSj = (3 - Sm) =(Si , Sj-I , 3j+r a) “i反之亦然即若(a - - am) = (a - ai-, ai+ am),则 a,，am 线性相关.相应地,a, , am 线性无关 o Ai, a) # ai-, ai+ am)对三维空间中向量我们有ai, a2 线性相关 =a /a2 = dim(a1, a2) < 2a , a2 线性无关 OalHa2 Q dim(a , a2) = 2ai,a2, a3 线性相关=a1, a2, a3 共面=dim(a1, a2, a3) < 3a, a2, a3 线性相关=ai, a2, a3 不共面。dim(a, a2, a3) = 3?4.3极大无关组与秩给定向量组a1, , am ,如果它们线性相关,设ai可以用其它向量的线性组合表 示则有(31 " - am) = (a> , Si-1, 3i+ am)即去掉ai剩下向量生成的空间不变类似地,如果a1 - ai-1 , ai+1 - am线性 相关,则可以进一步去掉其中一个向量而剩下向量生成的子空间不变这个过程可以 一直进行下去直至剩下的向量组线性无关一般地有(ai, , am) = (%, air).这里a“，air线性无关ail, ai，称为a, , an的一组极大无关组定义4.6 (极大无关组)设为am e Fn.若即，a»线性无关且任加一个其 它向量air,1后ah , , a air.线性相关,则称a”， ，为a, , a1的极大无关 组或者说如果(ai, , am) = (ail, , ar)且 a”，a上 线性无关,则称 ail, , air 为a, ,am的极大无关组类似地,可以定义方程组的极大无关组设方程组h = O1 ,Im = 0的极大无关 组为 Ii1 = 0, ' ,Iir = 0.则 Ii1 = 0, ,Iir = 0 是与 1 = 0, Jm = 0 等价,且线性无关 的方程组(不能再去掉任何一个方程)定义4.7 (等价向量组)设向量组a1, , am与向量组b1, , b生成相同的子空 间，即，a1) = (bi, , b)则称Si, , am与bi,b等价.显然即，a与切，b等价,当且仅当a1, , am可以用b,，b线性 表示且b, ,b可以用a/ ,an线性表示例 4.7 求曲=(2, -1, 3, 1 )1 a2 = (4, -2, 5, 4), a3 = (2, -1,4, -1)的极大无关组解 由于3a1 = a2 + a3且a，a2 , a3中任两个线性无关,故其中任何两个为极 大无关组如何求极大无关组定理4.5假设a1， ，an e Fn经一系列的初等变换变为b1, , bm Fn,则 ai , , a线性相关ObI bm线性相关.因此，人向+