课题§3二倍角的正弦、余弦、正切三.docx
课题§4.7.3二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标(一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式:(1)sin2。=2sincos。(2)cos2a=cos2asin2a=2cos21=12sin2a(3)tan2a=2tana1- tan2 cr(二)能力目标(1)灵活应用和、差、倍角公式；(2)掌握和差化积与积化和差的方法(不要求记忆).(三)德育目标(1)培养学生联系变化的观点；(2)提高学生的思维能力.教学重点和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.教学难点二倍角公式的变形式的灵活应用.教学方法引导学生推得二倍角公式的变形式,从而使学生加深对二倍角公式的理解与应用.(启发诱导式)教具准备幻灯片三张第一张(§4.7.3A)：aI-COSasin2y=-2(。为任意角)a_1+coscosz22(。为任意角)a_I-COSatan22=l+cosa(r+-,左Z)第二张(§4.7.3B)：sinacos=-sin(a+£)÷sin(a£)；2cosaSinS=sin(a+£)sin(a-£)；2COSaCOS=-cos(a+8)÷COS(a-£);2sinasin=-cos(a+尸)cos(a£).(a、£为任意角)第三张(§4.7.3C)：1+-sin夕-I-Sin0=2Sincos；22sin6-sin° =2coscos0+cos°=2cos+,- sin 22+ - cos+,- sincos6-cos。=-2sin（。、夕为任意角）教学过程I.课题导入师：现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令/AOB=8,则47=asi6,6¼=acos，所以矩形力阅9的面积S=asin2acos=a2sin8cos=a2sin2a2当sin28=l,即28=90°,6=45°时，JSin2O=J=S/y不难看出，这时小两点与。点的距离都是J。，矩形的面积最大，于是问题得到2解决.II.讲授新课师：再看下面的例题I-CoSa例1求证sir?=一彳Cf分析：此等式中的。可作为上的2倍.2a证明：在倍角公式cos2=l-2sir?。中以代替2。，以上代替。，即得2cos=12sin2-2.al-cosaSirT-=22师：请同学们试证下两式/八>al+cosacos"=22c>a1-COSa(2)tan-=21+cosa生：证明：(1)在倍角公式cos2=2c<a-1中以。代替2八以巴代替叫即得Cacos a =2cos121+CoSa2.2«.COS=2(2)由tan2=2sin2a2a2aI-CoSasin-=22a1+cosacos-=22得=2l+cosa(打出幻灯片§4.7.3A,让学生观察)师：这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.OL另外，在这三式中，如果知道CoS。的值和上角的终边所在象限，就可以将右边开方,2OL(1CL从而求得sin%、COS上与tan%.222下面，再来看一例子.例2求证：sinacos尸=sin(+£)sin(£)2分析：只要将S(a+/)、S公式相加,即可推证.证明：由sin(+S)=SinaCOS÷cosasinsin(ay)=sincos£CoSasin+得：sin(。+6)÷sin(a=2SinaCOSS即：sinacos=-sin(a+£)÷sin(a£)2师：请同学们试证下面三式：(l)cosaSin6=sin(。+£)sin(af)2(2)COSacos=-cos(a+£)÷cos(a£)2(3)sinaSinS=-Lcos(a+£)cos(a-£)2生：思考片刻，自证.证明：(1)由sin(a+£)=Sinacos£+COSasinsin(a£)=sincoscosasin£一得：sin(a+£)sin(a=2cosasin即：cosasin£=sin(。+尸)sin(a£)2(2)由COS(a+£)=coscossinsincos(a)=cosacos£+Sinasin+得：cos(a+£)÷cosa=2cosa,cos即：cosacos=cos(+尸)÷cos(£)2(3)由cos(+£)=coscos£sinaSincos(£)=cosacos£+SinaSinS一得cos(+£)cos(a尸)=2sin"sin£即：sinasin£=cos(a+尸)cos(a£)（打出投影片§4.7.3B,让学生对照）师：不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.师：和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.例3求证sin+SinQ=2sin-i-cos八七ZI-I士夕+。、6-+-分析：。可有一-+一匕代替，=-2222证明：左式=SinO+sie.v+-1.r+-1=sn-÷J+snL-J2222.+-,+,-l,+-+=Sincos+CoSsin+sncos-cos2222222.-in2.+-.=2sn-cos=右边22师：请同学们再证下面三式.(1)sinsinfi>=2cossin；22(2)COSO÷C0S69=2cos-COS-;22-st-(3)cos夕cos。=-2Sinsin22生：证明：令口2222则左边=Sin夕一sine.r0+.-1.r+-1=snL-+-J-sinL-J2222+-,+-+-=sincos÷cossin-sincos222222+.-+.-=2cos-sin=右边22(2)左边=CoS，+cos0r+-1r+-,=cosL+J+cosL-J2222+-,+,-l+-l,+=Coscos-sinsin十COScos+sn2222222.-1nC+-.=2cos-cos-=右边22(3)左边=COSO-cosr+l-10一、=CosL-÷-JcosL-J2222+-,+,-+-,+=Coscos-sinsin-coscos-sin2222222.0-sin2+.-.=-2sn-sin-=右边.22（打出幻灯片§4.7.3C）师：这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.IlL课堂练习生：（板演练习）课本巳61.-aSinaI-COSa2l+ cosa Sina1-coscrSinaC.aaa2sm-coscos222C . aa.a2sm-(:ossin 222 _, aa1 + 2coscos22Sina1+cosa>"2si9sinjcc -=tan atan2证明：tan=原式得证师：若发现题目中所出现的角有二倍关系，不妨考虑使用二倍角公式.IV .课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.V .课后作业（一）课本PS习题4.73.VI ）L预习课本P8P*2.预习提纲<1）怎样利用单位圆画正弦曲线？（2）余弦曲线与正弦曲线的关系如何？板书设计解:原式=1+Cosl 60°2l-cosl00o+2+sinl00cos400=l+-(cos800-cos200) + sin 100cos400= l÷2(-sin30osin 50o) +sin 100cos400=1 - - sin 50° + (sin 50o-sin 30°) 22课题例1例2例3备课资料L求值：cos0o+sin250o-sinl90ocos320o评述：先利用半角公式“降次”，再用和差化积公式，积化和差公式.2.已知、2为锐角,且3sii+2sin?£=l,3sin22sin2£=0.求证:冗。+2£=2证法1：由已知得3sirt=cos2£3sin2o=2sin2OQsin(2,)÷得tana=-2=tan(-2)，出2£CoSg一22)2:。、£为锐角0<<-,0V2EVr,-<-2<0,2：.a=2B,。+2£=22证法2：由己知可得：3sin2a=cos23sin2a=2sin2cos(a+2)=cosacos2sinasin2=cosa3sin2asinasin2a2=3sin"<7cosa-sina3sin<zcosa=O3万又由+26(O,)271。+2£=一2证法3：由已知可得3sin2a=cos23sin2a=2sin2sin(a÷2)=SinaCoS2£+COSaSin2£3=sino3sini<?÷cosasin2a2=3sina(sin2a÷cos2a)=3sina又由，得3sincos。=sin2£2,得9sin"+9sir?cos?。=1.*.sino=
