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1大学物理习题课大学物理习题课力学部分力学部分22运动的守恒定律1、力的时间积累效应、力的时间积累效应(1) 冲量冲量vmp Fdt (2) 动量定理动量定理:120ppdtFIt(3) 动量守恒定律动量守恒定律:0ijijFpppp外时 (4) 角动量、角动量定理以及角动量守恒定律角动量、角动量定理以及角动量守恒定律动动量量(1) 功功dAF dS2、力的空间积累效应、力的空间积累效应(2) 动能动能质点的动能质点的动能质点系的动能质点系的动能212kEmv2112NkiiEmv(3) 势能势能1)保守力保守力2)保守力的判断保守力的判断3)势能势能重力势能重力势能弹性势能弹性势能引力势能引力势能pEmgh212pEkxpMmEGr 4(5) 机械能守恒定律及能量守恒机械能守恒定律及能量守恒机械能守恒定律机械能守恒定律:只有保守内力做功时只有保守内力做功时,质点系的机械能保持不变质点系的机械能保持不变.能量守恒定律能量守恒定律:一个封闭系统经历任何变化时一个封闭系统经历任何变化时,该系统的所有能量的总和不改变该系统的所有能量的总和不改变.(4) 动能定理动能定理质点的动能定理质点的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理2221211122kkkAEEEmvmv kAAE 外内5刚体的定轴转动 一、描述刚体定轴转动的物理量一、描述刚体定轴转动的物理量2i iiJmr转动惯量转动惯量2Jr dm角位移角位移21角速度角速度ddt角加速度角加速度22dddtdt角量和线量的关系角量和线量的关系2,tnvvr ar avr角动量角动量力矩力矩力矩的功力矩的功21AM d转动动能转动动能212kEJ6(1) 转动惯量平行轴定理转动惯量平行轴定理(2)刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理2zcJJMhMJ 二二、基本定律基本定律(3) 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理22211122kAEJJ 外0A 内(4) 角动量守恒定律角动量守恒定律 系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时，系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时， 系统对此轴的总角动量保持不变系统对此轴的总角动量保持不变(5) 机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守力做功时，只有保守力做功时，kpEE常量7三、题型以及例题三、题型以及例题求特殊形状刚体的转动惯量求特殊形状刚体的转动惯量刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量守恒的应用守恒的应用8drRd解：在球壳上取圆环解：在球壳上取圆环: :其中环其中环drdr=Rd=Rd , , 质量为质量为dm=dm= 2 2 RsinRsin dr,dr,其中其中 =m/4 =m/4 R R2 2由薄圆环的转动惯量由薄圆环的转动惯量mrmr2 2, ,可得圆环的转动惯量为：可得圆环的转动惯量为：所以所以：220(1 cos)sin2mRdJ dJ=dm,(Rsin )2= (m/4 R2）2Rsin dr (Rsin )2= (m/4 R2）2Rsin Rd (Rsin )222(1 cos)sin2mRd 例例1 求质量为求质量为m，半径为，半径为R的薄球壳的转动惯量。的薄球壳的转动惯量。220(1cos) (cos )JmRd3220coscos)3mRmR 223mR11例例2 从一个半径为从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，的圆板，所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量。ORR/2O半径为半径为 R 的大圆盘对的大圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为2221112()2233mIMRmRmR由由平行轴定理平行轴定理，半径为，半径为 R/2 的小圆盘对的小圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为22222211()()2228RRImmmR小圆盘面积的质量小圆盘面积的质量222241()()2233RRmmmR总转动惯量总转动惯量2121324IIImR解：解：圆盘质量面密度圆盘质量面密度2224(2)3mmRRR13Mmm大圆盘面积的质量大圆盘面积的质量12例例3 如图所示，两物体的质量分别为如图所示，两物体的质量分别为 m1 和和 m2 ，滑轮质量为滑轮质量为 m ，半径为，半径为r, 已知已知 m2 与桌面之间的滑动摩擦系数为与桌面之间的滑动摩擦系数为 ，不计，不计轴承摩擦，求轴承摩擦，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。解：解：rm2m1maT2T2T1T1对对 m1 ：) 1 (111amTgm对对 m2 ：)2(222amgmT对滑轮：对滑轮：2121()(3)2aTT rJmrr,)21()(2121111mmmgmmmgmT.)21()(2121222mmmgmmmgmTmmmgmma21)(2121解解: （1） 因是纯滚动，因是纯滚动，A点瞬时速度为点瞬时速度为0,Av 由机械能守恒：由机械能守恒：2220111,(1)222czzmghmghmvJJmR式中由相对速度由相对速度0,(2)AccvvRvR由（由（1），（），（2） 解得解得04()3cvg hh0,Af v即摩擦力不做功。mcvmgrf ARh0Nxyh 例例4 质量为质量为 m，半径为，半径为 R 的均匀圆柱体沿倾角为的均匀圆柱体沿倾角为的粗糙斜的粗糙斜 面，在离地面为面，在离地面为 h0 处从静止开始无滑下滚（处从静止开始无滑下滚（纯滚动纯滚动）。）。试求试求 1 ) 圆柱体下降到高度为圆柱体下降到高度为 h 时它的质心速度时它的质心速度 vc 和转动角速度；和转动角速度； 2）最大静摩擦系数应满足的条件。）最大静摩擦系数应满足的条件。04()3cvg hh014()3cvg hhRR（2） 根据质心运动定理根据质心运动定理sincmgfma以质心为参考点，根据转动定律以质心为参考点，根据转动定律212cRfJmR由由 A 点瞬时速度为零，有点瞬时速度为零，有,ccvRaR解得解得12sin ,sin33cfmgag要保证无滑滚动，所需摩擦力要保证无滑滚动，所需摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即不能大于最大静摩擦力，即cos ,11sincos ,.33fNmgmgmgtg或15试求试求 1 ) 圆柱体下降到高度为圆柱体下降到高度为 h 时它的质心速度时它的质心速度 vc 和转动角速度；和转动角速度； 2）最大静摩擦系数应满足的条件。）最大静摩擦系数应满足的条件。解解: 对圆柱体进行受力分析对圆柱体进行受力分析mcvmgrf ARh0Nxyh选选A为瞬时转动中心，转动惯量为：为瞬时转动中心，转动惯量为：232JmR转动定理：转动定理：23sin2mgRmR由由 A 点瞬时速度为零，对于质心有：点瞬时速度为零，对于质心有：,ccvRaR0,AcR16(2) 根据质心运动定理根据质心运动定理sincmgfma解得解得1sin3fmg要保证无滑滚动，所需摩擦力要保证无滑滚动，所需摩擦力 f 不能大于最大静摩擦力，即不能大于最大静摩擦力，即cos ,11sincos ,.33fNmgmgmgtg或解得解得2sin3cag圆柱体质心的速度为圆柱体质心的速度为042()3ccva xg hh17结果讨论结果讨论：静摩擦力在能量转换中的作用：静摩擦力在能量转换中的作用把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为：把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为： 随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动等值，反向等值，反向摩擦力对此作负功摩擦力对此作负功摩擦力对此作正功摩擦力对此作正功二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是 全部转换为平动动能，而是部分地转换为全部转换为平动动能，而是部分地转换为转动动能。转动动能。18 例例5 一个内壁一个内壁光滑光滑的刚性圆环形细管，开始时绕竖直的刚性圆环形细管，开始时绕竖直的的光滑光滑固定轴固定轴 o o 自由转动，其转动惯量为自由转动，其转动惯量为J ，角，角速度为速度为 0 ，环的（平均）半径为，环的（平均）半径为 R. 一个质量为一个质量为 m 的的小球在管内最高点小球在管内最高点A 从静止开始向下滑动。从静止开始向下滑动。（作业作业4.23）求求: (1)小球滑到环的水平小球滑到环的水平 直径的端点直径的端点B 时，时， 环的角速度多大？环的角速度多大？ 小球相对于环的速率多大？小球相对于环的速率多大？(2)小球滑到环的最低点小球滑到环的最低点C时，时， 环的角速度多大？环的角速度多大？ 小球相对于环的速率多大？小球相对于环的速率多大？ABCOORm19 小球相对环的速率小球相对环的速率vB球环球环（1）求小球在）求小球在B点时环的角速度点时环的角速度 B及及小球的重力对轴无力矩小球的重力对轴无力矩, 环的支持力对轴有力环的支持力对轴有力 矩矩321NNNN 解：解：说：小球的角动量守恒说：小球的角动量守恒（？）（？）对小球从对小球从 AB的过程：的过程：有人选系统：小球有人选系统：小球但是但是3N 对轴是有力矩的！对轴是有力矩的！所以所以小球的角动量不守恒！小球的角动量不守恒！ 其中其中 对轴无力矩，对轴无力矩，21, NNABCOOR1N2N3N20所以所以此系统角动量是守恒的。此系统角动量是守恒的。由于支持力矩是一对内力矩，由于支持力矩是一对内力矩，它始终为零！它始终为零！0 外外M有有如果将系统扩大如果将系统扩大：小球：小球+环环RvmJJB 00此此 v 应是应是 vB球地球地环环地地球球环环球球地地BBBvvv B环地环地Bv球地球地Bv球环球环Bv方向垂直向下，方向垂直向下，对角动量无贡献对角动量无贡献所以，此所以，此 v 即即 vB环地环地 = B RRRmJJBB 0ABCOOR1N2N3N21BmRJ )(2 020, BBmRJJ环转动变慢，环转动变慢，因小球有了角动量。因小球有了角动量。RRmJJBB 0系统系统：“小球小球+环环+地球地球”BA 过程中，小球与环的一对正压力过程中，小球与环的一对正压力在小球在小球的功是零；的功是零；vB球环球环=？00 内内非非外外，且且WW所以所以E机机守恒守恒设通过环心的水平面重力势能设通过环心的水平面重力势能 为为0。）环地环地球环球环22220212121BBBvv(mJmgRJ 则则22）环地环地球环球环22220212121BBBvv(mJmgRJ )Rv(mJBBB22222121 球环球环得得 22202mRJRJgRvB 球环球环讨论：讨论：（1）量纲）量纲 对对（2）当）当 0=0时，时，gRvB2 球环球环若选若选“小球小球+地球地球”为系统，好不好？为系统，好不好？答；不好！答；不好！ABCOOR1N2N3N23从环参照系看，从环参照系看，环对小球的支持力是不作功的，环对小球的支持力是不作功的，但环不是惯性系。但环不是惯性系。从地面系看，从地面系看， 环对小球的支持力（外力）环对小球的支持力（外力） 是作功的，是作功的， E机机 不守恒。不守恒。对对“小球小球+地球地球”系统，系统， 机械能机械能 不守恒，不守恒，由于圆环参考系为由于圆环参考系为 非惯性系。非惯性系。小球要受科氏力和惯性离心力，还需考虑它们的功。小球要受科氏力和惯性离心力，还需考虑它们的功。ABCOOR1N2N3N24ABCOOR1N2N3N科氏力与速度垂直，不作功；科氏力与速度垂直，不作功；但惯性离心力要作功，但惯性离心力要作功，而且这个功（而且这个功（ 和和 r 都变都变）不易求。不易求。所以，机械能不守恒所以，机械能不守恒;而且用功能原理也不容易算。而且用功能原理也不容易算。（2）求小球在）求小球在C点时，环的角速度点
