MS06古典概型（理）.docx

古典概型一、基本事件的特点1 .任何两个基本事件是互在的；2 .任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件).二、古典概型的两个特点1 .试验中所有可能出现的基本事件只有皿个，即有限性.2 .每个基本事件发生的可能性祖笺，即等可能性提示：确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性.三、古典概型的概率公式A包含的基本事件的个数基本事件的总数例1:从集合A=2,3,4中随机选取一个数记为匕从集合8=-2,-3,4中随机选取一个数记为从则直线y=kx+b不经过第二象限的概率为()A.B.C."D.解：依题意攵和b的所有可能的取法一共有3x3=9种，其中当直线y=h+b不经过第二象限时应有女>0,b<0,一共有2x2=4种，所以所求概率%.例2：设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程/+x+2=有两个不相等的实数根的概率为()a3b3c2D12解：由方程2+奴+2=0有两个不相等的实数根，得/=岸一8>0,故。=3,4,5,6.根据古典概型的概率计算42公式有P=%=例3；在集合3=子,=1,2,3,，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程CoSX=刎概率是.解：基本事件的个数为10,满足COSX=细X有两个.P=.例4：三张卡片上写有字母A、A、B,将三张卡片随机地排成一行，恰好排成B、A、A的概率是.21解：三张卡片共有6种排法，排成B、A、A有两种.故P=,=/.O3例5：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()43c45-6aT8B诵C&D/解：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于.答案：C10例6：一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,678的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()abMcd解：基本事件为(1,1),(1,2)(1,8),(2,1),(2,2),.,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况3有三种，分别为(7,8),(8,7),(8,8),所求概率为讶.答案:D例7：已知A=1,2,3),8=xRM一以+6=0，aAf8A,贝JA3=3的概率是()218A.§B.1C.gD.1解：.4nB=8,B可能为0,1,2,3,1,2,2,3,1,3.当8=0时，a2-4b<0,满足条件的,b为a=,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当8=1时，满足条件的“，b为a=2,b=L当B=2,3时，没有满足条件的,"当8=1,2时，满足条件的,b为a=3,6=2.当8=2,3,1,3QQ时，没有满足条件的,b.,4n8=8的概率为不不=不答案：C1.古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的.树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(X,y)可以看成是有序的.如(1,2)与(2,1)不同.有时也可以看成是无序的.如(1,2)(2,1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识.2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求.计算古典概型事件的概率可分三步：算出基本事件的总个数n；求出事件A所包含的基本事件个数m；代入公式求出概率P例加甲乙两人一起去游“世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()A36b9C36d-6解：若用1,2,3,4,5,6代表6处景点，显然甲、乙两人最后一小时浏览的景点可能为1,1、1,2、1,3)6,6),共36种；其中满足题意的“最后一小时他们同在一个景点”包括1,1、2,2、3,36,6),共6个基本事件，所以所求的概率为今本例条件不变，试求他们游览景点时所在的景点号数之和小于5的概率.解：号数之和小于5包含(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1),共6个基本事件.例9：从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为()A.B.C.D.12解：从3人中选2人有3种选法，甲被选中的选法有2种.P=多例Uh若l,2,b-2,-1,0,1,2),方程2+x+b=0的两根均为实数的概率为.解：若方程有两实根，贝Ij2460=246,则满足条件的(,田的基本事件有:(1,0),(2,-1),(2,0),(1,1),(1,-2),(2,-2),(2,1),共有7种情况，而整个基本事件空间共有10种情况，故方程有实根的概率煽.例11:将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标X,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆2+y2=15的内部的概率.解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能性基本事件(1)记”两数中至少有一个奇数”为事件8,则事件6与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)=I京=东即两数中至少有一个奇数的概率为本o9基本事件总数为36,点Cr,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C,则C包含8个事件，所以P(C)=点=§.2即点(X,y)在圆W+y2=i5的内部的概率为学例12：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.(1)甲校两男教师分别用A、8表示，女教师用C表示；乙校男教师用。表示，两女教师分别用E、厂表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A,D),(A,E),(A,F),(8,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E)(C,F)共9种,从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A,D)(BfD)(C,E)(C,F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P=I(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A,B)(A,O(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,£)(C,F)(£>,E)(D,F)(E,F)共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(4,)(,C)(B,Q(D,E)(D,B(E,产)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P=*例13：甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为小再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为4且,b1,2,3,若|。一"1,则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为().1527A5B.gC?D.§解：甲想一数字有3种结果，乙猜一种数字有3种结果，基本事件总数3x3=9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A,则A的对立事件8为“|。一例1"，即i=2,包含2个基本事件，,P(B)=,P(A)=Ivq选D。例14：曲线C的方程燎+/1,其中办是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=”方程£+提=1表示焦点在X轴上的椭圆”，那么P(A)=.解：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在X轴上，则加，又只剩下一半情况，即有15种，因此P(A)=Il=看答案：例15：有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有123,4四个数字.现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S,则“S恰好为4"的概率为.解：本题是一道古典概型问题.用有序实数对(",C)来记连续抛掷3次所得的3个数字，总事件中含4×4×4=64个基本事件，取S=+6+c,事件”S恰好为4”中包含了(1,2),(1,2,1),(2,1,1)三个基本事件，则P(S33恰好为4)=卷答案：例16：从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女生的概率.解：从五个人中选择两个共C；=10种.设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A,共C；C；=6种，."("S=,(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为8,则8包含的事件有共GG+C”7种，.P(8)=V,例17：在甲、乙两个盒子中分别装有标号为123,4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等.(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率.解：设从甲、乙两个盒子中各取1个小球，其标号分别记为小y,用(x,y)表示抽取结果，则所有可能结果有4x4=16种.(1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种.故所求概率P=(2)所取两个小球上的标号和能被3整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共5种.故所求概率P=I例18：有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5.若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面.(1)求恰好有两个面需要维修的概率；(2)求至少三个面需要更换的概率.C2+G+CR1解：(1)因为一个面不需要维修的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)=二-=因此，六个面中恰好有两个面需要维修的概率为尸6(2)=:=装.?6(0)=祟=*，A(I)=II=*，虑(2)=寒=器.131521故至少有三个面需要更换的概率是1一26(0)一尸6(1)一尸6(2)=1一右一方一忘=记.Uf21至少三个面需要更换的概率是以.例19：从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是()MPCc3解：P=-=亍例20：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)求在1次游戏中，(1)摸出3个白球的概率；(2)获奖的概率.解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A,G=0J23),贝IJP(A3)天普=/(2)设“在1次游戏中获奖”为事件8,贝U5=4U4.又P(Az)=HM+詈=今且43互斥，所以P()=P(2)÷P(A3)=+=-j.例21：从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为()解:在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为P=-Ai!0例22：在某地的亚运火炬传递活动中，有编号为1,2,3,，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的