第5课时 二次函数最值的应用.docx

课题第5课时二次函数最值的应用授课人教学目标知识技能L通过图形之间的关系列出函数表达式.2.用二次函数的知识分析解决有关面积问题的最值.数学思考对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题的意义.问题解决通过实际问题与二次函数的关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标公式解决最大值(或最小值)的方法.情感态度体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重占用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题.教学难点通过图形之间的关系列出函数表达式.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾(展示问题)1 .请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(l)y=6x2÷12%;(2)y=4x2÷8-10.2 .以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少？师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.提示：求解二次函数的最值可以选择两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.(l)y=6(x+1一6,所以抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(一1，-6),当x=-1时，y有最小值一6.(2)y=-4(%-l)2-6,所以抛物线开口向下，对称轴为直线X=1,顶点坐标为(1,-6),当X=I时，y有最大值一6.通过回顾二次函数的最值问题，为新课讲解提供铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.活动创设情境导入新课【课堂引入】问题：用总长为60根的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长1的变化而变化，当1是多少米时，场地的面积S最大？师生活动：1 .教师引导学生分析与矩形面积相关的量.2 .教师设问，若设矩形一边长为1,则如何表示与其相邻的边的长度.3 .学生自主列函数表达式，并进行整理，讨论问题解答的正确性.4 .学生针对问题要求进行求解，并回答问题.教师关注：1 .学生能否根据矩形的面积公式列函数表达式.2 .学生能否根据以前所学准确求出函数的最大值.通过典型实际问题，激发学生解答问题的欲望，让学生在合作中学习，共同解答问题，培养学生的探究能力和合作意识.活动L新知探究通过典型问题的设计和解实践探究交流新知活动：针对课堂引入的问题进行探究，教师总结解题过程.师生活动：(1)确定解题的步骤：先表示矩形的相邻两边长，再利用面积公式列关系式，最后求最值.(2)解答过程:矩形的一边长为1加,则与其相邻的一边长为(301)加，所以场地的面积S=l(30-l)=-l2+301(0<l<30).h4ac当1%15时，S有最大值.-225.ZdTd也就是说，当1是15»!时，场地的面积S最大.2.师生总结教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：表示与面积相关的量；利用面积公式列关系式，并进行整理；确定自变量的取值范围；利用公式求出最值.答，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的完善性.(续表)活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图26265,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园°菜园CABCD,设AS边长为X米，则菜园的面积y(单位：A5米2)与M单位：米)的函数关系式为图26265(不要求写出自变量X的取值范围).师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评.应用举例是对于课题学习的针对性练习.活动三：开放训练体现应用【拓展提升】例2如图26266,点E,F,G,H分别位JD匚=于正方形ABC。的四条边上，四边形ErGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGHJ的面积最小？lljf师生活动：学生小组内讨论、交流，教师参与小AeB组合作，并引导学生理清解题思路.图26266教师做好总结和展示：设AE=尤，AB=I,正方形EBGa的面积为S,列表达式得：y=l2x(1-),整理得y=22-2x+l,所以当x=0.5时，正方形EFG的面积最小，为0.5,即点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.例3已知函数y=-4f+4-4一a?.2当=1时，求函数在OWXWl时的最小值；(2)若函数在0xWl时的最大值是一5,求a的值.解：(1)二次函数图象的对称轴为直线x=。Yy八=J当。=三拓展提升是对于基础知识的提高和应用，培养学生的实际应用能力、提升学生的思维能力.,11时，=5=g,.0WxWl,.当X=I时，函数有最小值，最小值=4X12+4X,X14X,一住)_8_8_4_40-4+3-39-9(2)当WWo时，<0,x=0时函数有最大值，最大值二-4。一/二5,整理得层+而一5=0,解得41=1(舍去)，2=-5；当0<<l时，0<a<2,日4X(4)X(-4a-a2)(4a)取大值一4×(-4)5,解得=余活动开放训练体现应用当，21时，2,x=l时，函数有最大值，此时一4-4-4a=5,整理得=,解得0=1(舍去)，6=1(舍去)，综上所述，。=5或3时，在OWXwl时的最大值是一5.【达标测评】1 .给你一根长为8m的铁丝，用它围成一个矩形方框，当这个矩形的长为时，矩形的面积最大.2 .某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形花园ABC。，花园的一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围成，若设花园与墙垂直的一边长为X米，花园的面积为y米4(1)求y与X之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；图262-67针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.(2)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断，当X取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？活动四：课堂总结反思3 .如图26-2-67所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设隔墙的长度为X米.(1)要使养鸡场面积最大，隔墙的长度应为多少米？(2)如果中间有“道篱笆隔墙，要使养鸡场的面积最大，隔墙的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？学生进行达标测评，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结环节的设置能够让学生养成自主以纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【课堂小结】谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？教师强调：利用面积公式列函数关系式是解答问题的主要方法.布置作业：教材练习第1,2,3题.【知识网络】I实际问题与二次函数面积间的I面积问题IffWl提纲挈领，重点突出.活动四：课堂总结反思【教学反思】授课流程反思在创设情境和探究新知环节中，利用实际问题激发学生的求知欲，渗透转化思想，把知识回归生活，又从生活走出来，使学生乐学、好学；通过层层设疑、由易到难，符合学生的认知水平和认知规律，引导学生不断思考、积极探索.讲授效果反思教师提醒学生注意：(1)一般的面积问题是把面积作为函数，边长作为自变量；(2)确定自变量的取值范围是解答问题的注意点；(3)求最值问题可选用公式或由一般式化为顶点式.师生互动反思从课堂发言和检测来看，学生能够积极发言、小组讨论富有实效，能够把知识进行化归，建立函数模型.习题反思好题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.错题题号典案二导学设计一、利用二次函数解决几何面积问题例1用6m长的铝合金型材做一个形状如图26-2-68所示的矩形窗框.应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？练一练：1 .如图26269,在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为尤米，面积为S平方米.(1)求S与X的函数关系及自变量的取值范围；(2)当X取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积.图26268图26269图262702.如图26270,在一个直角三角形的内部作一个矩形A8CZ),其中AB和AO分别在两直角边上.(1)设矩形的一边ABxcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为y%2,当X取何值时，y的最大值是多少？二、利用二次函数解决利润最大问题例2某商场购进一批单价为16元的日用品，经实验发现若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件.假设每月的销售件数M件)是价格x(元/件)的一次函数.(1)试求y与尤之间的函数关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问：销售价格定为每件多少时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？练一练：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件.(1)若每件降价X元，每天盈利y元，求y与尤的函数关系式.(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(3)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？三、自主建模求解函数系式例1如图26271,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AoB)的薄壳屋顶.它的拱宽AB为拱高CO为0.8施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图26271图26272练一练：1 .某公司的大门呈抛物线型，如图26272所示，大门地面的宽AB=4m,顶部C距地面的高度为4.4机(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65%,装货宽度为2.4八那么这辆汽车能否顺利通过大门？2 .如图26273是抛物线型拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4#米，水位上升3米就达到警戒线这时水面宽45米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？图26273图262743 .如图26274,ABC,AB=8cm,BC=6cm,ZB=90o,点尸从点A开始沿AB边向点JB以2厘米/秒的速度移动，点。从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果尸，。分别从A,JB同时出发，那么：(1)几秒后，PQ/AC?(2)几秒后APBQ的面积最大？最大面积是多少？