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专题19距离型定值型问题【例题选讲】例1已知椭圆C狼+W=l(>QO)过点(0,1),且离心率为坐.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线/：y=5+机与椭圆E交于A,C两点，以AC为对角线作正方形ABC£),记直线/与X轴的交点为N,求证：IBW为定值.规范解答(1)由题意知，椭圆E的焦点在X轴且方=1,坐，因为4=，+尻，解得/=4.故椭圆E的标准方程为+y2=l.(2)设A(x,y),C(X2,”)，线段AC的中点为r1,y=-m,联立2,消去y,得入2+2加工+2川一2=0,匕+户1,由/=(2/)2-4(2/-2)>0.解得一,Vm<R,x+x2=2m,xiX2=2m22,州+丁2=；(%1+%2)+2根=根，/.M(m,).*.IAC="1+2J(xi+x2)2-4xi%2=/105m2.又直线/与X轴的交点N(2O),.t.MN=yjm1：.BN1=IBMI2+M2=AC2+MN1=|,故5N为定值.例2已知椭圆C：捻+$l(>Q0)在右、上顶点分别为A、B,尸是椭圆C的左焦点，P坐,坐)是椭圆。上的点，且QB="(O是坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)设直线I与椭圆C相切于点M(M在第二象限),过O作直线I的平行线与直线MF相交于点N,问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.则直线的方程B4：y=T(x+2),令X=0,则y=所以M(0,-),IiLI乙IlLI乙LI乙F?TiZn直线的方程：y=-(-2),令X=0,则y=,所以N(0,),Jm2m2m2OTONm2n2：AoTNSAOMT,而=击(圆的切割线定理)，再联立彳+丁=1,4层O=O三=-=3.例4(2020.新高考I)已知椭圆C5+a=1(»>0)的离心率为坐且过点A(2,1).(1)求。的方程；(2)点W,N在C上，且AMLAN,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。|为定值.rc2a2，22规范解答由题意可得j=+/=1解得层=6,b2=c2=3,故椭圆。的方程为蓑+/1.<a2=b2+c2,(2)设点MX1,%),N(X2,竺).因为AMLAN,所以命初=0,即(xi2)(%2-2)+(y11)(j2-1)=0.当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=fcc+m,如图1.图1代入椭圆方程消去y并整理，得(l+22)f+4左Hu:+2相26=0,修+'2=lib，根据y=fc11+M，y2=te+m,代入整理，可得(2+I)XlX2+(版-k-2)(%i+%2)+(根1)2+4=0,将代入上式，得(+1)；2：+(.一左一2>(+22)+(l-1)2+4=0,整理化简得(2左+3+l)(2k+m1)=0,因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k+机一l0,所以2左+3根+1=0,kl,于是直线"N的方程为y=x一5一g,所以直线MN过定点噌，£).当直线MN的斜率不存在时，可得N(X1,一州)，如图2.图2代入(Xl2)(%22)+1)=0,得(Xl2>+l货=0,结合看+胃=1,解得Xl=2(舍去)或Xl=,此时直线MN过点41,一因为IA£|为定值，且AAOE为直角三角形，AE为斜边，所以AE的中点。满足IQQI为定值QE长度的一半!+(l+g)=坐.由于A(2,1),E,-£),故由中点坐标公式可得。件£).故存在点Q件I),使得|。|为定值.例5(2016北京)已知椭圆C最+/l(*0)的离心率为坐，A(af0),B(0,b),0(0,0),AOAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线朋与y轴交于点“，直线PB与X轴交于点N.求证：IAMlBM为定值.厂C小4=2，规范解答(1)由题意得1.11<a2=b2+c2,4=2,解得。=1，所以椭圆C的方程为+V=L<c=3.(2)证明：由(1)知，A(2,0),B(0,1).设尸5),y0),则看+4=4.当xoO时，直线Rl的方程为y=TO(X2).XO/令%0,得加=xo2,从而3M=UNmI=1xq-2,直线PB的方程为y=*+l.令y=0,得M=T7,从而IAW=I2对|=2+渣JCOyo101所以IAMIBM=2+.卜2yo_+4yW+4xoyo-4M)-8州+4Xo一2xoyo-Xq-2yo+24xoyo-4xo-8yo+8xoyo-Xo-2yo+2=4.当M)=O时，=1,BM=2,AN=2,所以IAMlgM=4.综上，IAMI5M为定值.例6已知椭圆C+=l(1)直线/过点。(1,1)与椭圆。交于P,。两点，若科)=双,求直线/i的方程；(2)在圆O：f+y2=2上取一点，过点作圆0的切线？与椭圆C交于A,B两点，求IMAlA"的值.规范解答设尸，%),(%2,”)，瓦)=旗，(l-X1,l-y1)=(%2-l,m一1),1X1=X21即Ll,解得i+%2=2,y+y2=2.i-y=y-ivp,。两点在椭圆C上，.常十5-=1,竟+5=1，两式相减，得鱼二”3+上上鲁a=。，则/OJXl-X22故直线/的方程为了一1=一；(X1),即y=-x+.(2)当切线/2斜率不存在时，不妨设的方程为x=5,由椭圆C的方程可知，A(2,2),B(2,-2),则况=(5,2),i=(y2,-2),.=0,即04,OB当切线/'斜率存在时，可设/'的方程为y=fcc+m,A(x3,>3),B(x4,必),*p=2,即m2=2(2+l)联立/'和椭圆的方程，得(22+l)x2+4相fcr+2机26=0,则/=(4相左>4(22+1)(2m26)>0,4km2m216芬X1-X2-+27，XIX2=+2r，TOA=(X3,丁3),OB(%4»丁4),.,.A0XX4+j3j4A：3X4+(to+m)(fcT4+m)=(2+1)X3X4+机上(X3+x4)+机20l2m26l=(严+1)1+2如+"%(4km,9(2+1)(2m26)4m22+m2(22+1)T+2)+m=1+23m2-62-6l+223(22+2)-62-6-j=0，OALOB.综上所述，圆。上任意一点处的切线交椭圆。于点A,B,都有OA,05.在RtAB中，由AM与ABOM相似，得IMAHM5=(W2=2.例7如图，已知椭圆CW+:=l,点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在X轴下方)，且线段AB的中点石在直线y=x上.(1)求直线AB的方程；(2)若点尸为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线y=%于点M、N,证明：|0朋|0川为定值.规范解答(1)设点石(根，m),由5(0,2)得&2根，2m+2).4m2(2zn+2)2桃？Q代入椭圆方程得节4=1，即,+(加+1)2=1,解得根=或根=0(舍).所以A(3,1),故直线AS的方程为x+3y+6=0.(2)设Pa0,加),则普+苧=1，即用=4挈设MxM,yM),由A,P,M三点共线，即，C.ApAk,(x0+3)(m+l)=(yo+1)+3),又点在直线尸X上,解得点的横坐标X片斗,设N(XN,>),由B,P,N三点共线，即前前，.xo(yv+2)=(yo+2)xN,2xn点N在直线y=x上，解得N点的横坐标XN=Z.xo-yo2所以OMON=y2xm-0xn-Q=2xmIlXNI=21；.：，I1犹二皆22x()26XoyOl2%o2-6xoyoiXo2-Sxoyo1/=%_而2_4尸2丁;正尸2|行1=6.Xo_2xoyo-XoJo例8如图，已知MX0,yo)是椭圆C?+弓=1上的任一点，从原点O向圆环(X-X0)2+(y-yo)2=2作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.若直线OH0。的斜率存在，并记为左1，左2,求证：上次2为定值；试问|0月2+|0。|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.规范解答(1)证明：因为直线OPy=kix,OQ.y=左2x与圆M相切，所以方落手=1所以M,后是关于左的方程（看一2）R2M）Wt+%2=0的两个不相等的实数根，所以M%2=M因为点Mo,yo）在椭圆C上，所以%+胃=1,即京=353,所以左的=焉为定值.（2）。尸F+QQ2是定值，定值为9.理由如下：当点坐标为（也，¾时，直线OP0。落在坐标轴上，显然有QPI2+QQ2=9.当直线。P,0。不落在坐标轴上时，设P（X1,y）,Q（X2,竺），因为为左2=；，所以yb=%,因为尸（X1,yi）,Q（X2,丁2）在椭圆C上，所以小，卜=3-5彳,客量，所以（3；鬲）（31）=/曷，整理得看+送=6,所以y彳+另=（3%彳）+（3g）=3,所以Q尸|2+|0。|2=9.例9已知椭圆C，+方=1（。金0）经过（1,1）与9尊，坐j两点.求椭圆C的方程；（2）过原点的直线,与椭圆C交于4B两点,椭圆C上一点满足IMAl=也因.求证面坪+两肝为定值.规范解答（1）将（1,1）与四，坐）两点代入椭圆C的方程，得b3解得属=3,椭圆C的方程为上+亨=1.证明：MA=MB,知M在线段A3的垂直平分线上，由椭圆的对称性知48关于原点对称.若点A,8是椭圆的短轴顶点，则点是椭圆的一个长轴顶点,此时IOAI2+052+（W2=万+5+户=2同理，若点A,5是椭圆的长轴顶点，则点是椭圆的一个短轴顶点,0.1,1,21,1,2此叫OAl2十|。杆十画p一层十/十反一2.若点A,B,不是椭圆的顶点，设直线/的方程为y=息（际0）,则直线OM的方程为y=%,设A（X1,y）,B（Xi,y）,3消去y得，x2+22-3=0,解得君=7,32l+22'999l93(l+2)、3(1+F)OA2=O砰=XHM=+2M，同理IoM=2+V，,OA2OB2OM2_l+22j2(2+2)=2X3(l+F)+3(l+F)=2故，OA2OB2OM2=2为定值.例10如图，已知椭圆G:w+F=l的左、右顶点分别为4,A2,上、下顶点分别为S,B2,记四边形AlIA2星的内切圆为圆C2.(1)求圆Q的标准方程；(2)已知圆Q的一条不与坐标轴平行的切线/交椭圆Cl于P