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专题09含两种曲线模型【例题选讲】22例4(23)(2019浙江)已知椭圆方+/=1的左焦点为尸，点。在椭圆上且在X轴的上方.若线段P尸的中点在以原点。为圆心，Q尸I为半径的圆上，则直线P尸的斜率是.答案15解析法一：依题意，设点P(m,11)(11>0),由题意知F(-2,0),所以线段FP的中点M考"，乡在圆f+y2=4上，所以茅咛+2=4,.又点P(m,W)在椭圆,+/=I上，所以+y=l,.联立，消去，得4/一36加-63=0,所以根=一,或根=,(舍去)，几=所以女尸尸-o=;=15.一2一(一2)V?。F丁法二：如图，取尸尸的中点连接(W,由题意知QM=IO尸=2,设椭圆的右焦点为尸1,连接尸尸1,在APWi中，OM为中位线，所以PH=4,由椭圆的定义知IP/+PEI=6,所以IP/|=2.但为M为PF的中点，所以M尸I=L在等腰三角形OM厂中，过。作产于点“，所以|0”|=22&2=华,152l-所以kpF=tanHFO=-=y15.2(24)如图，已知尸1，尸2分别是双曲线/=I(QO)的左、右焦点，过点尸1的直线与圆f+y2=相切于点7,与双曲线的左、右两支分别交于A,B,若旧25=AB,则方的值是答案1+小解析法一：因为I尸2用=以同，所以结合双曲线的定义，得IARI=IBR|一4引=|5尸1|一h1BF2=2,连接O,在RtAOTFi中，QTl=I,QBI=gTF1=b,所以CoSNjF2尸IA=ISinZF2FiA=-,所以c+2xg,2x£|,将点A的坐标代入双曲线得(一'NA)?一/=1,化简得06-455+5/-403-4=0,得(Z?22Z;2)(/2+3Z?22匕+2)=0,而4-23+3Z?2-2+2=2(-1)2+2+1+(-1)2>0,故。2202=0,解得。=1±小(负值舍去)，即。=1+1法二：因为尸2<=AB,所以结合双曲线的定义，#AF1=BF1-AB=BFi-BF2=2,连接A&则bAF2=2+AFi=4.连接在Rt(?TFl中，QTl=1,OF1=c,TF1=b,所以CoSNJF2尸IA=J在为尸2中，由余弦定理得，COSNJF2/IA=Wm一3所以，3=2。，又在双曲线中，c2=l+Zr1r2Ari|ZC2,所以。22。-2=0,解得8=1±5(负值舍去)，即8=1+1(25)已知双曲线C提一*=130,90)的焦距为2c,直线/过点岛，0)且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线/交于W,N两点，若IMN=平c,则双曲线C的渐近线方程为()A.y±2xB.y=±3xC.y=±2xD.y=±4x答案B解析方法一由题意可设渐近线方程为y=%,则直线/的斜率Q=*直线/的方程为2ya2+b2为2c2d2=2/c2acjay2c,整理可得c49a2c2-h12a3c4a4=0,即e,-g/+12e-4=0,整理可得以+AyQ2=o.焦点(c,0)到直线/的距离d=方法二圆心到直线/的距离为c.3,ac-1a2c:，c*2-3c+2/=0,c=2a,分解因式得(el)(e2)(/+3e2)=0.又双曲线的离心率e>l,贝Je="=2,所以g=，我-1=3,所以双曲线C的渐近线方程为y=±5x.Z?=小4,.渐近线方程为y=±3x.(26)已知尸为抛物线产=4小元的焦点，过点尸的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限)，若赤=3曲,则以AB为直径的圆的标准方程为()A.(-j2+(j-2)2=yB.(-2)2+(y-23)2=yC.(-53)2+(y-2)2=64D.(-23)2+(y-2)2=64答案A解析如图，作出抛物线的准线/:x=-3,设A、B在/上的射影分别是C、D,连接AC、80,过B作BELLAC于E.VA>=3F,J设IA尸|=3根，|3口|=根，丁点A、5在抛物线上,AC=3mfBD=m.因此，在Rt中，A3=4m,AE=2m,.*.cosZBAE=,.*.ZBAE=60°,直线A5的倾斜角为60。，即直线AB的斜率左=tan60。=小，J直线AB的方程为y=5（-,）,代入抛物线方程得3f1+9=0.xa+xb=当后，Xa-Xb=3.；.yA+yB=小（XA小）+小（XB小）=4,AB=xa+xb+p=.A5中点的坐标为（"p,义手目，即（半，2）.则以AB为直径的圆的标准方程为（L啕2+52）24.故选A.（27）已知曲线G是以原点。为中心，Fi,尸2为焦点的椭圆，曲线Q是以。为顶点、尸2为焦点的抛物75一线，A是曲线Cl与。2的交点，且NAB用为钝角，若IAEI=I，IABI=,贝U6的面积是（）A.3B.2C.6D.4答案C解析画出图形如图所示，A"尸D根据抛物线的定义可知AF2=AD=/故COSNBAo5S54114=也即COSNA尸上2=亍在AARB中，由余弦定理得'=,解得尸B=2或FB=3,2×2×FiF2由于NAB尸1为钝角，故IAQl>|尸B,所以尸2=3舍去，故尸B=2.而SinNA尸正=1=半,所以SAV"2=TxQx半=再故选C.（28）（2017山东）在平面直角坐标系Xoy中，双曲线捻一二心>。）的右支与焦点为尸的抛物线一=2pyg>0）交于A,B两点.若IA/|+|8方|=4|0尸|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±*X解析法一设A（XA,y4）,B（x小冲），由抛物线定义可得IA尸|十|5尸尸班+冲+=4×2=>y+）,B=p,由<"2"2'可得层,22py+262=0,所以A+yB=q=p,解得O=也6,故该.x2=2py双曲线的渐近线方程为y=±%.法二(点差法)设4用，y),3(X2,y2),由抛物线的定义可知IA尸|=以+$固尸|=竺+$Q尸I=E由IA尸IX2_X1+BF=yi+2+y2÷2=y+)72+=4OF=2,得y+y2=p.易知直线AB的斜率依5=；_；=:_；：=f=1,x2+x1Caby2-yb1(x1+x2)b1X1+X2n,b2X1+x2x2+x1匕扶1b2由j耳Il=得r2(刀十.)w，则后一所以U=产厂苧所以双曲线的渐近线方程为y=【对点训练】56 .如图，椭圆C捻+?=Im>2）,圆。/+丁=+%椭圆C的左、右焦点分别为尸1,F2,过椭圆上一点尸和原点O作直线/交圆。于“，N两点，若IPBHP/2=6,则lPMPN的值为.57 .已知双曲线最一W=l（>O,於0）的左、右焦点分别为尸1,F2,过尸1作圆/+V=2的切线，交双曲线右支于点若NBMF2=45。，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x58 .已知双曲线百一W=13>0）的左顶点为4虚轴长为8,右焦点为尸，且。尸与双曲线的渐近线相切，若过点A作。尸的两条切线，切点分别为N,则IMN=.59 .已知双曲线（一5=1,过双曲线的上焦点尸1作圆O：x2+V=25的一条切线，切点为交双曲线的下支于点N,T为NrI的中点，则AMOT的外接圆的周长为.60 .以抛物线C尸=2力仍>o）的顶点为圆心的圆交。于a,5两点，交C的准线于O,石两点.已知A5=26,DE=2W,则P等于.61 .已知抛物线9=4羽圆尸：（-l）2+y2=l,直线y=左（冗一1）（厚0）自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D,则IA卦ICDl的值是.62 .已知曲线G：y=，一f+16x15及点一,0）,若曲线G上存在相异两点5,C,其到直线/：2x+l=0的距离分别为IA4和IACI,则A5+AC=.63 .已知尸为抛物线Cx2=2qS>0）的焦点，曲线G是以尸为圆心，为半径的圆，直线班工一6y+3=0与曲线CG从左至右依次相交于P,Q,R,S,则院=.64 .已知抛物线Cy2=2p（p>o）的焦点为R过点JF的直线/与抛物线C交于A,5两点，且直线/与圆一3%2-px+y272=o交于gJD两点，若A5=3CD,则直线/的斜率为.65 .（2016全国I）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,5两点，交C的准线于O,E两点.已知IABl=42,DE=25,则。的焦点到准线的距离为（）A.2B.4C.6D.866 .已知抛物线Cy2=2（p>o）的焦点为尸，点MX°,25）是抛物线C上一点，圆M与线段M/相交于点A,且被直线=?截得的弦长为5MA,若需=2,则HR=（）3A.2B.1C.2D.367 .已知椭圆。与双曲线。2有相同的左右焦点尸i，F2,P为椭圆G与双曲线。2在第一象限内的一个公共点，设椭圆G与双曲线Q的离心率分别为ci，£2,且fj=/若NFlPF2三，则双曲线Q的渐近线方程为()A.x±y=OB.x±坐y=0C.x±坐y=0D.x±2y=068 .已知双曲线y2=l的右焦点是抛物线=2内(p>0)的焦点，直线y=+相与抛物线相交于A,B两个不同的点，点M2,2)是AB的中点，贝UA4O3(O为坐标原点)的面积是()A.43B.313C.14D.232丫2、,169 .设椭圆。2：u+R=l(4>8>°)的左、右焦点为方1，尸2，离心率为e=5，抛物线G：y2=4mx(m>0)的准线经过椭圆的右焦点，抛物线G与椭圆Q交于X轴上方一点P，若为尸2的三边长恰好是三个连续的自然数，则。的值为.70 .已知双曲线的焦点尸1，尸2在X轴上，直线M+3y=0是双曲线的一条渐近线，点P在双曲线上，且讨1.户亮=0,如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么I时IH户亮1=()A.21B.14C.7D.071 .已知抛物线G：y2=8Q(Q>o),直线/的倾斜角是45。且过抛物线G的焦点，直线/被抛物线G截得的线段长是16,双曲线Q：捻一提=l(>0,QO)的一个焦点在抛物线。的准线上，则直线/与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是()A.2B.3C.2D.1r2V272 .已知双曲线，一>=Im>0,QO)的两条渐近线与抛物线>2=2川(p>0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2,A4BO的面积为2、。，则抛物线的焦点为()A.$0)B.停OjC.(1,0)D.(2,0)2273 .若双曲线力一f=l(40,QO)的渐近线与抛物线y"+l相切，且被圆一+(厂。)2=1截得的弦长为L则=()A.坐B.C.y5D.1074 .抛物线G：尸排80)的焦点与双曲线Q：“丁=1的右焦点的连线交G于第一象限的点若。在点M处的切线平行于Q的一条渐近线，则等于()A必R也c"D逑a16,8J33