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专题10几何法解决的最值模型【例题选讲】22例1过椭圆生+言=1的中心任作一直线交椭圆于P,。两点，尸是椭圆的一个焦点，则尸。的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18答案D解析由椭圆的对称性可知，尸，。两点关于原点对称，设尸为椭圆另一焦点，则四边形PFQF为平行四边形,由椭圆定义可知：PF+PF,I+1F+1F=4=20,又IP/|=|。尸尸I=IP尸PF+QF=10,又PQ为椭圆内的弦，|尸。Imin=2A=8,.ZP尸。周长的最小值为：10+8=18.故选D.(2)已知点尸为椭圆C弓+丁=1的左焦点，点JP为椭圆C上任意一点，点。的坐标为(4,3),则IPQl+1PFl取最大值时，点P的坐标为.答案(0,-1)解析设椭圆的右焦点为E,PQ+PF=PQ+2aPE=PQ-PE+22.当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，IPQl+1Pfl取最大值，此时，直线尸。的方程为y=x1,QE的延长线与椭圆交于点(0,-1),即点P的坐标为(0,-1).72(3)椭圆后+彳=1的左焦点为尸，直线X=机与椭圆相交于点N,当式MN的周长最大时，XFMN的面积是()A或R妪岖n45A,5,5c5d,5答案C解析如图所示，设椭圆的右焦点为F,连接MP,NFr.因为MF+N尸+M严+1NFlMF22Qa/<+1NFl+MN,所以当直线X=机过椭圆的右焦点时，AFMN的周长最大.MMN=,又C=a2-b2=5-4=1,所以此时AFMN的面积S=；x2x故选C.(4)设P为双曲线1=1右支上一点，M,N分别是圆G：(x+4)2+y2=4和圆Q：(x4)2+丁=1上的点，设IPMFW的最大值和最小值分别为机，n,则以一川=()A.4B.5C.6D.7答案C解析由题意得，圆。：(x+4/+y2=4的圆心为(一4,0),半径为片=2；圆。2：(%4)2+y2=l的圆心为(4,0),半径为厂2=1.设双曲线25=1的左、右焦点分别为尸1(4,0),尸2(4,0).如图所示，连接尸尸1,PF2,FlM,F2N9贝UlPRI-I尸尸2=2.又FMmaX=I尸Bl+FWmin=IP尸¥一2所以IPM一IPW的最大值m=IPBI|尸产2|十n+厂2=5.又IPMmin=FBI一n，IPWmaX=IP尸2+T2,所以IPM一可的最小值=IPFlII尸尸2一打一V2=1,所以同一川=6.故选C.fy(5)已知点M3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|IQ尸I的最小值是()B.3D.2答案C解析抛物线的准线方程为x=一；,过。作准线的垂线，垂足为C,如图,依据抛物线的定义，得IQM-IQn=IQM-IQQI,则当QM和。'共线时，IQMQ0的值最小，最小值为-3一一习_5=2,X="T(6)已知抛物线的方程为f=8y,厂是其焦点，点A(2,4),在此抛物线上求一点P,使AAP厂的周长最小，此时点P的坐标为.答案-2,2)解析因为(-2)2<8><4,所以点4一2,4)在抛物线2=8y的内部，如图，设抛物线的准线为/,过点。作于点Q,过点A作A5_U于点5,连接AQ,由抛物线的定义可知/的周长为IP尸+B4+A尸I=IPQI+B4+A尸INIAQI+1AFI邦AB+A尸I,当且仅当P,B,A三点共线时，八4尸尸的周长取得最小值，即A5+A尸|.因为4一2,4),所以不妨设aA尸尸的周长最小时，点P的坐标为(一2,yo),代入f=8y,得州=今故使尸尸的周长最小的抛物线上的点F的坐标为(一2,习.【对点训练】1 .已知椭圆的方程为总+9=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点，尸2是椭圆的右焦点，贝U的周长的最小值为,AABB的面积的最大值为.2 22 .设尸1，尸2分别是椭圆=+=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4),则IPMl一IPAI的最小值为.3 .已知尸是椭圆5x2+9=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(l,1)是一定点.贝”朋+P尸|的最大值为，最小值为.Y24 .椭圆Cu+y2=l(>l)的离心率为¥，Fi，尸2是C的两个焦点，过尸1的直线/与C交于A,8两点，贝”ABI+IB尸2I的最大值等于.5 .已知圆：（x2）2+丁=1经过椭圆C+弓=i（机>3）的一个焦点，圆与椭圆C的公共点为A,B,点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为（）A.2T-5B.2T-4C.4T-llD.410-10226 .设P是椭圆=+=l上一点，M,N分别是两圆：（X+4）2+y2=和（L4>+y2=上的点，则IPM+1PN的最小值和最大值分别为（）A.9,12B.8,11C.8,12D.10,127 .P是双曲线C3一丁=1右支上一点，直线/是双曲线C的一条渐近线，P在/上的射影为。，B是双曲线C的左焦点，则IP尸+PQl的最小值为（）A.1B.2+华C.4+雪D.22+l8 .双曲线C的渐近线方程为y=±W，一个焦点为F（0,一j）,点A（L0）,点P为双曲线上在第一象限内的点，则当点P的位置变化时，刚尸周长的最小值为（）A.8B.10C.4+37D.3+3179 .过双曲线fV=I的右支上一点P,分别向圆G：（x+4）2+y2=4和圆Q：（l4）2+=i作切线，切点分别为N,贝UIPM2IPN2的最小值为（）A.10B.13C.16D.1910 .已知点尸是抛物线y2=4的焦点，P是该抛物线上任意一点，M（5,3）,则IPFl+PM的最小值是（）A.6B.5C.4D.311 .已知抛物线V=2x的焦点是尸，点P是抛物线上的动点，若点A（3,2）,贝”B4+PF取最小值时，点P的坐标为.12 .已知抛物线C产=2内（p>o）的焦点为方，准线为/,且/过点（一2,3）,在抛物线C上，若点N（l,2）,则lMN+|尸|的最小值为（）A.2B.3C.4D.513 .已知点M%,y）是抛物线V=4x上的动点，则Na2）2+（y1）2+）2的最小值为（）A.3B.4C.5D.614 .已知P是抛物线丁=以上的一个动点，。是圆（x3）2+。-1）2=1上的一个动点，N（1,0）是一个定点，则IPQl+FW的最小值为（）A.3B.4C.5D.2+l15 .已知以圆C（X1）2+V=4的圆心为焦点的抛物线CI与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:2=8y上任意一点，与直线y=一2垂直，垂足为，则IBM|ABl的最大值为（）A.1B.2C.-1D.816 .已知抛物线y2=8,点。是圆C2+y2+2-8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线X=2的距离为d,则IPQ+d的最小值为（）A.5B.4C.3D.217 .定长为4的线段MN的两端点在抛物线V=X上移动，设点P为线段MN的中点，则点P至Uy轴距离的最小值为（）7A.1B.4C.2D.518 .已知抛物线方程为V=4,直线/的方程为2x+y4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线/的距离为小则加+的最小值为.19 .已知点尸是抛物线CV=4的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点又向圆（%1）2+2=乍切线，切点分别为A，B,则四边形A尸面积的最小值为.20 .已知抛物线Cx2=8y的焦点为尸，动点。在C上，圆。的半径为1,过点厂的直线与圆。切于点P,则毋成的最小值为.
