论文--函数凸性证明不等式的应用.docx
函数凸性在证明不等式中的应用摘要本文首先从解析定义、几何解释和直观描述性定义三个方面介绍了凸函数的定义；随后揭示凸函数的判定定理和凸函数的性质，其中重点把握凸函数的JenSen不等式。在此根底上，建立凸函数框架统一证明初等不等式，并推证一些著名不等式，如Holder不等式等，显示出函数凸性在不等式证明中的重要性；最后进一步研究函数凸性在几何和三角函数不等式中的精巧妙用，以及在数学分析中的应用。关键词：函数凸性证明不等式Jensen不等式函数凸性证明不等式的应用1凸函数的定义函数凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凸性定义的更一般的三种形式。1.1解析定义LL1定义设定义在上。X1,X2a,b(x1x2),及4,l,恒有/(A+(1-视2)歹(XI)+(1-4)(%2),(1)那么称/(x)为上的凸函数，并称曲线/(x)在LU上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数/在限”上是下凸的。假设不等式当且仅当玉=0时成立，那么称/(兄)是在除口上的严格凸函数。1.1.2定义设函数/在上连续，V,%M(x1x2),有/X1+X2/(%)+小)2厂2那么称函数/为上的凸函数，并称函数/在上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数/()在同上是下凸的。注:1假设/()为区间。上的下凸函数，那么-/()为区间。上的凸函数。从而上凸函数特征的讨论对下凸函数也适用。2定义2是定义1中4仅取;时的情形，从而定义2的条例弱于定义1。1. 2几何解释1.1.1 上凸函数/(x)是描述XOy平面所定义区域上一条“上凸曲线”，图象的任一弦上的某点，在对应的弧上的点的下侧如图1)图1同理，下凸函数/（x）的情况只是反向的，即/（耳+（1-之）x2达歹（%1）+（1-之）/（%2）。1.1.2 在初等数学中，函数的凸性可根据图象来判定，如图1-2所示，/（元）在（力）上是上凸的，而在伉。）上是下凸的。Av)图21.1.3 在数学分析中函数的凸性是由函数的二阶导数的符号来判定的：对任意的%（。力），如果r（x）o,那么/（无）在（/）上是上凸的；如果r（%）o,那么/（无）在（。力）上是下凸的。1. 3直观描述性定义如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方，那么相应的函数称为凸函数。如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方，那么相应的函数是凸函数。2函数为凸的必要充分条件即判定定理1.1 函数为凸的必要充分条件设/是凸集SUR"上的凸函数的充要条件是对任意的X,yS,单变量函数g（2）=/（AX+（1-X）y）是0,1上的凸函数。证明：充分性：设g（X）是0,1上的凸函数，取%=1,2=0,那么对OU有志（1）+（10g（）g（%l+（l办O）=g（）,即4+(12)f(y)/(Ax+(1-)y)故/为S上的凸函数。2)必要性：设/为S上的凸函数，假定。，y0,l,O<2<l,欲证g(>la+(1-)<g（八）+i-)g)令=0x+(l-0)y,v=x+i-y,那么fu+(1-)v)=g(z+(1-),/(")=g(),-(v)=g(一)由/的凸性，f(u+(1-2)v)4f(w)+(1-2)(v),BPga+(1-1)2g(<)+(l-2g()o2. 2凸函数的判定定理2.2.1 定理设/(x)在“内有二阶导数，那么/(元)为凸函数的必要充分条件是u(x)Oo证明：先证/(x)<O,令/，/为。内任意两点。X=Ax1+(l-l)x2,那么f(x1)=f(x)+(%1-X)(x)+(x1-X)2f"fe)，。三M；f()=f(x)+(-)f(x)+(-)2f,fe)N£(。/)。上面两式相加便得A,(x1)+(1-2)(x2)=/(Ax1+(1-柳2)+9(芯-XT/Gi)+(-)2"fe)/(x1+(1-2)x2)o所以当N(x)0时，函数/为凸的。现证当/为凸，r存在时，必有ro0/(%)一/(/)/(/)一/(%)X2X0x3-x1令=X，h>O,x1=X-h,x3=x+h,5ZF(x)-fx+h)-/(x),那么/(%)-/(%)/(%)T(%)上式一旦丘超二或一0可写成-¾2h2°由中值定理，存在j%-九%,使F(x)-F(x-h)=正=(f+)-(o再用一次中值定理，便得F(x)-F(x-h)=h2fi),玉/(¾)1此即说明/(x2)l0成立，因此/'(x)O0/()1由上定理1,可得出定理2。2.2.2 定理假设函数/(x)是内具有一阶和二阶的导数，x(，恒有/(x)0,那么曲线/(x)在区间。上对定义1、定义2都是上凸的。3凸函数的性质3.1对任意的x(,Z?),如果/"(x)<0,那么对任意看，x2,，xn(a,b),都有f(1+-J>/(再)+/(%)+/9)Vn)n如果,(x)>0,那么不等号方向相反。等号当且仅当%=%=%时成立。3.2Jensen不等式3.2.1定理Jensen)设/(元)为定义在定义1的凸函数，那么对任意的实数ni0(z=1,2,11),Z4=1«=1,2,)，x三a,b,且XlX2V4乙，有z=lf±lx±lf(xz=lz=l等号当且仅当Xl=X2=时成立。证明用数学归纳法。=2时，由凸函数的定义1中的式A()+W(X2)=(1-4)/(芯)+f()/(1+4%=/(4玉+4),且等号仅在Xl=X2时成立，从而结论成立；设左时式成立且等号仅在Xl=X2=%时成立。左+1当=Z：+1时，设E4=1，XlVX24v*+，z=l1kifix*=×xi+i=那么k=114%i-+l/=1k-；ik=k'i-+/=1从而*a,b且X七=(-4+卜*，z=lz=l=F=1(i-+1)()+1f(x,+1)等号仅在XI=X2=与时成立。=(i-A+1)fki=14i-+Xi+l(+l)又由归纳假设，有(k】fy-l-A+1因此七J，=1-f(i)-+1k+1f«=1)(-÷)，>&)+÷f(÷)i=l1-+lk=Z4(%J+7k+(+)，z=lk+.工4%f(¾)k+1J«=1且等号仅在XI=X2=%左（这时又必有X=%G=L2,左），从而等号仅在XI=X2=XM时成立。综上所述，定理得证。3.2.2JenSen不等式还可变形为以下形式：设函数/(%)为同上的严格凸函数，Xza,b,2z.>(z=1,2,11),且£4=1,那z=l么有了+几2124f<4(%1)22/(2)-*"A"(Xn)i+2+-+n(4)成立。当且仅当再=与时等号成立。函数/(%)为区间上凸函数，当4=4=4时，有当且仅当Xl=X2=Z时等号成立。4函数凸性在证明不等式中的应用4.1在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值证明上述不等式用到数学归纳法，其实这些不等式可在凸函数框架下统一证明。证明时构造一个恰当的函数那么是证明的关键。例1：设£>0,G=L2,证-J:j-也12XrI%+2+_±5l11n当且仅当所有(1M全部相等时，等号成立。证明要利用JenSen不等式来证明，关键是找出适宜的凸函数.观察不等式08¾X"V"*"+'的形式,易知两边取对数变成nInXl+In/+lnZ5InXI+%2+X”,nn这就很容易找到适宜的凸函数了。首先考察了(%)=-Inx%>0)的凸性。因为/'U)=*,由定理1知，/(%)是(0.)上严格凸函数。由JenSen不等式知，当.>0,G=I,2,不全相等时有InXI+%+%<InXI+ln-+lnZnn1111FH（、及-InIn+In+-+In-n八芯xn）“I+/+%成立。所以有-jj-V¾111玉2Xn4.2凸函数的JenSen不等式，可以用来推证许多著名不等式，如：Holder不等式、CaUehy不等式、平均值不等式、YOUng不等式等例:2：Holder不等式)设q,bi(z=1,2,11),为正实数，p>0,q>0,p+q=l,那么孰M序J序J，(6)当且仅当售="=时等号成立。b%br证明令A=f,B=Na,设函数/(%)=Inx,那么/'(%)=J_,/(x)=J->0,z=lz=lXX可知/(x)=-lnx为严格凸函数。令4二"，2=q,XI=Y,%,由Jensen不等式可知：1a.b.abPlnq+qlnflnp+qe，i=l,2,"i=1,2,11所以:S三<(a.b.一L+4-LA整理得Holder不等式:)f-,TfT三/=1z=lJz=lJ其中当今时等号成立,即为:3=等=3时等号成立。bb2bn例3：Young不等式)假设q>0,b>0,p>0,q0,z0且工+工=1,求证:pq旌江+与pqqp证明从所求的不等式的形式来看，不容易直接找到适宜的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同时取自然对数，那么有In(Q力)<lnQ+Ipq/0)由此很容易找到适宜的凸函数。考虑函数/(%)=In尤因为/X由定理1知，/(%)在工0时为凸函数，因为有0,q>0,-+-=1,所以pqP1bq)-Inf-+1cl-InQVPJf1Vf1八=In(Q/?)于是In(MVln十IPpqqp特别地，当£=1,p=q=2时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。YOUng不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广。4.3 函数凸性在证明一些几何和三角函数不等式中的精巧妙用例4：设piR+,xi,证明：SjnP1%1+P2%+PzJPISinM+0sin%+zsin/B+0+A+2+证明取/(%)=-sinx,它是0,»上的凸函数，由JenSen不等式，得_sinP1%1+P2%+Pzz<_PISin.+必SinX2+
