传染病数学模型.ppt

传染病模型传染病模型稳定性理论稳定性理论传染病的随机感染模型传染病的随机感染模型在人群中有病人在人群中有病人(带菌者带菌者)和健康人和健康人(易感人群易感人群)，任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。这时如何估计平均每天有多少健康人被感染？这时如何估计平均每天有多少健康人被感染？ 接触概率接触概率感染概率感染概率总的感染人数总的感染人数一个健康人被其他的所有病人感染的概率一个健康人被其他的所有病人感染的概率一个健康人被一名指定病人感染的概率一个健康人被一名指定病人感染的概率人群中只分为健康人和病人两种人群中只分为健康人和病人两种 isn人群中任何两人的接触是相互独立的。每人人群中任何两人的接触是相互独立的。每人平均每天与平均每天与 m人接触。人接触。 当一健康人与一病人接触时，健康人被感染当一健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为的概率为 模型假设模型假设接触概率接触概率p接触人数服从二项分布接触人数服从二项分布m (1)np感染概率感染概率1p1p 一健康人被一指定病人感染的概率一健康人被一指定病人感染的概率1mpn一健康人被感染的概率一健康人被感染的概率2p 11(1)ip健康人被感染的人数也服从二项分布，健康人被感染的人数也服从二项分布， 每天被每天被感染的人数感染的人数 也服从二项分布也服从二项分布2sp21(1)mipn()minin离散离散连续连续变化是时间的函数变化是时间的函数人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者（Susceptible）和已感染者（）和已感染者（Infective）.病人数和健病人数和健康人数在总人数中所占比例分别记为康人数在总人数中所占比例分别记为 ( )( )1s ti t人群中任何两人的接触是相互独立的。每个病人群中任何两人的接触是相互独立的。每个病人平均每天的有效接触为常数人平均每天的有效接触为常数 ( )s tNdidtiN(0)i0i01( )11(1)ti tei101ln(1)mti12i 变化最大？变化最大？it 1具有免疫性具有免疫性SIR 不具有免疫性不具有免疫性SIS 0(1)(0)diiiidtii()10101() ,( )1() ,teii tti 0(1)(0)diiiidtii()10101() ,( )1() ,teii tti 1( )1i tt 1( )0i t 00(1)(0), (0)diiiidtdssidtii ss 0011s sdsdisii0001()lnsisiss 随着时间的变化随着时间的变化, ,s i r如何变化如何变化?0011s sdsdisiidridtdssidt r单调递增单调递增s单调递减单调递减?i0( )rrrt则则i 0110s1s1sri 01s110dsdis 则则i先单调递增先单调递增1si达到最大值达到最大值1si减小且趋向于零减小且趋向于零011ln0sss0011s sdsdisiidridtdssidt r单调递增单调递增s单调递减单调递减0i01si减小且趋向于零减小且趋向于零s单调递减至单调递减至s稳定性理论稳定性理论设微分方程设微分方程 ，方程右边不显含自变量，方程右边不显含自变量 称之为自治方程。称之为自治方程。 ( )( )x tf xt( )0f x 的实根的实根0,xx显然也是该方程的解，显然也是该方程的解，称为称为方程的平衡点（奇点）方程的平衡点（奇点）如果存在某个邻域，使得该方程的解在邻域内的某如果存在某个邻域，使得该方程的解在邻域内的某个点个点(0)x出发，出发， 满足满足0lim ( ),tx tx则称平衡点则称平衡点 为为0 x稳定点稳定点判定判定0 x是否为稳定点，是否为稳定点，主要利用直接法主要利用直接法若若0()0,fx则则0 x为稳定点为稳定点若若0()0,fx则则0 x非稳定点非稳定点00( )()()x tfxxx0()0( )fxtx tcex112212(,)(,)xf x xxg x x12120(,)0(,)f x xg x x001122,xxxx的两个实根的两个实根称为该微分方程的平衡点称为该微分方程的平衡点001122lim( ),lim( )ttx txx tx 则称该点为稳定点则称该点为稳定点,f g是非线性，这时应用泰勒公式，只保留其线是非线性，这时应用泰勒公式，只保留其线性主部，而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。性主部，而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。 当特征根为负数或者有负实部时，该点为稳定当特征根为负数或者有负实部时，该点为稳定点，否则该点为非稳定点。点，否则该点为非稳定点。