函数图像及其变换解读.docx
函数图像及其变换上海师港育校附属外国语中学李庆兵函数是够个中学数学的重点和难点，中学阶段对南致性质的探环往往是通过探讨函数图像及其变换得到的,所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点.历年高考考试大纲中椰明确要求，学生要“会运用函数图像理蟀和探讨函数的性质”，并口与的几年比较可以发觉，近几年高考对于函数图像方面的考告己经不再同限F对几个常见函数本身的单一的考S.而是结合函数的运算，更为深刻地考杳闲散与南数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系.这就要求我们不仅要娴熟与(一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会敏捷运用.下面笔者就结合近几年的一些高考试题，读一些函数图像及其变换和应用方面的同SS,汾里能引起正在忙于备考的高三老师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。一)平移交换及其应用，函数y=/(-.)+治的图像可以看作是由函数)，=/*)的图像先向左(>0)或向右(XQ<o)平移IXOI个单位,再向上Gb>0)或向下(ya<0)平移IyaI个单位缗到.如：例1、(2008上海理11)方程i+J1.r-I=O的解可视为函数y=x+I的图象与函数y=的图象交点的横坐标。若方程/+ar-4=0的各个实根x1.,.-.aa(4)所X对应的点(.V；.Xz=1.2,.)均在直线Iy=X的同(W.则实数的取值范阚是图象交点的横坐标.这些交点可以荷作是由函数y=/的图象经过上下平移得到，由图(1)4可知，函数>=./与函数)，=二的图象分别交于点P、Q.且点P在面设上方，点Q在直线下方，要使得方程x'+ar-4=O的各个实根x1.x,.-.xt(.vx<4)所时应的点A(-r1.-)(z=1.2.J)均在直线y=X的同侧.只须将函数V=/图像上下平移.将点Q移X，至函数V=3图像与直线y=X交点A(-2.-2)左侧或将点P格至函数=±图像与直线XXy=X交点B(2,2)右恻即可，拘点A与点B坐标分别代入方程,=x'+"解得=6或=Y,从而可得实数”的取慎范困是a>6或“V-6,(一)伸缩更换及其应用；函数)，=af(bx)的图像可以看作是由函数y=/(x)的图像光将横坐标伸K(<)或缩短(闻>D到原来的4-倍,再把纵坐标伸长QI>D或缩短(IaIVI)到原来的Ia1.21倍即可得到.如:例22008上海文ID在平面直角坐标系中,点A,B.C的坐标分别为(0,1.).<4,2).(2,6).效如P(,)，)是AABC围成的区域(含边界)上的点,那么当(y=.q取得股大值时.点P的坐标是.分析：由<=xv变形可得y=,则问题可转化为当函数y=色的图象与aABCIHXX成的区域(含边界)有公共点时求。的最大使的问题.由函数图像伸缩变换的规律可知,0的伯越大，则函数丫=9图软上点的横纵坐标越大,即图像整体越向上移动，由此可以判X定，当。取得最大假时，函数Y=处的图象与AABC的边BC相切或过经点C。F面求点XP的坐标。_q法一：由线段BC与函数的解析式联立方程组可得JV=；?消去,得>=-2x+1.(X2x4).2SSS方程2-1.O+0=O,由判别式=()解得。=二，此时X=巳，从而得点P(E。即222所求点P的坐标是P(25).2法二：线段BC的方程为：2,r+)，=IO(OMX4).11，t+V、)55则0=0=32)，=5(音上)2=G.当且仅当2=,=5即X=5，j=5.所以所求点P的坐标是尸(35)。2(三)对需交换I函数当中，图像关于某点或某条宜线对称的状况较多，除函数的奇偶性、互为反函数的两函数与对称性有关之外，还常常会出现其他,些状况，这就须要我们能朋骂取“以点代践”的数学方法对详细状况进行分析。常见状况有以下几种.1、关于特殊直线的轴对称变换：1.=f()-y=<-):y=f(x)-y=-f(.x)iy=f(x)>x=(y)(两者互为反函数)；2,关于特殊点的对称变换：y=/(x)C>v=-(-a):3、局部对称变换：y=fix)>y=/(IKIN隅函数，y=f(x)>>=IfGOI:注：以上为两个函数图像之间的关系。4、自身对称变换：若函数y=f<x>滴竟f(x)=(2rt-2或f(4-x)=(+x),则函数y=f(X)的图像关于H戏x=a对称,特殊地，当=0时，函数/(x)为例函数。若函数y=f(X)满意/(一刈=-/(©,则函数y=f()的图像关于原点成中心对称.即函数f(x)为奇函数。例3、(2(X)5上海理16)设定义域为R的函数/(x)=I1，g11.|U”,则关于X的方O,N=1程/'(X)+V(X)+C=O有7个不同实数解的充要条件是<)A、力<0且c>QB、匕>0且c<0C、方<0f1.c=0D,0fic=0.(闱三(图四)分析：函数_y=IgIXII1.(XWI)的图像是由函数y=Ig1.x1.的图像先向右平楼一个单位.得到函数y=1.gx-1.(x1.)的图像,再符函数,y=1.g-1.*h1)的图像位于X轴上方部分保持不变，下方的部分关于X轴通过同部对称褥到.又因为/(D=O,所以由(图)可知，南数/()图像与X轴有三个公共点.方程/2*)+/(K)+c=0中，若力Vo且c=0,则由f2(x)+/(x)=0可得/(x)=O或/0)=-，结合函数x)图像易知.方程/(x)=O有三个不同的解，方程/(*)=-j有四个不同的解，即方程/T(X)+力(K)+C=O有7个不同实数解，所以选C,值得一提的是，在高考当中，对函数图像的考森，并不肯定考查某一单一的变换，干j时可能是几种变换同时考杳.如：例4、(2003上海埋16)“幻是定义在区间-c,c上的奇函数,其图像如图(四)，令g(x)=q*)+j,则下列关于函数g(.r)的叙述正确的是()（八）若。<0,则函数K(X)的图像关于原点对称；(B)若=1.,0<b<2,则方程g(x)=O有大于2的实根；(C)若=-2,b=0,则函数N(X)的图像关于y轴对称；(D)若x,b=2,则方程g(x)=O有3个实根,分析：由图(2知八0=0),若b0.W1./?()=8w0,此时g(x)的图像不关于哈点对称,所以A选择支不符合速选.当。=T时,g(x)的图像可IhAX)的图像关于X轴对称，再向下平移下I个单位得到.比Btg=+6=bV0,而g(c)=-(c)+乩,.-(c)=(-c)>2,而b>-2,g(c)>0o所以，方程g(x)=0在(2,c)内必有实根.所以B选择支正确,故选B“当Ia1.V1.且b=2Bh方程g(x>=0至多有一个实根，所以C选择支不符合题意，又当bW-2时，方程g(X)=0的实根少于三个，所以D选择支也不符合题意.四)旋转交换，图像的旋转变换可借助：.用形的全等.找到特殊点经旋转变换后所得点的坐标，进而发觉图像变换的规律.如图五(甲中函数/(x)图像上点P(,z>)烧原点顺时针方向旋转90"后得点P1.可借助AOROgZXOP0得到点Pi的坐标(-氏0).从而可知函数/(*)图像绕原点瞅时针方向旋状90°后即函数y=-T()的图像.同理可得图(乙中的状况.1、,=(x)您愣P,说明；关于统晚点旋转180"的变换少实上就是关F原点对称的同时,例5、(“上海理15)若函数/(x)的图像可由函数y=1.g(x+1.)的图像统坐标原点逆时针版转90"得到，则/*)的解析式是(>(A>10'-1(B)1.-10,(C)I-IOr(D)IOT-1.分析：由前述概念步知，/()=10*-I.即答案选D。，五)困西数的图像，对于一些通过简洁函数加履运霓得到的较为困难的函数图像,我们可以借助登加法作出函数图像.如:例6、(2002上海15)函数八*)=*+5|11匕1*-4.”的大致图像是(>(fi,V)分析：在同坐标系中分别作出函数g(x)=X与(,v)=sinIx|在区间x-11,11上的图像，井进行简洁的叠加，即UJ得到函数/()=x+sin,x-”,内的图像为D选择支所示的图像.对于一些较为困难的契合函数.有时须要综合考虑函数的定义域、依域、注两性、奇偶性、周期性、对称性，技至渐进性作出函数图像,如：的部分图像大致是()例7.(2()04上海市闸北区模拟题)的数f(x)=(图七)分析：由函数解析式的分母(X-D(X+DnO可知.x±1.所以x=±1.是函数y=f(x)图像的两条渐进线；由f()=一f(X)可H½y=(x)为奇函数；当XW(-1,0)时，/(.r)>0.综合上述条件可知，B选择支满意阳意.(六)关于某一物理或化学改更过程的改蝴律或与现实生活相关的函数图像问:期课没提出，要让“人人学有用的数学“，也就是要学以致用。所以与现实生活亲南相关的一些数学何跑在高考试跑中出现也就成为必定.对于这类问题,须要我们细致探讨事物运动改变的过程，进而用图像将这一过程描绘出来即可.如：例8、(2008全国卷I(2)汽车钱过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是<>(用)分析：汽车后动后加速度应是越来越大,即路程改变较快.反映到函数图像上，图像改变率应越来越大，汽车加速后有段匀速行驶的过程，路理应越来越大，且改变率保持不变，反映到函数图像上，图像应早.上升的线段，而后汽车做减逑运动，反映到函数图像上，图像改变率越来越小，但路程接替墙大。所以选A答案。函数图像及其变换耍求了解几种常见函数如反比例函数、一次函数、二次函数、指数由数、对数函数、林函数、对勾函数/(x)=t+2(，力Ao)、双刀函数X(/(x)=r+2(力Yo)等，驾驭它们的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期X性、对称性、渐近性等。在此块础上娴熟驾驭函数图像的几种变换，如平移变换、伸缩变换、对称变换、旋转变换等.这样我们就可以把握函数函数图像改变规律，探讨函数的性质.
