微分几何-陈维桓-第三章讲稿.docx

第三章曲面的第一基本形式27§3.1jEHMAW27一、MM27二、数交换28三、正则曲面29四、正则曲面的例子30*3.2切平面和法线33一、曲面的切空间，切平面和法线33二、连候可Ik面敷的碎面34三、微分分的几何!义35§1.1 第-*三/式35§3.4 曲面上正交ft曲线网的存在性38§3.5 保长对应和保角对应40一、曲面到曲面的连俵可微映射40二、切蝴40三、保四成I等IEM应142四、保角对应，共形对应I44§3.6 可展曲面45第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义,参数曲线网.切平面,单位法向盘,第一基本形式,正交参数网,等距对应和共形对应，可展曲面安排学时：12学时,含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性,等距对应和共形时应§3.1正则参数曲面一、参数曲面从平面R?的个区战飞ion,即连通开集)。到£,中的个连续映射匕。TS=尸(O)U£的1.iS=，(。)称为£中的一个JR曲面(ParameteriZedsurface).在E'中取定正交标架OJ.j.k,建立笛卡尔右手出用坐标系.则参数曲面S可以通过套数(Parameter)(.】，)表示成参效才收X=x(w.v),，y=y(u,v).(m,v)>三R2»(1.1)Z=z(w.1.').或写成向量，效方程r=r(u,v)=A<w.v)/+y(u,v)j+(u,v)H=(.v(h,v).>(m,v).z(h.v).(m,v)J2.(1.2)为了运Ini1.ft积分匚具.本书中要求向量函数汽.V)都是3次以上连展可供的.“曲线：让，=%固定，“改变，向此的终点描出的轨迹.】，.曲线，数曲饯网.n观上，参数冏面S就是将平面中的区域及经过伸缩、川曲等建续殳形后放到欧氏空间£",中的结果.曲©生标XS)C(MVXWD),即Op(u.vj=r(u.v).,殷来说，由(I)给出的连续映射并不能保证曲面上的点p(w,v)与该点的多数(“,V)之间是一一对应的.为了使得曲纹坐标能JX正起到坐标的作用，须要对参数曲面加上正则性条件.定义设5:彳=汽“小)为£'中的参数曲面,假如在(%,%)点，两条多数曲践的切向m,(*¼.v0)=-1(w)')=(1.3)M(心3线性无关,即xq(%,%)；=£x41.”,.如>=K(.v)×(,vo)0.则称(4.%)或/%(%,%)是S的正则点(rcgu1.urpoint).假如S上每点都是正则点，则称S是正则“数曲面.以下总假定S是正则曲面.在正则曲面上句一点4(%.VIJ,由于通过支新选取正女标架oE,JK,不妨设四必：='"斗0.W3儿依据反函裁定理，存在(“0,%)的邻域UUO,使得X=("J),N=NMy)有连续可微的反困数u=f(x,y),V=&(*,)，)，即有(f(,y),g(,>)=X,)<(,>'),g(y)=y-此时有(,%)=(M/,唏)，)、(“，%)的邻域VZUR'和同胚映射GVTa从而有连续映射/=r。bWTr(U)=SIUS.于是S在4(%.%)的劄域S1,内可用参数方程表示为方(x,y)=r(u(x,)，)*,Iy)=(.v,y,z(f(x,y),g(x,y»).(*)或表示为一个二元函数Z="(工,用的图像,其中Z=F(x,y)=z(fx,y),a(x,y).(1-5)上式称为曲面片S.的Mon&e形式或称为St.的显式方程.从(*)式可见/W->S(x,y)I(X,y,z(x,y),g(x,y)是一一对应，从而r=ro'.Uf()=51.,5也是一一对应.这说明正则性条件至少保证了r：DTS同部是一一对应.为了确定起见,以下约定正则曲面S=F(O)与其定义域。之间总是一对应的,从而参数(“J)可以作为曲面上点P(MV)的曲纹坐标.反之，由显式方程Z=Z(X,y)去求的曲面总是正则的：假如r=r(x,y)=r(x.y.(x,y),(1.6)则Z=(1.Oz,),号=(UZ,),从而rx×ft=(-1,-Z,.1.)0.二、弁数变换曲面的定向wricnWion”而于曲面S：>=八“4),规定*x二所指的一侧为S的正侧.由千参数曲面的参数方程中,参数的选择不是唯一的,在进行参数变换(transformationofParameter)时，要求参数变换m=m(m.v).V=v(i7.v)(1.8>满意：“(讥炉).101)是他衿的3次以上连续可微函数；空”到处不为零.(w,v)这样的参数变换称为可允许的(CCmPatibIe)参数变换.当?>0时,称为保持定向(u,v)(preservetheOrieIItaUon)的参数变换.依据更合函数的求导法则，在新的参数下，uv_uvris=ru-+r-,r,r-+r-.CUCUCVCV因此(uvuHv(u,v)k×=7-×.(i-)uCvvCtt)(w,v)上式说明在可允许的金数变换卜'，正则性保持不变；在保持定向的参数变换卜，曲面片的正偶保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在洋细应用总是特别便利，特别广泛的.但是有的曲面不能誉用一张正则多数曲面来表示，例如球面.将与RJ等同，均予一般的度及拓扑，即以R'的标准度年确定的拓扑.定义1.1设S是E'三R'的一个子集，具有相对知扑.假如对随意一点wS,存在P在S中的一个邻域U(U=VCS,其中V是P在£'中的邻域)，和R，中的一个区域£),以及同胚r:。TU:v)V)=(jf(utv),.v(u,V),Z(Utv).使得是£'中一个正则参数曲面兴。),则称S是E-中的张正J1.1.曲面(mfu1.arStiMHCC),荷裕曲面上述的邻域U和同胚F的逆映射>=，I合在一起，将(U.称为该曲面的一个局部分数化(1.o1.P1.1.rHmCICriza1.ion),或坐标卡(c<>urdimMcchnr.注S的拓扑是作为E-的子集从Ey嫉导的和时拓扑，即作为E,的拓扑子登间的拓扑.假如两个局部参数化(U.例)，(U,仍)满意QcU?0,加么正则参数曲面c1.就有两个参数表示匕(,9)和Q(%,甲)由此自然产生7参数变换外。彳：W1.rU2)2(U1.rU2)t(u,v,)(u2,v2).利用正则舂数曲面HCU2的3次以上连续可激性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的.出.观上看，正则曲面S是由些正则参数曲面“粘合”而成的.只有那些与电数的选择无关的址才是曲面本身的几何量.蝮如一个正则的面有一族保持定向的局部参数化(/°,g)IeA(A为指标集>.使得4IaWA构成S的开覆盅,则称该曲面是可定向的(orientab1.e).除非醇殊粕出，本课在一IbtnE对正JH)象面的几何姓及，你之力”局彳微分几何学”.以下所说的-*一微卷戈正JHt画面，包括习慝中出现的-*.29四、正则曲面的例子r(M,v)=(acos11,asin11.v).(MV)WOUR1.(1.15)其中>0.当O=(0.2")R时，硼柱面上少了一条直.线X=a,y=O,z=v.松如取D=(-.)XR.上面的直线在参数曲面匕但是又少了一条直线x=-a,y=O.z=v.明显尸(MV)是随旗阶连续可微的.又fn=(-usinM,Csu.O).=(0,0,1.),×=(«coSM,«sinu,0)0.所以眼柱面是IE则曲面.回柱面也可以用一个坐标卡表示：r(M.v)=Irr._r.nJ/+IR.(m.v)D=R'(0.0).1.4-+v*M-+V-)所以圆柱面是可定向的.例1.2球面(SPhere)5*=(x.y.Z)Ix?+y2+z?=(/,参数方程为巴，)=(“CoSeCoSCOS8$in"“sin0,(0,2)×(-,)R:.(I.I6)其中>0.由于匕=(-cospSinaCoSeCoSe,0),q=(-sin(pcos/一SineSinaCOS¢0,r×r.=(Jcos夕(COSWC0、。,CO$0sin,3n夕)40,所以球面是正则曲面.向思：球面至少须要几个坐标卡才能将它相靛？（参见习四2）例1.3旋转面(revo1.utionM1.rfaCe)设C:X=/(v),Z=g(v)(P(“.)是xz平面上一条曲线，其中f(V)>0.将C统Z轴旋轴得到的旋转面S参数方程为i1.i.u,V)=(/(v)cosa,f(v)sinm,g(v),(M.v)(0.2)×(.Z>)R(1.18)旋转面S上的小曲线称>押纥圈，V曲线称为电线因为=/(p)(-sinw.cosw.0),=(,(v)sM.'(v)sinw.'(v).×=/(v)(5,(v)cosM.g,(v)sinM.-,(v),Iqxq1.=/(v),2(v)+2(v).所以当C是正则曲跷，jfR/(v)>OUbS是正则曲面.例1.4正面（hcricoid）设两条口找乙和&垂直相交,将真战。一方面绕1.作匀速转动，同时沿作匀速滑动，。的运动轨迹叫做正爆面（蟠旋面）,取初始位置的立线。为X轴.4为Z轴，建立右手耳角坐标系.则31正螭面的参数方程为r(u.v)=(ucosV.usinv,f),(»/,v)gR:.(1.19)由r=(cosv.sinv,0).ft=(-wsinv,wcosv,w).×=(wsinv,-<cosv,w)0可知正蝶面是正则曲面.例1.5宜触面ru1.edsurface)简沽来说，U纹面就是由中磐效直线族Ju(a.b)构成的曲面.iaCz=(u)(“(向)是条空间正则曲缥在C上对应于参数“W(。/)的每一点有一条直线4.其方向向设为7(”).这条直线的参数方程可以写成1.11:f(v：m)=4(m)+vZ(z/).让“在区间(,b)内变动,全部这些N线就排成一个曲面S,称为宣政:面.它的参数方程为r=r(w,v)=(M)+v7(w),(u.v)e(11,)R.(1.20)曲线C称为该直纹而的准线MireCtrix),而这个总参数有线族中的每一条直线。都称为宜纹面的一条直母线(Renerutin=1.ine>.也就是直坟而S的V-曲线.为了保证直纹面的正则性，要求×="()+vZ,(z)×Z(m)O-(1.21)因为直母线的方向向fiU(")O.通过参数变换)=,V=Z(M)I,可设T(")t1.再通过选取新的准线C:«(/)=0(”)+以”)7(“)，其中Z(")是恃定的函数，使得直用线到处与准线垂直相交，即于GdjQ)W0.因为a,1.=(,+7+)/=+,.只须取(w)=-d,(w)/(m)u1 .当7()=为常向不：时.全部的直母线相互平行,11StI1.1.1.S称为柱Bff(CyIindriCaISUrface).2 .当全部