五年级奥数下册汇编.docx

五年线奥数卜册：第i讲不规则图形面积的计算（一）第一讲不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：名称图形周长公式面积公式长方形周长=2(a+b)面积=ab正方形周长=仙面枳=a三角形周长二a+b+c面积ft平行四边形zb周长=2G+b)面积=ah梯形*E周长=a+b+c+d面积=2(a+bh嬖形与周长=4a面积=2C-BD硼周长=2r积=玉一扇形B周长=2r+弧长实际何胭中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面枳及周长无法应用公式直接计兑.一般我们称这样的图形为不规则图形.那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决To例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12座米.求阴影部分的面积。更多精品文档解：阴膨部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（4BG'BDE>ZEFG）的面积之和。SABDE=4（10+12）×12=132.SMw=40210）X12=12又因为S=+Sz=12x12+1Ox10=244,所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）.例2如右图，正方形ABcD的边长为6厘米，ZVkBE,AADF与四边形ABCF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.解：因为ZABE'AADF与四边形ABCF的面积彼此相等，所以四边形AKHKJ面积与aABEAADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是:Seie房皿=SaK=SAot=;X6X6=Ia在aABE中，因为AB-6.所以BE=4,同理【24,因此CEYF=2,：田谢面积为2×2÷2=2o所以SZXAEF=S四边形AECF-SaECF-12-2=10（平方厘米）。例3两块等腰直角一:角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。解：在等腰宜.角三角形ABC中ABIOSc=1.×10×10=50.又SAw=*3c=gx50=25,VEF=BF=AB-AF=IO-6=4.巴皿=畀4X4=8.阴影部分面积=SAABG-SZ三R=258=17（平方厘米）。例4如右图，为0）E的DE边上中点，BC=CD,若aABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求4M1.½Z<E的面积.Zx解：取BD中点E连结AE因为ZXAEEABF和ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.所以aACD的面积等于15平方厘米，&!）的面积等于10平方厘米。又由于AKE与AW等底、等高，所以AKE的面积是15平方厘米。例5如卜页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的（求IE方形ABCD的面积解：过E作风的垂线交AI）T几在矩形ABEP卜AE是时角线，所以SZABESZAEF=8在矩形CDFE1.IIDE是对角线，所以SHBSEDK因此，正方形而枳=8X2+8-；X2=36（平方厘米）例6如右图，己知：SABC=1,2AE=ED.BD=WBC求阴影部分的面积解：邈DF°VAB=ED./.SAAEF=SZkDEFzSAABE=SZkBED.2，S阴=SBp=SAB-BD=-BC.b11>=J(1.S“)，'6F='J(1*W×*,SAJefM，阴影部分面中磋OU;例7如下页右上图，正方形AIU的边长是4厘米，0（=3厘米，矩形D1.H；的长DG为5厘米，求它的宽比等于多少厘米？解：连结AG自A作AH垂直于DG于凡在AADG中，AI>4JDC=4（AD上的高）.SAGt=4×4÷2=8,又DG=5,SA=AH×DG÷2.AH=82+5=3.2（厘米），.DE=32（厘米）。例咖右图，梯形ABEi勺面电调15平方米，筋米，AAEDft勺面隰5平方米,BC=IO米，求阴影部分面积.解：.梯形面积=(上底+下底)x高÷2即45=(AD+BC)x6+2,45=(AD+IO)×6÷2,.AD=45x2÷610=5米。一彳X皿.即5=95><高,.A1ADE的高是2米。EBC的高等梯形的高减去AXDE的高，即6-2=4米,Sabb：-t×BC×4-1×10×4-20(平方米).SM22例9如右图，四边形Ara）和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE,口ABCD的面积等于aCDE面积的2倍，而口DEFG的面积也是ACDE面积的2倍。，口BCD的面积与口DEFG的面积相等。笫二讲不规期图形面枳的计算（二）第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为笈杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SAug=S÷S,SAng）合并使用才能解决。例1如右图，在一个JE方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的半。解法2:将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3:将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2如右图，正方形ABa）的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理S11fS-形4c+SADS正方形AoTXAB×2-AB,=-×4j×2-4j4=16Xe-1）16X2.912平方米例3如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面枳，D解：S影=S形邮鹃形CF穗形M=1.×x×6j+1.×r×4a-6×4=7×11（36+16）-244=13兀-24=15（平方厘米）（取=3）例4如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且A1.f20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（11）的面积大7平方厘米，求BC长。分析已知阴影（D比阴影（II）的面积大7平方厘米，就是半网面积比三角形ABC面积大7平方朋米：又知半圆直径320厘米，可以求出圆面积.半帆I面枳我去M”即米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.解IBcW长=314X（y）*2-7×2*20=（157-7）X2+20=15（照米）。例5如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面枳。分析阴影部分的面枳，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（D的面积之差，而图中（I）的面枳等于边长为6的正方形面积减去;的以6为半径的圆的面积。解：S阴6三角形HS正方物rS胸=i×（10+6）×6-（6×6.1.×11×6aj=48-9（取Ji=3）=39（平方厘米）。例6如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°,此时AB到达AC的位置,求阴影部分的面积（取n=3）解：整个阴影部分被线段CD分为I和I1.两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分,设其中AD右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即II=S,由于:I+SKT圆心角扇形ABC面积例7如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=I求阴影部分的面积.解：阴影M的面积+阴影N的面积=ABCD的面积=g阴影W的面枳=（正方形面枳-4X圆面积）蓼!=；X（IX1.qX/XF）三-×*T（取11=3）O24S.阴影部分的总面积=288例8如下页右上图，AK是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，旦AB=BC=IO,求阴影部分面积（11取3.。解：.三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE,则ABCE为正方形（利用对称性质）。'S阴=(S正方形xrS业rSAce÷2=(10×10+11×5j-2-×10×15)-2=(100+39.25-75)÷2R4.25÷2-32.125.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面枳看成是若干个基本规则图形的面积之格.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发由接求出不规则图形面积，如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：×2×4=4四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.田五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面枳.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的部分切割下来补在图形中的另部分使之成为基本规则图形，从而使问即得到都决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割F来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割卜来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是个正方形。八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某轴旋转定角度贴补在另图形的侧,从而组合成个新的基本规则的图形,便于求出面枳.例如，欲求上图便)中阴影部分的面积,可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合