综合法求异面直线所成的角(解析).docx

综合法求异面直线所成的角方海异面直Je所成的角；I.作角构造三角形求解，城好能构成直角三角形注意I界面直线所成的角的低B1.1.如图,正方体ABCo-EFGH中.。为侧面AZwzE的中心.求：（I）BK与CG所成的角：（2）尸。与W）所成的角.白、解（1）如图，.CGV5F,尸（或其补角）为异面支饯8£与CG所成的角,又ABEF勺,ZEfi=450,所以8£与CG所成的角为45。.连樱H,B1.）,K）,"：HDtifiE-A,EAFB,：.HD鼓FB,四边形/FBO为平行四边形.,.HFBD.NHFo（或其补角）为界面直线FO与。所成的角.连接H.AF,易程FH=HA=AF,.AA/为等辿三角形，又依题意航。为A，中点.HFO=301.固户。与8。所成的角是30。.2 .A是4BCf)平面外的一点.E,尸分别是8C.A。的中点，(I)求证：直级EF与8"是异面直线：(2)假设4C1.8D,AC=BD,求EF与8。所成的角.解.(1)证明假设E与8。不是舁面直发,那么£/：'与8。共面，从而。尸与8£共百，即八。与8C共百.所以A.B、C.D在同一平面内,这与5CD平百外的一点相矛盾,故直段EF与BD是异而直统.(2)解取CO的中点G.连接EG、FG,那么£GBC,所以相交直观EF与EG所成的角.即为异面直线EF与BD所成的角.在RIAEGF中，由EGFG=AC,求徉NFEG=45。，即异面直线EF与8。所成的你为45°.3 .三极椎A8C/)中，AB=CD,且直线A8与C。成6俨角.点M、N分别是8C、A。的中点,求直线A8和MN所成的角.解如图，取AC的中点P.连接HW、PN.那么/WZMB.SPM=AB.PN/CD,且/W=；C。，所以NWPN为直竣八8与C。所成的角(或所成角的补角).那么/MPN=Y)O或/AnW=120°.假设MPN=60°,因为PXf/AB.所以NPMN是八8与JWN所成的.旬(或所成翁的补角).XS=CD.所以PM=PM那么APMN是等边三角形,所以P,WV=6(F,即A8与MN所成的角为6俨.假设MAW=I2O-.那么易知是等腰三角形.所以PMN=3(F.BPAB与,所成的角为30°.故直线,A/T和MV所戌的角为6(尸或30。.4 .如图，黑锥的顶点为P，底面的一条H径为A8,C为半IH孤AB的中点，E为劣弧CB的中点.PO=2.QA=I,求三极锥尸-AOC的体积.并求异而百纹/)/")£所成角的大小.【答案】arccos-IO【解析】因为Po=2,OA=,所以三梭锥P-AOC的体积V=JSMexOP=JIXAoXCOO"=!,1.2=1.332323因为OEAC所以异面R戏EA与OE所成的角就是PA与AC的夹角.在A“中，AC=2.AP=CP=A过P作/77J.AC,那么A"=卫，在?AMH/,中.COsPAH=.AP10所以异而直线PA与OE所成用的大小UrCC。二.IO【考点定位】Ia椎的性质,异面直线的夹角.【名师点睛】求异面曲城所成的角常采用“平移线段法，平移的方法一般有三种类鞭：利用图中已有的平行线平格：利用特殊点(线段的流点或中点)作平行线平移：补形平移.计答异面宜城所成的光通常放在三知形中进行.5 .如图，在四校锥P-A8C。中，底面ABCz)是矩形，刚，底面A8C。，E是PC的中点.A8=2,AD=22.¼=2.4:(I)三角形PCD的面积：(2)异面白:找8C与AE所成的角的大小.解(I)因为外，底面A88,所以小_1.CD又A)t),所以CO上平面PAD,从而CD1.P1.).S为PD=22+(22)2=23.CD=2.所以三先形PCD的面枳为;X2X2j=21如图.取08中点F,连接济、AF.那么£FBe从而NA防或其补角)是异面直线SC与A£所成的地.在Aaef中，由ef=1.af=1.AF:=2知Aaef是等假宜角三角形,所以/AEF=45°.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.