等比数列知识点并附例题及解析.docx

等比数列知火点并附例题及解析1、等比数列的定义,乡=q(,w)(之2H.gN),g称为公比a.12、通项公式，c1.t=a1.qn,=-qn=4-n(i<70.4-0),首项：6；公比：q推广：4=%('=?oq="-衽3、等比中项,(1)如果4.)成等比数列，那么A叫做。与方的等差中项，即：A?=ab或A=±必注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(2)数列同是等比数列o凡2=,1y.4、等比数列的前“项和S”公式，(1)当4=1时，Se=Mrt1(2)当时，S”=也出=幺二里""q-q=乌-q"=A-A,'=A1.v-A'(A,8,A',8'为常数)"q1.-5、等比数列的判定方法：(1)用定义：对任意的，都有4“=Wn或也=q(q为常数，40)=11为等比%数列(2)等比中项：Y=%(4MW0)o叫为等比数列(3)通项公式：q=AB"(AB0)q为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：假设詈=q(q0)(“2,且”M)或a-=q'=au为等比数列7、等比数列的性质：(2)对任何).*,在等比数列«,中，有4=%f-(3)假设"r+"=s+(A"),那么"j,q=,q.特别的，当】+=2A时，得j,q=<注：«r«w=«,n-1=5rt.2(4)数列®,也为等比数列，那么数列&，伙q,<,代“以，知味为非零常数)均为等比数列。(5)数列q为等比数列，每隔%伏w)项取出一项SBIMKU,4.2ZagM，)仍为等比数列(6)如果1,是各项均为正数的等比数列，那么数列og"J是等差数列(7)假设6为等比数列，那么数列5.，S2n-Sa,SM-S2.,，成等比数列(8)假设q为等比数列，那么数列qq外，2n,%心成等比数列f1>0,则%为递增数列(9)当g>I时，½1<0.则应J为递减数列q>0,则%为递减数列当0<g<1.时，tq<O,则&为逆增数列当g=1.时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)；当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列伍中，当项数为2俄6，)时，&=?snq二例题解析【例1】Sn是数列(ar)的前n项和，Sn=pn(pR.nN*),那么数列ar1.(A.是等比数列B.当p0时是等比数列B.C.当PWO,pHI时是等比数列D.不是等比数列【例2】等比数列1,X,X2，X2n，2,求XX2'X3×2n【例3】等比数列aj中，(1)已知叼=4,a,=-g,求通项公式：(2)«3“4”5=8,求a2a3a4a5a6的值【例4】求数列的通项公式：(I)(w),ft=2»<i+=3ap4"2(2)(aJ中,aj=2,a2=5,Han+2-3an+2an=0三、考点分析考点一，等比数列定义的应用1、数列q满足/=一；1|（,吐2）,=.那么=.2、在数列”“中，假设=1，%=M+1.（n1）,那么该数列的通项4=考点二：等比中项的应用1、等差数列4的公差为2,假设为，&,（成等比数列，那么的=（）.-4B.YC.-8D.-IO2、假设“、b、C成等比数列，那么函数y=+加+c的图象与X轴交点的个数为（.OB.1C.2D.不确定3、数列q为等比数列，,=2,q+q=等，求4的通项公式.考点三，等比数列及其前n项和的根本运算1、假设公比为二的等比数列的苜项为？，末项为那么这个数列的项数是（）383A.3B.4C.5D.62、等比数列q中，&=3，11,=384,那么该数列的通项01,=3、假设/为等比数列，K24那么公比g=,4、设,”,外，牝成等比数列，其公比为2,那么必±2的值为（2%+%A.-B.iC.-D.I4285、等比数列瓜中，公比q=；且“?+4+aro=30,那么a/H：+aw=.考点四；等比数列及其前nJ三和性质的应用1、在等比数列0,中，如果=6,4=9,那么%为(A.4B.-C.D.2292、如果一I,a,b,c,一9成等比数列，那么().b=3,ac=9B.b=-3,ac=)C.b=3OC=-9D.>=-3ac=-93、在等比数列“中，=1.,q>=3,那么4/七44/44等于.(.81B.21i21C.3D.2434、在等比数列“中，a9+at0=（O）>%+%=£>,那么%+/0等于（5、在等比数列*中，4和%是二次方程.F+依+5=0的两个根，那么火”,缘的值为（.25B.55C.-55D.±556、假设q是等比数列，且4>0,假设%/+24%+4%=25,那么4+勺的值等于考点五:公式巴/5.(=1)IS,-S"“2)的应用1、假设数列的前n项和SEaI+a满足条件10gS=n,那么an是（）.公比为2的等比数列B.公比为;的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和S.=211,那么前n项的平方和为（）.(2n-1.)2B.-(2'-D,C.4n-1.D.-(40-1.)333、设等比数列aj的前n项和为S=3"r,那么r的值为一、等差和等比数列比拟：等差数列等比数列定义3-a”=dS=%递推公式"11="n-+<:«n=om.u-¥mdJV-11h=11-i<7三%=4M通项公式an=a1.+(n-1.)<u=w"1.(tt.<Z0)中项a=*、(MWNFAAAO)G=±J"dEAo)(小&waRaO)前“项和S«=彳(4+0/Hzt-1)S"=呵+,dr1.(<7=1)S小亚1.g1.q22>-q-q重要性质M+/=%,+%(m.r,p.qGN'.n+n=p+q)-4=4q(m.n.p.qwN.m+n=p+q>二、等差敷列的定义与性质定义：Id为常数)，通项：an=ai+(j-1)</等差中项：X,A,)，成等差数列o2A=X+y前项和：邑=驾M=K+券性明：q是等差数列(1)假设+"=p+q,那么an,+n=4+4：(2)数列®1,%J仍为等差数列，SjSin-Sn.S3n-S2n仍为等差数列，公差为"d：（3）假设q,2是等差数列，I1.前项和分别为S,，Tn,那么色=A”,2m.1.（4）q为等差数列OS（I=M（,6为常数，是关于"的常数项为0的二次函数,可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数2的等差数列,有SU=n（ai+a211）=n（a2+2.1）=«（«”为中间两项）sasa=M.y1.=-SJ11.项数为奇数2-1的等差数列上,有527=（2-网（4为中间项）,S1.Sa=（，1.=-V5g-1三、等比数列的定义与性质定义：&=q（4为常数,0）,通项："n=q等比中项：x、G、），成等比数列=>G?=冲，或G=±而前"项和:Mf1.1(7=1)%0T')"q(<71)（要注意q!）1、性质：4是等比数列（1）假设，"+”=p+g,那么（2）S*,S2ii-Sm,SMF仍为等比数列.公比为四、数列求和的常用方法:的前n和是：392781(1.÷2÷3+4+)+(1.+1.+±+1.+.)3927812、错位相减法I凡等差数列同噂比数列对应项例!瞅构成的数列求和时用此方法.例：求：Sn=x+3x2+5x3+(2n-5)xn-2+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn(x1)解：Sn=x+3x2+5x,+(2n-5)x1."2+(2n-3)x04+(2n-1.)x"(xI)xSn=x2+3x,+5x4-+(2n-5)x",+(2n-3)xn+(2n-1.)xn'1(xI)减得：(I-X)S11=X+(2x2+2xj+.+2xn1.+2xn)-(2n-1.)xn,2-(1.-xn,)=x+-(211-1)x11m从而求出力.错位相成法的步焉(D将要求和的杂数列前后各写出一：项，列出式：(2)将式左右两边都乘以公比q,得到式；(3)用-，错位相减：(4)化简计算。3、倒序相加法I前两种方法不行时考虑倒序相加法例I等差数列求和：S.=a1.+a,+a3+.+an.2+a.1+ans=a11+an-1.+a11-2+aj+a2+a1两式相加可得：2S11=(a1+an)÷(a2+an.1)+(a3+an.2)+.+(a,+an.2)+(a2+an.1.)+(a,+an)即：2S,=n(a+an)-11(a,+an)所以弘=-2等比数列例AM惭【例I】Sn是数列怙浦的前n项和，Sn=pn(pR.nN*),那么数列(af1.(1A.是等比数列B.当PKo时是等比数列C.当pK0,p1.时是等比数列D.不是等比数列【例2】等比数列I,xp2t''x2n,2，求xX2'3'2n【例3】等比数列归中，（1）已知22=4,as=-g,求通项公:（2）33°a4,a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例4】a>0b>0Hab.在a,b之间插入n个正数x.x2,.xn>使得a.x.，xrb成等比数列，求ia+b证”MfV丁.1例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b-cp+(c-a)2+(d-b)2=(a-dp.例6求数列的通项公式：(1.)anp1.,.a=2,an+=3an+2(2)ant1.a1=2.112=5.11.an+2-3an+2an=0【例7】若实数即、a2.a3.a,都不为零，且满足（a：+a；就一2a?（a1+a、）a,+a；+a；=（"1.：a、a2,a、成等比数列，且公比为a【例X】假设a、b、C成等叁数列,且a+1.、b、C与a、b、c+2都成等比数列,求b的值.例9等差数列(an)的公差和等比数列%的公比都是d,又知d1.F1.4=b4.aIO3zbIO:求a与d的值:(22坨是不是C"中的项？M1.O1.设an是等差数列，产，已知E+b?+b、=1,求等差数列的通顼.O【例11】三个数成等比数列，假设第：.个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.r例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与笫四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.【例13】三