等差数列知识点解读.docx
等差数列一、学习目标：等基数列的概名、性质及曲n项和求法.1.设数列q的前项和为4.a,=5,<*=S1,+3","wN.设包=5“-3",求数列a的通项公式；Mt依网意,S,“-s“=S.+3",WS=2S,+3fhjtH50,1-3",=2(5n-3").因此，所求通项公式为b“=S11-3n=2n.2 .设数列an是通增等号数列，第三项的和为12,前三项的积为48,那么它的有项为3 .等差数列an的公差4/0，H4.a,.a9成等比数列，那么乌当士生=».«,+a4+aw16【考点横理】1 .在解决等差数列问超时，.a1,a,d,Sn,n中任意三个，可求我余两个.2 .补充的一条性质D项数为奇数2一1的等差数列有：-=-5-m=,i1.,=(211-1.)a11?-12)项数为偶数2的等差数列有：区=2-,5-=t/邑"=小外+“)S隔h4.-q,=4(定义)3 .等差数列的判定I瓜卜为等差数列uJ2“=4+”aa=n+B(关于"的“一次函数”)S=A,r+Bn(缺常数项的“二次函散”)即：anu>Q.-.=d(协常数)o2«n=*.+jt.1.(,2,neV*)O。*=k,+bos=An,+Bn：4 .三个数成等差可设：.&+Mn+2d.或ad,a.&+</：.四个数成等差可设：a34a-d.8+d,a+3<Z5 .等差数列与函数，1)等差数列通项公式与次函数的关系：从函数的角度考者等差数列的通项公式:a,=a1.+(n-1.)d=dna1-d,是关于n的一次式：从图像上看，表示等基数列的各点(n,)均匀排列在一条直战上，由两点确定一条真规的性质，不玳得出，任两项可以确定一个等差数列k=d=幺二",一1d=%二区",由此联想点列(n,a,)所在U戏的斜率.2)点(n,S11)在没有常数项的：次函数5,=pnz>Ii-tn上.其中.公差不为0.6 .等差数列in项和最值的求法(结合二次函数的图H与性质理解)1)假设等差数列4的首项>0,公差<0,解么前“项和S(I有最大值.(i)置设通,那么S1.I最大o（三）假设S"=P，/+w，那么当"取最施近-X-的非缘自然数时S,最大：2P2)假设等号数列4的首项4<0,公差d>0,那么前项和SI有最小假(i)线设通项仆,那么S"最小°八：(ii)假设51,=pn2+W,那么当n取最靠近的非零白然数时S最小。7.等差效到的定义、通项公式、求和公式、性质等等基数列定义忆为等差数列OH,F,=d(常数)nNu>2a=a+a,(n>2»nNJ通项公式1)dr1-a1.*(nI)d-ak(nk)d：an-dna1.d=kn+b2)推广Ja=a.+(nm)d.3)变式：a1=-(n-1.)d,d=%二"，d=幺二&,由此联想点列(n.W-I一，Ha.)所在直线的斜率.求和公式1.)S.=6+d=C“2+(qd)q=Axn2+Bxn2222.+"1.S”6+“，+a,Zd,2)变式：-=-=*+(1.1.)=&+(1.1.)(2nn2勺.2等差中项1)等差中项:假设a、b、。成等差数列，那么ZI称a与c的等差中项,且炉审；a、b、C成等差数列是2F>c的充要条件.2)推广：2qt=1.+.n£要性质1m+n=1.+k=>a+q=q+q(反之不一定成立)；特别地，当mn2p时,有4+a4=2ap:特例：a+ae=aj+a.=<+a<产o2下标成等差数列且公差为B的项%.组成的数列仍为等差数列,公差为瓶Z3$"，$加-33-f成等差数列，4.凡-4<i.,、d=-三1.=-(m11)n-1m-n5增减性d>0oa.为递增数列d=O=a.为常数列d<O=an为递减数列其它性质1a.=a÷(n-m)d.2旧设数列aJ是公差为d的等差数列，那么数列(，、/1为常数)是公差为1"的等差数列；假设()也是公龙为d的等号数列，那么(4i-M(-4.人为常数)也是等差数列且公差为乂小A：d.3a.=an+b,即演是n的一次里南数，系数a为等差数列的公差：S,-anjbn,即S1,是n的不含常数项的二次函数：三、合作操究IJ8型1等差数列的根本运集例1在等差数列(a.)中.(1.)a>=10.H-=90,求Hh:S,=84,Sat=460,求Sa：(3)=10,Ss=5.求二和8.=JQ解：方法一：卜'F+W=a'.a=a1+59d=130.<¼sf卬，w90,方法2d-Qx-也&a.=a.+(n-«)d=>aM=at!+(60-45)d=90+15X=130.t-m45-1533不妨设S,=Ar+Bn.S,=2n2-17n(3)VSH=S；+a.=5+10=15.125A+1.2fi-84nj'A-220'A÷2n-40',-7Sn=2×281-17X28=1092a=a*+2d=16S,=“；%)=41交式调踪1设瓜）为等差数列.求RS为数列4的前”项和,S=7.575,E为数列生的前项和,n又&=细应=竺逊.5=如迎即a,=-5而d=3解I设等差数列加J的公差为d,那么6=/0+；J-I)dV5=7,5u=75.7+21d=7,+=1.：.1,即,解得a,=2,在1.1501+105<=75,+7d=5.力一2,（刀-1）=2.数列票是等差数列,其首项为T,公差吗.1：9T1.=-n/7.44小站与拓展，根本盘的思想：常设首项、公差及首项公比为根本量.借助于消元思想及解方程组思想等.等差数列中.五个元素a.n.d.S中的任意三个便可求出其余两个.四型2等差数列的判定与证明例2数列1满足2&SeN3它的前项和为£,且6=5,6=36.求数列阂的通项公式：解I.2a川=&+届卬.是等差数列，设IaJ的首项为a,公差为d同+2d=5由2=5,S=36f?M,解田1=1,d=2.a,=2z?-1.6a+15=36变式调蛛2"t列中，,2=1,3|=2&+2：设A=券，证明：数列出J是等差数列：证明：由a>t=2a.+2,得h"产手="：=卢+1.=h,+1.又b=a=1.因此b,是首项为1,公差为1的等差数列.小结与拓展：证明数列加J是等基数列的两种根本方法是：D利用定义，证明仪一&.（2）为常数:2）利用等差中项，即证明2所示大5（”2）.M3等差数列的性质例3设等差数列,的首项及公差均是正整数，前“项和为S1.1.,Ri>1,A4>6.512.加么为“=.答案-1020交式*修3.在等至数列五中，1。心瓜+'=3那么等差数列a的前13项的和S>=.答案.52j9：1og>（<i;+）=3i.依+a=2"=8.13×（ft+,）13×（+a,）13×8UC.SU=52.小结与拓展，豺决等差（比）数列的问源时通常考虑两类方法：根本量法,即运用条件转化成关于a和d（的方程：巧妙运用等差（比）数列的性精（如卜标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地,运用数列的性质，可化繁为简.JB型4等差数列的前事和及值忖M例4设等差数列，%）的前“项和为S”a=12,S>0,5,-.<0.(1)求公差d的取俯范困；(2)指出S,&,S,，Sz中哪一个最大,并说明理由.M：(I)&=12,.m=12-2&解得m=12的4a,=12+104由S：>0,5»<O,即效2>0,且1.tf*J.<0.解之得-竺<k-3.27(2)易知V0a>O,故S最大.交式仰练4设等差数列与的前n项和为SI),假设q=-11.4+&=Y那么当SI,取最小位时,11等于（八）A.6B.7C.8D.9【解析】改该数列的公差为4.那么+6=24+8d=2(-1.1.)+8d=-6,解褥4=2.所以S1.1.=-1+气»*2="2-12”=(n-6)2-36,所以当”=6时，邑取最小值.小结与拓I1.等差数列的前W项和为s.,在dyo时，有最K值,如何确定使工取最大值时的“值，有两种方法：一是求使20.册“<0,成立的“值；二是由S。=/+(6-9利用二次函数的性侦求”的值.2 .等差数列SJ中，当GVO,d>0时,数列(&为递增数列，S,有最小便：当向>0,d<0时，数列&b为递减数列,&有最大依：当步0时，为常数列.3 .注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检和同I,(a+d)2.aa-d+=16a211+J=I21.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16.第二个数与第三个书的和是12.求这四个数.解：设这四个数为：a-d,a,a+d,-<h-,那么a裤曲1或4,所以所求的四个数为：-4,4,12,36：或15,9,3,1.a=8U=-62.由正数组成的等比数列qj,假设谛2项之和等于它前2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.f<2=4</=9历届高考中的“等差数列”试题精选(自我检测)一'选择?(每小题5分.”50分?题号I1.2345678910答案I1.1.1.1.1.1.1.1.I-I(2OO7安徵文)等)；做列a.的前n项和为S.W4=h,=3,则S.二(（八）12(B)10(C)8(D)62. <2«08施庆文)已如<6为等，数列“c1.2.则的等J(>(AH(B)S(C)6(D)73. (2006全国【卷文)设S,是等彳数列4的前“均和，if5,=35.W1.u4=CA.8B.7C.6D.51(2008广东文)记等Z数列“_的前n项和为S.若S：=4.S,=20,则该数列的公差d=()A.7B.6C.3D.25.(2003全国、天津文.江士、广东等差数列q,中，已知a=!a2+a,=4,a,=33.则n为()<A>4ft<B)49(C)50<D>516.(2007四川文)等数列SJ中.01H1.q1.gM14,其IWJ1.项和&=I(M),则三()（八）9(B)IO(C)II(D)I27,(20(“福建文)设工足等*数列”,的前n顼和.若=I.则*=()A.1B.-IC.2D.-28. (2(MIO春招北京、安景文.理)已知邮并数列aj涵足+s+,+叫训=0则彳”)A.a+au>0B.aj+ao<0C.a,+tt=OD.a,=519. (2005企国企II理)如:ftq.a,.a,为各项都大于零的等力数列,公差dwO.W
