第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答).docx
第,讲：凸话数与零生不等式一、函数的凹凸性:定义：设连续函数"X)的定义域为S,6),如果对于5,5)内任意两数札X"都有/卢+%八x"(KD那么称/(X)为Gn历上的下凸函数.注：假设把式的不等号反向，加么称这样的/(X)为区间(a,上的上凸函数.(或四函数)下凸函数的几何意义：过yJ(X)曲城上的任意两点作弦,那么弦的中点必在该曲线的上方/()的二阶导数/"(X)0,那么/(X)为下凸函数：/(X)的二阶导数7.")<0,那么/(X)为上凸函数.；T；见的上I,凹J函数，().yE.y=sin.y=cos.y=Insin.r.y=Incos.r常见的(下)凸函数0,+8)上，y=,y=,v=r,>=-二、考生不等式性质：假设/(X)在区间/为下凸函数那么对K"?，XaG/.总有人.士%n</($)+/5)+/*,)n当且仅当M=X2=X”时取到等号黄设f(x)在区间/为上凸函数，那么对内，与，.,4e/.总有人工土工注n"X)+/5)+.gn当且仅当A1=X2=.=Xn时取到等号.三、加权形式：对任意列卬a2.anGR,.a1.+,+aA=1.函数/"(x)是"/>上的凸函数，有内+小产S.)1.(A1)+f1.(A-,)+0J(工)；对任意一列4，a、,anR,«,+«,+.=1,函数f(.r)是句上的凹函数,有附：H1.f(a1.x1.+,x,+auxn)aJ(x,)+a2f(x2)+a,f(xv).f(x)=p-.此时是卜T1.1.函数可得倒数平方和的不等武-4+-1.+-1.7.等号成立条件6=。2=“5 里«；(a,+a2+-+a11y而与此而应的另一个例数和再平方的不等式，足利用网和平均和平方平均的关系，得到的z1112、H2(+)-j一2.等号成立条件"=a2='=«,6 %aI+a2+,+«；常用不等式：例1证明：/(X)=SinN在(K幻上是上凸函数(2) g(x)=1.gx在。+8)上毡上凸函数(3) =IanX在04上是下凸函数证明：(1)对Vx1.X2eO.)(2)XJVx1.,e0.+8)她里立!巫2”(士斗.22当OMXr占5时2sinC+x)x+x,.Sina,aCoS(A+x2)+12I+cosa2即.MA)+力但'卢+.)22例2设AB、C是税角AABe'的三个内角，求证：cosA+cos+cosC-:2例3«hc(R,且。+b+c=3,求证：7&,+1.+W，+1+J&+149.证明：设/(r)=8+1,那么fix为(0,+3c)上的凹函数.由学生：+/S)+/(c)f(-+-)=/(D=3.,./(«)+/(*)+Z(c)9.例4设人氏C是C的三个内角，义是非负常数，求I?c7/ca7/aH7A/rn也Jtan-(an÷2+Jtan-tan+÷Jtan-tany+2的最大化例5用导生不等式证明均ft不等式4,2。即：a.eR.则“+4：+""WWM证：设/(K)=Igx.那么/(X)为上的上凸函数由导生不等式:例6，x>0.(/=1,2./J),"2.x+,q+x1,=1.求证:(1+)"+(1+)s+(1+)"n(N+1.)qiE,/(1+-)"+(I+)"+-+(+)"J(I+一)"(1+)rt(1+)uMWKV-V1X?X例7:X1.>0.(/=1,2.)，n>2,x1.+x,+x1,=1.求证：*,VV-例8设也均大于0,i=1.,2,3,.n.证明；a,b1.(r(£6,)*.(I其中p>,且1.1.1.pq例9(2011,湖北)(I)函数/(x)=InK-*+1.,Xw(O.+co)求函数f(*)的最大值:(I1.)设q也(K=1.,2,.)均为正助证明:(i)假设“4+24+avbnb1.+b2+bn.那么”，S1.(汨假设“+反+>=1,那么1."':bj,b1.'+b,2+以、n-解：(I)/(x)m=(1)=0(II)证明(i)令g(x)=Sx(x>O),那么g'(x)=-y<O,.g(X)在(0,+00)上是凹函数,对于Wsw(0,+8),(k=1.,2,，n),由琴生不等式：(ii)由(i)知，g(x)=11x在(0.+8)上是凹函数,由写生不等式：1°对于Vbke(0,1),FIZd=Ii=1.11*11.rM)=“E4-11.例10(2012.湖北22题(I)函数/()=rx-'+(1.-r)>0),其中r为有理数,M<r<1.,求/(x)的最小值：(II)试用(I)的结果证明如下命题：设q20.%20,%伍为正有理数.祖设4+8=1,那么4%JMaM+”也：(III)请符(II)中的命遨而“到一般形式,并用数学*1纳法证明你所推广的命&.注：当a为正有理数时，有求导公式(x")'=x"1.IWr(I)/()mi11三X0(II)证明：令g(x)=1.moO),那么g(x)在(0,+笺)上为凹函数(iJS已证)10当q,%中至少有一个为0时，那么<j+”也成立：20假设q,%X)时，由琴生不等式；,b1.+h,=I/.InIn<z1.n(,>1.+/优)=>afy+yb,粽上，阻不等式成立,一(III)命题形式：设可20也为正有理数，(k=i,2,若£"=1,您么力公akb1.C-IA-IA-I证明：10当q,火Qn中至少有一个为。时，原不等式显然成立。X当。>o(k=1.2,.)时.由琴生不等式：综上，原不等式成立.例Ii设半径为的半期上依次有+1个点A%.A.线段AAM的长度分别记为qJ=2.,求证；X«；+X<1.a1.,1.a,t2<2(11+11),其中=4,4-=%i-1.例12设aa：A是即的内接边形，且O点在此边形的内部。又设4A“=q.4A“=a；，i=1.2,.儿其中4=A求证；y-Sin-.M«1开
