函数的单调性与最值(讲义).docx
函数的单调性与最值【学问要点】1.函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义一皴地，设函数儿r)的定义域为/：假如对于定义域/内某个区间/J上的闲超两个自变量的值力，X2当X1.K时，都有/(x)V"s).那么就说话数r)在区间。上是增函数当MK时，都有r)>-),那么就说函数凡。在区间。上是减函数图象描述*>自左向右看图象是上ft的×rWIUJU>T<"">自左向右看图敏是下降的(2)单调区间的定义假如函数F=Jrtx)在区间D上是增函效或发函收,那么就说函数.V=凡r)在这一区间具有(严格的I单调性，区间D叫做函数Y=凡”的单调区间.(3)推断函数单调性的方法依据定义；依据图象；利用已知函数的增减性；利用导数；复合函数单调性判定方法.2.函数的最值前提设函数=儿。的定义域为1.假如存在实数M满意条件(I)对于随意C,都有回V;(2)存在C,使得A1.成三W(3)对于随意w/,都有/1.t邑y；(力存在.wW,使得刎三M.结论M为最大值M为最小值求函数最值的方法:若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；利用函数的单调性求最值：先推断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值;是本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法，【复习回刊U一次函数)，=k+b(k0)具有下列性质：(1)当£>0时，函数随X的增大而增大(2)当Jt<0时，函数随K的增大而减小二次函数,v=F+6r+c(<z0.浪有下列性质：当«>0时，函数="F+bx+c圆敏开口向上，对称轴为直线入=一；当.rV时，2a2(y随着X的增大而减小；当>-3时，)随着a的增大而增大；Ia当«<0时,函数V=加+加+cIS敛开口向下，对称轴为直线人=-2;当.r<-2时，2a2ty随着X的增大而增大；当x>-3时，)随着、的增大而减小；Ia提出问题:如图所示为一次函数y=,二次函数V=X?和y=?的图象,它们的图象有什么改变规律，这反映了相应的函数值的由些改变规律。这些函数走拷是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？如何理解图象是上升的？如何用自变的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,假如对于定义城1内某个区间D上的随意两个自变的值XBXJ当X1.VX网.都有f(X)<f(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是塔函奴简称为：步调一样增函数.几何意义：增函数的从左向右看.图象是的。磔义：一般地，设函数RX)的定义域为I,假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值Xi、X2,当XaW时，都有RXAf(X*那么就说函数f(x)在区间D上是减函数尚称为：步调不一样减函数.几何意义：减函数的从左向右而，图敏是的.例如图是定义在区间-5,5上的函数y=ftx),依据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是成函数？解:函数y=f(x)的单调区间是52).2.1).1.3).3，.其中函数y=f(x)在区间-5.2).1.3)上是减函数，在区间-2.1).33上是增函数.点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图敏；其次步：视察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【典例精讲】账型一函数单调性的判定与证明(I)单调性的证明函数单调性的证明的最题本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设司，力是该区间内的网意两个值，且力<x”其次步：作差，即作差/力)一巴卬；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于推断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定凡")一Am)的符号，当符号不确定时，可以进行分类探讨；第五步：定论，即依据单调性的定义作出结论.其中第三步是关键，在变形中一股尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式.利用单调性定义的等价形式证明：设孙4(孙M,XX2t那么<.r2Hx)y(x2>>0ORJ4'>0=Ar)在区间1，"，I上是增函数;*I-*2(X1.4儿”即)以0VO='¥zPVo=At)在区间E,可上是减函数.N-*3复合函数的单调性可简记为同增异减“，即内层函数或X)与外层函数v)的单调性相同时卜=九鼠外)是增函数，单调性相反时F=角?(X)是减函数.(3)推断复合函数单调性的步骤：以复合函数Y=侧x)为例.可按下列步臊操作：将复合函数分解成基本初等函数：.=4),=R(x);分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间;若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y=()为增函数；若为一增一减，剜.V=J1.gCrD为减函数.例I用定义法求证函数/(X)=.?在R为增函数变式I用定义法求证函数f(X)=07订在(0.+)增函数变式2证明：函数/“)=GTT-X在定义域上是减函数例2求函故)=VM+-6的单调区间.题型二图像法求函数的单调区间例3求出下列函数的单调区间：(1) /(.t)=-r-3x；(2) /(x)三x+-.X<3)f(x)=X?-4H+3；(4)fx=x2-4.r+3.变式1用图像法求下列函数的单泄区间/3=等x+2".r)=x2+2x(3)(.v)=-2x-1.变式2求函数y=d+x-3+5的单调区间和值域.题型三抽象函数的单调性例4d)已知函数/（八）是减函数，则f(f+x+1.)与/(%的大小关系是4(2)已知函数"制是减函数，解不等式/(2x-1.)>/(,r+2)(3)已知/(x)是定义在(0,收)上的减函数，若2/+“+1)<&/-4"+|)成立，则a的取值范围是.变式函数ft：N)对随意的a,bwR,都有f(a+b)=f（八）+f(b)1.并且当x>0时，f(x)>1.(I)求证：f(M是R上的增函数；若«4)=5,解不等式f(311r-m-2><3.题型四已知函数的单调性求参数的取值范围r+1.2例5已知函数/()=、在R上是增函数，则”的取值的围是x,x>2变式1若Hx>=+2(Dx+4是区间(一以4)上的减函数,则实数“的取值范围是.变式2(1)画出已知函数JXX)=-X2+2.v+3的图象；(2)证明函数/(X)=-Xj+2x+3在区间(-1上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(8g上是增函数时，求实数m的取值范困.筮型五函数的最值例6如图所示,是函数y=-F-2x、>,=-2+1.xe-1.-ko),y=(x)的图象.视察这三个图象的共同特征.在函数VMX)的国象上任取一点A(My),如图所示，X的楚国是函数的.、的楚国是函数的.图1-3-1-12怎样理解函数图象最高点的?设点C的坐标为(xoyo),用数学符号说明：函数y=f(x)的图象有最高点C?函数最大值的定义？一般地，设函数.闫1.x)的定义域为/,假如存在实效W满意：(1)对于随意的E,都有人r)SW;(2)存在mC/,使得s)=M.那么，称M是函数y=(x)的最大值.函数最大值的定义中fx)<例即/(X)/().这个不等式反映了函数y=/")的函数值具有什么特点？其图双又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？函数,y=-2x+1.,x(-1.,+x)最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数y=-2.v+1.vG(-1,+<»)的最高点？由这个问踵你发觉了什么值得留意的地方？类比函数的JS大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.2例7求函数严在区间22上的最大值和最小值.X-I例8求函数、，=x+3.xg:,3的显值.X2变式函数丫=一二在2,3上的最小值为()x-1A.2B.-C-D.-232【课堂练习】1 .下列函数中，在区间0.2)上为增函数的是()r-,2A.y=-x+1.B.y=C.y=x2-4x+5D.y=-X2 .假如函数f(x)=2+2(a1.)x+2在区间4,4上是减函数，剜实数a的取值范困是()A.-3,+®)B.(-oo.-3C.(-,3JD.3.+r)3 .若一次函数y=f(x)在区间-1.2上的最小值为1,最大值为3,则函数f(x)的解析式为4 .设H,X?为=儿。的定义域内的随意两个变量,有以下几个命题：®Ui-n)1.')0;(X1.X211U)fx"0;其中能推出函数=凡"为增函数的命题为.填序号5 .(1)已知函数AM=F-4r+2在-3,+x)上是增函数，剜”的取值范围是(2)已S1.函数/(x)=X?-4u+2在3,3)上是单调函数，则a的取但的围是6 .用定义法求证函数一在(0,+x)减函数x*+2x【课外作业】1 .函敛y=-/的单调减区间是()A.O,÷oc)B.(8,0C.(-oo,O)D.(-oot+oc)2 .函数凡*)="m*+3,当xC2,+")时，贝x)为增函数，当G(-<o,-2时，函数为减函数，剜”，等于()A.-4B.-8C.8D.无法确定3 .函数儿OR上是增函数，者“+比0,则有()A.fi<)+i>)<-(t)-J(b)B.fia)+,by>-J(<)-f1.b)C.J（八）+fib)<,a)+fi.b)D.fia)+1.)>-«)+f1.-b4,已知/(x)为R上的减函数，则满意g>(D的实数X的取值范围是)A.y,1.)B.(1,+CO)C.(-c,0)U(1.)D.(-OOfO)Ja,+8)5 .若函数/(x)=4F-h-8在序8上是单调函数，则上的取值意围是.6 .已知W是定义在1.1.B上的增函数，且AxT)<U7),求I的取值葩围.7,若AY)=F+br+",且4D=O,/3)=0.求人与C的值；(2)试证明函数NR在区间(2,+上是增函数.(3)若g0且4rHS(1.,+应内单调递减，求“的取假乱困.
