抛物线性质归纳证明和应用.docx
抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质F富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的很多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例.一、焦半径、焦点弦性质如图，四是过抛物线=2px（p>0）焦点F的弦，AD.比是准线的垂线,垂足分别为仄C,4是卬的中点，”是3的中点.设点彳（均，R、氤B（&,，直线相交y轴于点款0,，则:W3一式匹若：/公IABI=x+x÷p=-÷-(S1.n分3c2d>.-<-OC；C，3杆上WYz-C:32snsinNAMB=NDFC=Rt/;/JJA4V是抛物线的切线;AJK为/分别是N%6和/烟的平分线:（6）AM、1.）Fy轴三线共点，BMCF、y轴三线共点:力、0、。三点共线，B、0、。三点共线：(8)若I/：IBFI=m：，点力在第一象限，为直线力4的倾斜角.则COS=F；初十以为直径的圆及y轴相切，以孙,为有径的圆及y轴相切;以46为直径的圆及准线相切.副V交抛物线于点Q则,。是制V的中点.万h=一万；汨=+:=!气ZiZiIABI=X÷Ja÷p=（为四的倾斜角）：.atf=,c8/-,sinZsinS-1.S3-Sid【证明】设过焦点%,0）的,仿的直线方程为x=”+£代入抛物线方程?=2W得/-2pmy-=Q,因此=一d，y+yz=2pm.另由得在RI中，FRA.CD,有RFI2=iDRRC,而IZWI=Iy1|,IRC=y21.P，且y2<0y=-.2又点力、8在抛物线上，有小=>,ZP11,1.父尸；(MK)'P*因此XiX2-o,o122p2p4p4自+cos1+cosI1y'+yz2pm2一1.I2>yyzMy*pp在直线AB方程*=my+g中令A-=O,1【证法一】依据抛物线的定义，I"RF'I=阅2%x2Tp得T代入上式得,I=IAD|=小+£BF=BCIAB=AF+BF=xxp又IAB=(x1-x)'+(jy1)'=1+'Iyi-yiI=y1.+叭I(h+%):-4mm=1+nfy411fp'+4p2=2(1+/)当办=0时，用=I=丁-=，有Ktansinp11c"1+后=1.+-=r*为直线力4的斜率）RF1-cosCOS同理，HF=RF1"I="+MuE2p1.÷cosSirr【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为=T则PRrP_P1-cos.''=2=1.-cos(+：AB=1FI+IBF=-+jz=.1-cos1+cossin=Sia"+S(w=4OFIIy1.+1.OFIIy1I=(Iy1.I+y乙乙乙乙I),弘必=-6，则M、先异号，因此，IM+M1.=y-JI2,Sd««=，y-yiI=%(+%尸4必必=知4而+46=41+:*1乙_A2sin,又CD=肪ISin=-,ID+|BC=AB=.sinsin，S机电Ag=5(AD+HC)CD=2×ifxi1,(1.11111»5111例1(2019年新课程高考文)设坐标原点为0,抛物线=2*及过焦点的直线交于4B两点、,则PT、F()3 3A.7B-7C.3).34 4【解】设Axxt)，(x,%),则7方77=xx2+y2=-p2=-J.故44选B.【例21(2009年福建理)过抛物线产=2ry(p>0)的焦点尸作倾斜角为45的直线交抛物线于力、夕两点，若线段47的长为8,则=.81.【解】由性质得AB-=Fjn5-=8，：,P=-Q-=4.TT+TT三P【证法一】由小M=彳，且I尸I=汨+今1BF=及+£1,1at1+a+p=-=Xi+卷Xi+j（航+断,（距+合汨+即+夕*必+S（*+即）小+夕吊+。_2?+夕乂+汨）+?夕X+p）P【证法二】由IAFI=I=*:>IBFI=t，J-F=1cos1cos（+）P1÷cos",111_11-cos_1.+cos2,*AFBF12PPp【例31（.2000全国）过抛物线y=af（a>0）的焦点6用始终线交抛物线于A0两点，若线段外及用的长分别是"、q，贝'十1等于（）PQ14.2aB.丁C.aD.一2aa【解】由y=a。得f=1.八（抛物线焦点到准线的距离为由此得+=a2aPQ4a,故选C.ZAMB=ZDFC=RtZt先证明：ZAMBRtZ【证法一】延长加交成的延长线于E,如3,则4"I=IEM,IEC=ADIBE=）+1CE=IBC-AD=BF+AF=ABI.月原'为等腰三角形，乂"是力的中点，.,.f±AE.即/用伤=RtN【证法二】取种的中点用连结MV,则I.WV=（AD+!BCi）=（1./1+1BF）=AfiI，/.,WVI乙乙乙=IANI=IBN.月即为直角三角形，仿为斜边，故/4伤=Rt/.【证法三】由己知得C（一M）、（一§,M），由此得W（一多”J号.,<V2超2卷+22._PP_A_Pvv一YiYz-P：.BM1.AE,即NziM=RtN.【证法四】由己知得夕一今上）、乙1（x+2,2），砺曲曲=（£+（弘一切）（一%）4炉+/4+/y'cik及=一1（一5乂），由此得必（一£1.j）.=v>n-7§）（%+§）+1.%+必,-py丁/、p<y）&.=_力一芳=（'一及）=一国础=XIAi+(由+*J+£y-yy-4+2+2p)+44=巨巫SR2222V.M1.F,故/4份=Rt/.【证法五】由下面证得/仁90,连结成，则同/=M又AD=AF,故/侬Z"W,如图4Z1=Z2,同理/3=/4.*.Z2+Z3=×180=90乙Z三=RtZ.接着证明：NM>RtN【证法一】如图5,由于I4?="I故可设/力折N力加"W=,同理，没/BFC=NBCF=NCFR=而N/Z>+4DFR+4BFC+ZOT=1802(+)=180,即+=90,故DFC=9G【证法二】取功的中点M即做一器吗当乙乙由前知九产，I一切一二PKc1.P1.PP71+2+2:.k甜=k*,AM/CF,同理，B/DF团：.NDFC=/AMB=9Q【证法三】=（p.-）»c（P，%）,.,.-ZF7T=p'÷=O：.Fr1.TF,故4DFC=90.【证法四】由于IRFz=-yiy2=DRIRC|,即谭&ZDRF=NFRC=90：.ADRFs丛FRC：./DFR=/RCF,而/%F+/砒=90：.4DFR+4RFg90：.NDFC=9。J1.例4（2009年湖北文）如I图7,过抛物线V=2px册一（QO）的焦点”的直线及抛物线相交于"、，¥两点，K自M“向准线/作垂线，垂足分别为以此求证：AM、是抛物线的切线【证法一】飞产j/W的宜线方程为，一切=彳（*一及抛物线方程了=2川联立消去X得yy'=2i2j)f整理得了-2yy+ji=0可见=(2”-44=0,故直线4V及抛物线"=2Px相切,同理”也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程尸=2内，两边对X求导，（.力，=（2内）一得2yy,=2夕，y1=,故抛物线=2内在点力（川，M）处的切线的斜率为Am=FsI，"=5.乂k巧w，即是抛物线在点力处的切线，同理用/也是抛物线的切线.【证法三】.过点H（M,%）的切线方程为力产=（*+x）,把"（一多'1.代入%K+必先2PX1.Bj左边=M.2=-=2=PX1.e右边=（一§+汨）=一修+,小，左边=右边，可见，过点/1的切线经过点M,即力”是抛物线的切线，同理ZW也是抛物线的切线.AM、川分别是N姐和N63M的平分线【证法一】延长小/交比的延长线于£,如图9,则/!侬比也有月。8C',AB=BE,.,.NDSf=ZAEB=ZBAM,即/W平分N以昆同理胡/平分NC物.【证法二】由图9可知只须证明直线,，历的倾斜角是直线,W的倾斜角的2倍即可,即=2.且以一人然当）乙乙_,匕-M1一乂2-.tan-Kw一="-Z2；×z-×y_Xh必+必22ptantan凶+%y）2-f一八y-M夕（二一%）PMKP*戏一25+J""y1.+p'%'2tan1tan2pr>2pm2py、2_（_£）2炉一/戈+力先凶+%=tan=2,即月W平分同理4V平分NC物.AM、DF.y轴三线共点，,CF.尸轴三线共点【证法一】如图10,设/加及加'相交于点G,由以上证明知IAD=AF,/用平分故月G也是加'边上的中线,.G是尸的中点.设力及卜轴交于点见以及y轴相交于点G，易知，！=|OF,DI/OF,WIXDDG会XFOGz：.DGi=FGJ,则G也是班的中点.G及&重合（设为点G）,则/原DF、y轴三共点,线同理"从CF、y轴也三线共点.【证法J4"的有线方程为尸一切=令>=0得fj/及y轴交于点G1.(0,全，又加的直线方程为尸一久(万
