抛物线与圆的综合.docx
拔高专题抛物线与圆的综合一、根本模型构建杷索圆与轴物线以及与坐标系相交，依据施物线的解析式可求交点坐标，依据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形态也不同一再依据三角形的形态，再解决其它问题,二、及W精Ih结练探究点一：抛物战、圆和直线相切的问题例1:（2021.崇左）如图，在平面直向坐标系中，点M的坐标是5,4，OM与y轴相切于点C,与X轴相交于A,8两点.（D那么点A,B1C的坐标分别是A2,0）,B¢8,O）,C（0,4）；2）设经过A.B两点的抛物战解析式为y=-（-52+k.它的顶点为E1求证：五线EA4与GM相切；3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在X轴的上方，使aPBC是等膑三角形？假如存在，魁求出点P的坐标；假如不存在,请说明理由.(I)I?:连接此、MA,如图1所示：YOM与y轴相切于点C,.MC1.y轴，:M5,4),MC=MA=5,OCAgI,C(0,4),VNOXAB,ADA=DB1NMDA=90°,AAD=>52-42=3,.,.BD=3,/.0A=5-3=210B=5+3=8,'A(2,0),B(8,0)；Ia2证明：把点A1.：2,0代入枪物线y=-(x-5)k,得：k=-,E(5,-J144499，59205”5"5ADE-,.MEIDDe=4÷-=-,EAj=35<-）5=,.MA34tA5j+-=.ME;=.444416161616.MAj*EAj=*IEi,.ZMAE=90",即EA1.MA,.,.EA与。M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5,4）,或5,JTT）,或5,4÷55）;理由如下：由勾股定理得：BC-yOCOBz42+82=45,分三种状况：当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M亚合，P5,4）；当BP=BC=44时，如图2所示：.PD=>BP-BD2=80-327?.P5,T）；当PC二BCM有时，连接MC,如囱3所示：那么NPi1.C>O',依据勾股定理得：Pi=PC-MC2=8O-5j55,PO=4+55,.P5,4÷55）；综上所述：存在点P,且点P在X轴的上方，使APBC是等腰三角形，点P的坐标为5,4）,或5,7?J1或4,55）.%林变式讥恁】2021柳州）如图，抛物税y=-1.xJ7x*6的顶点坐标为M,与X轴相交2于A,B两点1点B在点A的右的），与y轴相交于点C.1）用配方法将她物我的解析式化为顶点式：y=a（x-h）,+k（a0）,并指出顶点M的坐标；2）在抛物线的对称轴上找点R,使得CR+AR的值地小，并求出具最小值和点R的坐标；3以AB为亘径作C）N交他物线于点P（点P在对称轴的左恻），求证：直线MP是。N的切饯.)'+?,.抛物线的解析式化I7577为顶点式为：y=-±(-+-,顶点M的坐标是一，)22828解Vx56）,.当y=。时，4-7x6）=0,解得曰或6,.A1,0),B(6,0，.=O时,y=-3tAC(0,7).连接BC,那么BC与对称轴=1的交点为2R1连接AR,那么CR+AR=CR+BR=BC,依据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BO62+32=35.设直线BC的解析式为y=kx+b,YB(6,0,Cf0,-3),4“二",b=-3k=-I7I75解傅（2,直线BC的解析式为：y=zx-3,令x=7,得y=：X；T-3=-；,卡点坐92,）04b=-3-/-4标为'）；3）证明：设点P坐标为x,-X1+-x-3）.VA（I,O）,B（6,0）,.,.N-,0,222以AB为亘径的ON的半径为!AB，、NP=BHX：+二X二-3）三尸，2222222化简整理得，x-14x,+65x-112x*0=0.（x-1）（-2H-5）-6）=0.解得x,=1（与A重合，舍去），Xk2,x>=5（在对称他的右侧.舍去），x,=61与B圭合，舍去），点P坐标为,、,725、,7、.z7s.,25、225.,7、（2,2）.M（-,N-.0）,.,PM,（2-）（2-）PN=（2-282281>42a254002'=,464256)SMN:=()1=,.W*PNj=MN.MPN=90c,:点、P在ON±,，直线MP是N的864【老师总结】此题是二次函数综合题目，考察了坐标与图形性质,垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切饯的判定、等腰三角形的性质等学问；媒合性强.探究点二I和三角彩的量值向M例2:（2021茂名）如图，在平面直角坐标系中，OA与X轴相交于C-2,O）tD（-8,0两点，与y轴相切于点B0,4）.（1）求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式；2）设抛物线的顶点为E,证明：直线CE与G）A相切；13）在X轴下方的他物线上，是否存在一点F,使ABOF面积最大，H大值是多少？并求出解：1设施物线的解析式为：y=ax'*bx+c,把B0,4),C-2,O),D(-8,0代入将:4=c<()=4a-2b+c,0=64«-8h+ca=一解得IQJ.经过B,C,。三点的抛物饯的函数表达式为：y=,+x4;242c=4I5199(2)y=1.,÷-+4=-!-(+5),-tE(-5,-设叁线Ce的函数解析式为y=x*n,42444直线CE与y轴交于点G,那么O=-2m+n9N,解得:=-5m+Ii_3m4.33.333'y=ZX二'在尸n=-233CG=OC2+OG-=22+(1)2=|.中，令x=0.y=-,AG0,-),2235如图1,连接AB,AC.AG1那么BGiOBr)G-4-二一，22BGCG,AB=AC,AB=AC在AABG与4ACG中，IBG=CG1,ZiABGgZiACG,，/ACG=ABG,GA与y轴相切于AG=AG点B0,4，.NABG=90',.NACG=NABG=90°.点C在。A上，J.直线CE与。A相切；3)存在点F,使ABDF面积最大，如图2连接BO,BF,DF,设F(t,*-V4),过F作FNy轴交BD于点N,设直线BD的解析式为y=kx*d,那么,d=4宜妓BD的解析式为y='x+4,2点N的坐标为t,it+4,.,FN=-1+4-(117+-1+4)=-11-2t,.,.S.=S/.+S,-.Rr=-224242FN-gX8X=-8t=-(t+4)'+16,.当t=-4时，S.g最大，最大值是16.24当t=-4时，1?»-t÷4=-2,.,.FC4,-2).421变式说恁】如图，抛物线y=ax'÷bx+c(a>0,c<0)交X轴于点A,B,交y轴于点C,设过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点为D.点A,B,C的坐标分别为-2,0),(8,0),0,-4).(I)求此抛物线的表达式与点D的坐标；12)假设点M为她物线上的一动点，且位于第四彖限，求aBDM面积的餐大值.4(i-2b+c=0Ma+8>+(5=0,c=-4解：C).她物线y=ax'+bx÷c过点A-2,O),B(8,0),C(0,-4),二0=1.解得Tc=-4抛物线的解析式为：y=1.'-3-4;.0A=2,0B=8,004,AB=10.如答图1,连接AC、42BC,由勾股定理得：AC=而，BC=80.AC,*6(=AB,=100,ACB=90',AB为圆的直径.由奉径定理可如，点C,D关于克径AB对称，.D0,4)；12解法一：设宜tBD的需析式为y=kx+b,TB8,O),D(0,4),/J1,解b=4k=I13得<2,宜奴BD解析式为：y=-2x+4.设M(x,-x-x-4),如答图27,过点一242M作MEy轴，交BO于点，那么Hx,-1x4).1.iE<-,x+4><-4)=-x'*8.22424S=Se：+SMt=ME(n)+ME(x-xc)=ME(X1.x*=4iE,.,.S-=4C-x,+x*8)2224=-xf+4x÷32=-(x-2+36.当x=2时，ABDM的面积有最大值为36；解法二：如答图2-2,过M作MN1.y轴于点N.设肌m,1m-m-4),；Sve=-0BOO=-=16,4222Sm>mr"MN+0)ON=(m+-8)(-(-m,_nt-4三-m(m,-1-4)-4(m'_m-4j,224224242SCiie='MNDN=-m4-(m-m4)=2m-m1-m-m-4),S,>w=S.-(tt4Sa.®MrSA2242242三S2-2【老师总结此筮考察了特定系侬法求解析式,在解答此类问题时要曲意构造出t办助线，利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.
