导数专题(三)零点问题教师版.docx

导数专题(三)一零点问题(2021昌平二模理)(18)(本小题总分值13分)(零点问题)函数/(x)=-1.nx(a>0).(I)假设=2,求/(x)在(Ij(D)处的切线方程:(II)求/")在区间Ee上的最小值：(III)假设“X)在区间(1.e)上恰有两个零点，求。的取值范围.(18)(本小题总分值13分)I2解：(I：=2,fx=-X2-2Inx.fx)-x,2Xf(X)在(IJa)处的切线方程为2x+2y-3=。3分(II)由(x)=x-g=i.XX由>0及定义域为(0.+),令/,(*)=0,得X=<7.假设WMI,即0<M1.在(1.e)上，f,(x)>O,/(»在】,e上单调递增,因此J*)在区间1©的最小值为"1)=；.假设1.<<7<e.W11<”e在(1*&)上，f'(x)<0,x)单调递减：在(i7.e)上，,()>0./（八）单调递增,因此/(x)在区间1.,e上的最小值为/(JZ)=(I-In«).假设“2e.即在(1.,e)上，/,(.r)<0./(x)在1.,e上单调递减，因此/(X)在区间1,e)上的最小值为f(e)=；/-a.综上，当0<a1.时，Xnn(X)=:：当1.<“<e'时,Xnm(X)=；a(1.-In”)：当T时，=9分(In)由(II)可知当0<aM1.或时,/(X)在(1.e)上是单调递增或递减函数，不行能存在两个零点.当1.<<e?时，要使f(x)在区间(1.C)上恰有两个零点,那么-(1.-1.ng)<O.2>e.J()=1>O,即I,此时，e<a<-e2.2«<-e-21 2/(e)=-e:-«>0,所以，”的取值范用为(e,1e2)13分2(2021西城期末理)18.(本小题总分值13分)(零点问题)函数八)=(x+a)e',女中e是自然对数的底数，GR.(I)求函数/(X)的单调区间：(II)当<1.时,试确定函数g(x)=f(x-的零点个数，并说明理由.18.(本小题总分值13分)(I)解：因为f(x)=(x+)e',6R.所以r(x)=(x+2分令r(x)=0，得X=-T3分当X改变时，/(x)和/'(X)的改变状况如下:/5分故“刈的单调减区间为(F单调增区间为(-4-1,+8).6分UI)解:结论：函数以外有且仅有一个零点.7分理由如下：由g(x)=/(X-f1.)-X2=0，得方程XCZ=X2-明显X=O为此方程的一个实数解.所以X=O是函数g(x)的个零点.9分当XHO时,方程可化简为小“=x.设函数"()=e"-x,那么/(x)=e令F,(,)=O.得=.当X改变时，F(x)和尸'(公的改变状况如下:Z即F(X)的单调增区间为(,+8)：单调减区间为(fO).所以F(X)的最小值F(X)inn=F（八）=-a.11分因为<1.,所以.(*)ta=尸()=1.-o>0,所以对于随意xgR,F(x)>O,因此方程C1.=X无实数解.所以当XHO时，函数g(x)不存在零点.综上,函数g(x)有且仅有一个零点.13分(2021上学期期末丰台理)18.(本小题共13分)(图像交点、问题转化)函数f(.t)=x+e*-1.(I)求函数/(x)的微小值:(II)假如直线V=MT与函数/(X)的图彖无交点，求A的取值范用.18.解：(I)函数的定义域为R,因为/()=.r+e,-1.所以/Ir)=9.令r(x)=o,那么=o.O-O微小值/所以当X=O时函数有微小值/(X).小田寸(O)=0.6分(I1.)函数f(.r)=x-1.+!.当X=O时/(x)=O-1.+!=O,y=k-O-=-,所以要使F=履-1与f(x)无交点，等价丁/(幻>心T恒成立.(x)=-I+-(fcr-1.),EJg(x)=(1.-)x+',所以.当A=I时，ger)=>。，满意>=K-1.与/(X)无交点：e当R>1.时，j?()=(1.-)-+e=e-,k-A:-11J-而一<O,/“<1,I-K所以g(J)<0,此时不满意V=J1.r-I"幻无交点K-I当&<1时，令g，(X)J£”=0,那么X=-In(I-幻，当XC(Yo.-InS-*)时，g'(x)<O,g(x)在(To.-In(I-A)上单调递减:当XW(Tn("&),+»)时，g'(x)>O,g(x)在(一In(IY),+上单调递增:当X=-Inad)时，g(x)mn=g(-1.n(1.-1)=(I-)(1-In(I-Xr).由(I-A)(I-In(I-幻)>0得1.-e<4<1.，即)、=心_|与/(X)无交点.综上所述当&(I-e,1.时，y=履-1与/(*)无交点.13分(2021东城上学期期末理)(19)(本小题共14分)(零点，问题转化)函数八x)=f-(x-1.n.r).(I)当“=】时,试求/")在。J(I)处的切线方程：(II)当M0时，试求八r)的单调区间：(I1.I)假设“X)在(M)内有极值,试求的取值范围.解：(I)当=1.时，/(x)=-1.+-,(1.)=0,/(1.)=e-1.X方程为y=e-1.4分(II)()=-«(1-1)=-)-r(,v-1.)jXXx-(e,-v)(-1.)一;.r*当“O时，对于Vx(0.÷x),e'-ax>O恒成立，所以/Gr)>O?x>|；/()<()70<<I0.所以单调增区间为,+>),单调域区间为(0.1).8分(I1.1.)假设/(x)在91)内有极值，那么/(K)在X£(0.1)内有解.令人X)="二坐口=0?e，”=0?a=£.ArX设g(x)=JXG(0.1),X所以g(X)=EcV二D.当XW(0,1)时，K(X)<0恒成立，X所以g()单调递减.又因为g(1.)=c,又当XTO时，用(K)T+»,即g(x)在*(0,1.)上的值域为(e,+),所以当>c时，r*)=宜二丝竺=O有解.x设H(x)=e,-r,那么/,(x)=ex-<0xe(0.1),所以(外在XW(O,I)单调递减.因为(O)=I>0,W(1.)=e-<O,所以=e'-在XW(OJ)有唯一解.v0.所以有：00微小值所以当>e时,/*)在(0,1)内有极值且唯当e时，当X(0.1)时，f(x)O恒成立，/(x)单调递增，不成立.综上，。的取值范困为(c,÷).14分(2021海淀一模理)(18)(本小JS总分值13分)(问题转化、零点)函数/(x)=n.v+-(O).X(I)求函数/(x)的单调区间:(II)假设x(x)0=bd(其中)<c),求“的取值范困，并说明g.ck(Oj).(18)(共13分)解：(I;/,(.v)=；="*J(x>0)2分XxX(i)当<0时，,(x)<0,那么函数八X)的单调递减区间是(0+).3分（三）当“>0时,令r(X)=0,得X=a当X改变时，/'(X),/(X)的改变状况如卜表、微小伯/所以的单调递减区间是(0)，单调递增区间是(1.+8)5分aa（三）由(I)知：当<0时，函数/*)在区间(O+)内是减函数，所以，函数八)至多存在个零点，不符合题意.6分当a>O时，因为/(X)在(0,3内是减函数，在d,÷)内是增函数，所以要使aaxf(x)0=.cb必需/(一)<0.1.1.a1.n-+<O.所以”>e.7分当>c时，/(-)=n(-r)+«?=-2a11a+a'=aa-2na).a'a2T_2令g(x)=x-21nM*Ne),那么g'(x)=1.-=二(x2e).XX当x>e时,f>'(.r)>O,所以，g(x)在e+)上是增函数.所以当>c时，g（八）=a-2na>(e)=e-2>0.所以(!)>0.9分(因为4<1.<,/(1.)<0,/(1)=1>0,aa所以x)在(2.1.内存在一个零点，不妨记为力，在d.i)内存在一个零点，不妨记为(aae.11分因为/co在(0,3内是减函数，在(',”)内是增函数，aa所以M()o=g,c).综上所述，”的取值范围是(e+s)12分因为G(4，)，CG(,1)»a'aa所以ECU(O,D.13分(2021海淀上学期期末)(19)(本小题总分值13分)(零点、三角函数)函数/(X)=“cosx+xsinx,(I)推断函数八处的奇偶性，并证明你的结论：(II)求集合A=x(x)=0中元素的个数：(III)当1.v<2时，问函数X)有多少个极值点?(只需写出结论)(19)(共13分)解：(I)函数/(x)是偶函数,证明如下:1分对于Mrw-，那么-XW-',¥.2分2222因为/(-V)=acos(-)-.rsin(-x)="cosx+xsinx=f(.r),所以幻是偶函数.4分(II)当a>0时，因为/(工)=。8§片+.访>0,.rw-工I恒成立,22所以集合A=.rI/Cr)=0中元素的个数为0.5分当=0时，令/(x)=xsinx=0,由xe-U.E,22得X=0.所以集合A=x/(X)=0中元素的个数为1.6分当<0时，/'(x)=-asin+sin+cos.v=(1-a)sinx+NCOS.v>0,g(O.T)，所以函数/(x)是0,5上的增函数.8分因为/(0)="OJg=I>0,所以/(x)在(0,今上只有一个零点.由/()是偶函数可知,集合八=XI/(x)=0中元素的个数为2.K)分综上所述，当>0时，集合A=x"(X)=0中元素的个数为0；当=0时，集合A=k(x)=0中元素的个数为1：当。<0时,集合A=IX1./(x)=0中元素的个数为2.(III)函数/(x)有3个极值点.13分