代数方程知识点及经典习题.docx
代数方程学问点一.一元二次方程1、一元二次方程的一般形式ax'+bx+c=O（a0）】2、一元二次方程的判定方法（1）依据定义判定,即是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2（2）依据一般形式判定，即将整式方程进行去分母、公括号、移项、合并同类项等变形后，假如能化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=O（aw。），那么它就是一元二次方程。二.因式分解1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘枳（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。2、一元二次方程解法的选择依次：先考虑能否用干脆开平方法和因式分解法，不能用这两种特别方法时，再用公式法。三.一元二次方程的根的判别式1. 一元二次方程的根的判别式的概念2. 元二次方程的根的状况与判别式的关系判别式定理和逆定理A>0o方程有两个不相等的实数根=0=方程有两个相等的实数根<0。方程没有实数根>0。方程有两个实数根3. 一元二次方程根的判别式的应用1）不解方程，判定方程根的状况2）依据方程根的状况，确定方程系数中字母的取值范围。3）应用判别式证明方程根的状况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。四.根与系数的关系1一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理.）假如方程a2+bx+c=0（a0）的两个实数根是x、x?,那么x+x?=,2韦达定理的逆定理假如实数X,Xf满意X|+x1=,X1.Xj=,那么X,Xa是一元二次方程ax'bx+c=O的两个根.3韦达定理的两个重要推论推论1：假如方程x'+px+q=O的两个根是x,x,>那么X1.+X3=,XXj=,推论2：以两个数x,x：为根的一元二次方程（二次项系数为1）是4根与系数的关系的应用（1）验根（2）由已知方程的一个根，求另一个根与未知系数.<3）不解方程，求关于马，X?的对称式的值.如：x1.2÷xj,x1.2x,+x1.xj,-÷-.Ix,-2vx(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程.<5)已知两数的和与积，求这两个数(6)己知方程两个根满意某种关系，确定方程中字母的取值范围<7)证明方程系数之间的特别关系(8)解决其它问题，如探讨根的范围，判定三角形的形态等.(9)根的符号的探讨五.二次三项式的因式分解(用公式法)1 .二次三项式的因式分解公式ax'bx+c=2 .因式分解的一般步骤：(1)用求根公式求出二次三项式a2+bx+c对应的方程ax'+bx+c=O的两个实数根x,x,：(2)将a、x1.,的值代入二次三项式的因式分解公式，写出分解式。3 .如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解：即当0时，能在实数范围内分解因式；当A<0时，不能在实数范围内分解因式4 .解分式方程的基本方法t去分母法：换元法；列分式方程解应用题六.二元二次方程组的解法解二元二次方程组的恭本思想、方法。思想是“转化”即二元转化为一元，将二次转化为一次。方法是先降次，再消元。山个二元次方程和个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法：代入消元法：逆用韦达定理。同步练习一、一元二次方程1 .关于X的方程(a5)/-4万-1=0有实数根，则a满意OA.a21B.a>1.且aW5C.且D.a52 .假如关于X的元二次方程f+pm丁0的两根分别为航=2,E=I,那么p.«的值分别是（八）-3,2(B)3,-2(C)2,-3(D)2,33 .3知西是方程碑-2*-1=0的两根,且(7,-14,"+“X3-6"-7)=8,则”的值等于()A.-5B.5C.-9D.94 .己知方程丁+加+=O有一个根是5“工0),则卜列代数式的值恒为常数的是OA.bB.-C.+bD.a-bb5 .关于X的一元：次方程YmV+21.1.=O的两个实数根分别是Xr.0,旦M+E=7,则(XI-Xj的值是OA.1B.12C.13D.25二、填空题1 .已知汨、尼为方程y'+3x+1=0的两实根，则+8,÷20=2 .设川、尼是一元二次方程"4x3=0的两个根,2x(x'+5x2-3)+a=2,则a=.3 .已知X=1是一元二次方程/+皿+”=。的一个根，则"J+2,""+,r的值为.4 .设芭,XJ是一元二次方程二-3x-2=O的两个实数根，则*+3.丫丙+电2的值为5 .若实数用满意/加初+1=0,则/+m'=.6 .已知一元二次方程丁-(J+1.)x+J-1.=O的两根为.、与，则二、因式分解1.2. 3.I(u1,)x-x+bA2.t-6/.r2+x-66 ,7÷(x+3)4-4x+x23-x7 .若关于X的方程有增根,求增根和k的值.&已知-1=3.求上+3皿-2的值ab-1.ab-h9 .若o<,且的值10 .化简代数式P*J=:一等一将m,n值代入求值V11-Wm+njm+ny(m-n)三、解答题1 .已知关于X的一元二次方程如、次+1=(NaXO)有两个相等的实数根,求的值。2 .已知关于X的元二次方程/+(2”-I)X+M=O有两个实数根X和.（I）求实数，”的取值范围:（2）当q-E=O时，求m的值.3题甲：若关于X的一元二次方程-2（2T）x+y+12=0有实数根a、.（1）求实数A的取值范围；（2）设，求，的最小值.4 .已知关于X的一元二次方程V=2（1一加X序的两实数根为汨，尼.（1）求m的取值范围；（2）设y=汨+如当y取得最小值时，求相应国的值，并求出最小值.5 .关于X的元二次方程Yt+/,-1=0有两实数根阳、x2.（1）求P的取值范围；（4分）（2）若2+（I-X1.）J2+/（1一3）=9,求0的值（6分）6 .已知关于*的方程/-2（k-3）x+Jt2-4Jt-1.=0.（1）若这个方程有实数根，求的的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1,求A的值：（3）若以方程.-2（人-3）+K-软-I=O的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象匕求满意条件的R的最小值.7 .在等腰4ABC中，三边分别为、，八c,其中a=5,若关于X的方程/+("2).计6-/,=0有两个相等的实数根，求AABC的周氏.三、二元二次方程组1 .解方程组2 .解方程组3.已知方程组仃两个不相等的实数解.求a的取值范围。4方程组的两组解是，不解方程组，求四用+%回的值。5,解方程组卜"3)X2+.ty+yi=436 .解方程组7 .解方程组仁6(08 .解方程组
