傅里叶变换性质证明.docx
2.6傅里叶交换的性质线性若信号U1.和Mt1.的傅里叶变换分别为FjM和FJo),FIMt)1.-F.(>).FIfJtH-FJff1.I则对于随意的常数a和b,有FIafJthfJt)1.-aFJd)+bFJf1.>)将其推广，若F1.Ht)I也i-1.2,3.n,则尸WMa)=&£3)其中&为常数，n为正整数。由傅里叶变换的定义式很简洁证明线性性质.明显傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：匀称性和叠加性。匀称性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即F(t)-aF(/)叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和尸/«)/,F(f小伉反褶与共辑性设f(t)的傅里叶变换为尸【""口("，尸”下面我们来探讨信号反褶、共舸以与既反褶又共挽后，新信号的傅里叶变换。(1)反褶f(r)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为巴F卜二F，五成jf(r)=匚，(仪"办-A/(x>'-,-Fo(2)共)11(0-匚八33成=Jn/c1.r凄=白母叫(町=匚/(犷，一可-FS国为南是实数，所以mt)-dc将共新提到枳分之外根相傅里叶变换的定义(3)既反褶乂共辄Ir(Y)J=匚)(Ar空(Z(X)CRq=尸)本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则c(<)三f(MJ.h(U=tU).叫F洞=Rm),FM=Fia=F在上面三条性质的证明中，并没有特殊指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满意下面三条性质H(-OJ-F(-)11'(-rS-F'()M0OF()奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。在一般状况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即F()三(»Q'=)+>()(2-33)显然)-t*()+X,(<u)依据定义，上式还nJ以写成F(O)-Ctfa)4城-JAba)Sa四曲(2-34)下面依据f(t)的虚实性来探讨FO的虚实性。(1)f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得(w)-R(V)cos)M.X(G)“二(/v)$inOzW(1.Df(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t)XU)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X(o)=0,于是F(a>)-2/(1.)cosatd可见，若f(t)是实偶函数，则Fo也是实偶函数，即F(-Q)-F(G)-F,(1.左边反褶，右边共轨(1.2)f(1.)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)RS)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R(<3)=0,于是尸®)-2J"OSin(HW可见，若f(t)是实奇函数，则FG)是虚奇函数，即左边反褶,尸()=A<=*/()cos<w-P/（三）Sincwdi右边共枕有了上面这两条性质，卜面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清晰，或者说是没有必要关切信号的奇偶特性)的FT频谱特点。对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知F()=Ff(t)1.则有Ff(t)=2Jif(-)证明：因为于是<-t)AAR将变量t与互换，再将2乘过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以FF(t)=2f(-)若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t),则有FF(t)=2f()从上式可以看出，当f(I)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立一一即全t)的频谱是FQ),全t)的频谱为fQ).若f(t)为奇信号,即f(t)=-f(-t),则有FF(t)=-2f()利用FT的对称性，我们可以很便利地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。事_一一一注2ItHEO什耐E.利用号SS果红号GS果时耍第.M：巴,grfiW里sA力，II，u)M.ISrtWjOtiFc4AF.rt三11r¾t114.一mJK1.II1.niWIttI.删SUW/t划HtJtgBWt划，*:已知制MWf1.1.W)傅叶*IIEWNW惟.er«M呵心皿Q,)15»1小孙B式M却Sa1.wHH&A高力加E*.MMgAN则皿11B?示.S")%0%rRk-12M索EWWR例2<iXMUFF对矫基，利用苻号或我的鲁里叱支裁裆解至僖号fkHit的f三生8受举解：巳外冠号诬善的傅里叶红为Fhn切卜2，柠ISyT的媒性可徨"以pS811(jTj程18Eo对标性，考也如，6,>S-fJ?.有"E1-2、/sgn(-a>)-J*s8（八）尺度变换若Ff(t)=F(),则e="(？这里a是非零的实常数。下面利用FT的定义与积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。证明：因为Met)I-£1汽孙*令at=x,Ff(at)-f(xdx=-F(一)当a>0时aaF1.fM三-f(xjidxN-IF(一)当a<0时J。上述两种状况可综合成如卜表达式：用/3)H竺I，(a-0：同IaJ由上可见，若信号f(I)在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于领域的压缩。对于a=T的特殊状况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的说明可以采纳生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快,这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了(频域压缩)。时间平移（延时）?Ff(t)=F(),则FM(1.Q)卜尸(>Ta%下面进行证明证明：EFf(t-t0)三J2f(t-t0)e”'dt'令t-t0x.。国Ff(tjt0)=Ff(x)=ff(x3FxJ8="，3、/f(×>-dXJ-CO上式右边的枳分项为俾里叶变换定义式,于是可以得到RWMe）卜户（o/"'同理可以得到FWftJkF（O）/"2.6.7时域徽分若Ff(t)=F(),则尸惜卜M(0)-(j(D)aF(OJi)证明：因为仇)*2AFg,两边对t求导，可得誓(口,叫曲F1.1.°)所以I<*I尸字G"F0)同理，可以推出1.dtJ由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F3)乘以(j)n下面举一个简洁的应用例子。若已知单位阶跃信号U(I)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FTFUW1.-T-*»(«)Je+()-频域微分若Ff(t)=F(Q,则尸等卜-皿0尸笠黑卜(-/)Va)证明：因为/(3)=j-Wg?两边分别对3求导，可得J-co"所以=(-<)(0诡e利用今垓带分叫求乂行.w：窗干11t*JG)，IItKH赛“分情低m讨K-Jg”(3)再由EMt性可得<J=2X(>)时域积分若M£«)1=£阴，用f"M卜"助TF+小(OKg)三iiF1.fs"以d=C1.f(rK+J"成=口£/(r)”r)”e%刻UP多次序，开Ja利用船践，XQ的伸展。，芟n美星式W1.-r)-?!工/(。【口f3蜀怎-An力Wdr(jajy1.F(d)*HFe)S(出)愫割域，B累胆走(O=Q效第界则F4X1.(rMr(j0)b（八）«27利用11城古分修性中F加(t”.*»：由于"”，只"P-J二狈城由打熏由分幡中可5(t)-c<5(»)j嘎可见，这与利用符号函数求得的结果一样。领域积分若Ff(t)=FG),则有(0)（三）*-/(O-7时域卷积定理乱加，知面】"t齿"仿韧d(O*(I=YM*“康1.Ute蜕IOI1.Tf1.55义)=工工qDC.2小卜-匚工(尸伍WBcxomw)=F伉二工（沙一加机供于做芟解信函8好）"尸伉卜网以=F伉（以fA（0g定幻由上可见，带1的3U卷出的疝”与僮艇期M餐职，也就昊说，百慎号时或包积警效于娱诺帽9t,-''t领域卷积定理与时域卷积定理类似，叫工”"伉.山M证明方法同时域卷积定理，在这里不在重夏，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1.2o明显，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性确定的。2.6.13帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提与帕斯瓦尔定理。下面我们来探讨一下该定理在FT中的详细表现形式。若Ff(t)=F（八）,则»a1.a_9Aya)I力。)Ido=APQ"这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明白信号的能量在时域与频域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。AVa)IJ拉工/(O/.-£/(0=(二产(e-Rde卜I1.FT定义)(交换板分次序1(FT定义白JF'(。)亿/(0<''*,p<=5jU(9)jF*(aj)da)-j三,(a>)3t?式中匚火川后是信号f(t)的总能量，IP闻F为信号f(t)的能量谱密度。帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量f(t)2在整个时间内枳分计算出来，也可以按单位频率内的能量IP)”2在整个频率范围内积分来得到。此定理也可以如下证明。由相关性定理可得£/(r)/(r-/)</r-£p7()f9iatd取t=0,即得帕斯瓦尔定理。
