3-1第五章 三角函数（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx
第五章三角函数知识检理1.角的概念(I)定义：角可以看成条射线绕着它的迹旋传所成的图形.按旋转方向不同分为正角、一角、零角.(2)分类I按终边位置不同分为年限角.和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA绕然点O按不同方向旋转相同的汆所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为二4(4)终边相同的角；所有与角”终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=VJ=+*360°,«ZJ.2,强度制的定义和公式(I)定义：把长度等于主鱼氐的圆弧所对的耀心地叫做1弧度的角，蛆度单位用符号rad表示.(2)公式曲”的瓠度蚊公式IaI=*长用/表示)角度与歪度的换算,°=rad=,rad=(¾瓠长公式瓠长=1.r扇形面积公式S=；.一儿尸3.任意年的三角函依(1)设是一个任意角，R,它的终边OP与总位圆相交于点PCr,>).K1Isin=,8Na=<,1.ana=：(x0)(2)任意向的三角函数的定义(推1.)设印3)是角«终边上异于原点的任意一点,其到阻点O的用离为r.ft'Sinrx=;.COSa=5tana=xO).(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切'四余弦,如图."-*-A1.Mr<3<rUna4.常用结论(1)角度制与弧度制可利用180。=Jrrad进行互化，在同一个式手中，采用的度员制必须一致,不可混用.<2)象限角I第速限的aU<a<2ii,+ez)第.象限创“为学但"".*/=Ri«1的向第%以ff1.向加-Kva。”=*ez)(3)粕找角终边落伍粕上的角终边落在,轴上的角终边箫在十例轴卜的用Iuax.4Zi-U.ez)au-4>.ezi第四象限向I同2t"32<a<2A«+2.i.ifeZ5 .同向三角函数的基本关系(I)平方关系：SiMa+co=I.商数关系：=tann(+A-11.Z),6 .三角函数的诱导公式公式二三四五六角211+a(*Z)n+a-a1.aX2-a2+a正弦sina-sinc<-sinc<SinaCQMco4¾余弦cosa-cosaCOSa8Sasinc-Sina正切tan«UM)-tana一na、口认有变偶不变，符号看欧限7 .常用结论<1>同角三角函数的基本关系的常见变形sin%=I-cosja=(1.+c<>sa)(1-c>sa);CoGa=1-sin2a=(i+SinaK1-sina)；(sina±cosa)=1.±2sinacosrx.<2)送导公式的记忆口诀“奇变儡不变,符号召象限”.其中的奇、偶是指名的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.<3)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方.要特别注意判断符号.8 .两角和与差的正弦'余弦和正切公式sin(a±?)SinaCQM±CQ4aircos(«*/?)=c<>sttco"sinasi吸an(O=ana±1.an"14UuwxtaiVT9 .二倍角的正弦、余弦'正切公式sin22sincosa.cos2=cos%-sin%=2cosT=1-2sin%tan2=2tan1tan*K).辅助角公式sin十v=M+4sin(十¢0其中Siw=活方I1.两角和与差的正切公式的变形(1)1.ana+U1.jM=Um(+口)(1-IanaUin/?).(2)tantanZ=(an(«-/?)(1+tanman/J).12.倍用公式的变形(1)降鹏公式：sinacos=sin2:sin2-"CQea二)士罗菖.(2)升补公式：I±xin2a=(sin«±cos«)2：I+cos2a=2cos2rt:I-cos2a=2sin2a.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=siru.x0,211的图望匕五个关雄点是：(0,0),，I),(11.0).(y,-1.(211.0).余弦函数)=cos,W0,2n的图象上，五个美键点是；(OJ),图0),6，I),(0).(211.I).14.正弦函数、余弦函数、正切函数的图©和性质(下表中女EZ)函数>,=sinxy=Cosxy=Iain图就£Jc,A.I“h¼定义城RRr且XWi11+.AZ''值域1.1.I1.1.1.J1.R周期性211Inn奇偈性奇一致一一一奇函数单调性堵区何口丘一夫2M÷"(jteZ):做区间2±_2±(JteZ>城区间2履，211+11(eZ):增区间2依一九，2A1.(A三Z)箝区间(后一宗以+#CZ)对称中心(far,()KZ)(E片,0)(*eZ)(y.O)OIdZ)对称轴x="x+融GZ)X=k仅GZ)无考点突破考点一象限角与终边粕网的角【例1】若角魂的顶点为坐标原点,始边在X轴的非负半轴：.终边在出线y=一5xj:.则向盘的取俗集合是()A. (=211-j.*eZB. (=2jbt+y.ZC. (=fat-JtGzD. )(xa=i11-Zr【答案】D【解析】因为更及F=一1.r的便斜角是空.(ana=-j.所以终边落在直iV=X-3印Iqa=Ait亨KWZ1.故选D.归纳点拨(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些务件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后独过集合中的参数MtEZ)赋值来求得所得的角.确定总.包C终边位置的方法先写出Aa或钠范围，然后根据k的可能取值确定£a或例终或所在的位置.对点训练I.集合(。忸+：+全RCZw的珀所表示的范肺阴影部分温(ABCD【答案】C【解析】当A=HnWZ)的.2m+211+f.此时表示角的终边的苞围与jWa号表示角的终过的范用一样：百K=2”+1(”GZ)时，2m+jr÷2,m÷11+5此时式示角的终边的范围与n+jS"W;T+：表示角的终边的范围一样.故选C.2.若用是第二象限角，则施第象眼角.【答案】一或三【解析】：a是第二象】艮角，.*+2H<5+2mKdZ,二：十丘与号十瓜JdZ.当*为偶数时，号是第一象限角：当&为奇数时,强第三象限角.埠上.概第一或第三象限角.考点二弧度制及其应用【例2】已知扇形的掰心角是",半径为此弧长为/.若=去=IOcm,求扇形的械长A(2)若扇形的周长是20cm.当扇形的圈心地为多少弧度时,这个扇形的面枳最大？(3)若a=$R=2cm.求扁脖的孤所在的弓形的面积.【杯，】(1)0a=j.K=IOcm,所以=aIR=；XIO=-ycm).(2)由巳知得，/+2R=2O.所以S=少/?=氐202砌/?=IOR-N=-(A5P+25.所以当R=5时.S取价最大值,此时/=10,«=2.(3)设弓形而积为5-.由题意知/=半cm,所以5'=×1y×21×22×sinj=3nr.归纳点拨应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的皈长和再积公式解题时，要注意角&单住必匏是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最位问期.(3)在解决槃长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.对点训练1 .着眼见匕度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心用的弧度数为()A.5B.jC.3D.>3【备案】D【白析心图，等辿三角形A8C是芈径为/的I®。的内接三角形.则线段A8所对的园心角乙W3竽.作OW_1.A艮卷足为M.在RIAAOM中.AO=r.AOM=j.M=.=3r,=3r.由瓠长公式得Q=彳=呼=遮2 .已知扇形的周长为8cm,则该扇形面积的最大值为cm2.【答案】4【I?析】设扇形半径为，Cn1,弘长为/cm.则2r+=8(Kr<4).S=r=y×(82r)=-r+4r=(r2)2+4,当r=2时,扇形面枳最大.所以SmM=4(Cnf).考点三三角函数的定义【例3已知角”的终边过点8-8加-6sin30o),且COSa=-*则，”的依为()A.4B-坐C.I以吟(2)己知角的终边上一点f(3.m)(m0),且Sina=当N则cosa=,tan«=.(«1(DC(2)-乎一芈或平【新#】(1)由题意得点明一即"，-3),r=64wr+9,一8加所以8敞=诟E所以m>0,解得，“=)(2)设Hx.y).由题设知X=一#,y=w所以r=OP2=(-3)2÷w(O为原点)，即r=3+mi.所以Sina=氏所以r=3+"F=2小.EP3+w2=8,解得叨=W1.cos=三=-,1.a11«=-:当Wr=一小时，COSa=一乎,tan=当W归纳点拨(D直接利用三角语数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的里高,确定这个生的三角南数值.(2)已妞用的某一个三角函数值.可以通过三箱函数的定义列出含参政的方程.求参蚊的值.对点训练1.已知角的终边经过点(3.-4),则Sina+T二等干()vvc<1C37C37n13A.-5B.-i5C-20D.-【卷案】D【辞析】因为花«的终边级迂点(3.-4),所以Siiw=cos«故选D.考点四三角函数值符号的判定3-S5-34-51315【例4】设。是第二:象眼角，且卜局=一说,U-，-A.第一叙限角C.第三象限角(2)sin2cos3ta114的值(A.小于0C.等于0÷1(DB(2)AB.第二象限角D.第四象限为B.大于0D.不存在【解桁】(1)由。是第三象限南知.专为第二或第四象眼角,因为卜Oe1.=-C所以Co<0.琮上可知，号为第二象限角.(2)5<2<3<11<4<v所以2ad和3rad的角是第二象泯龙.4rad的角是第三象限角,所以sin2X),cos3<0ian4>0所以sin2cos3tan4<0.归纳点拨要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几条限角,再嫩箔正、余弦函数Ift在各象年的符号确定值的符号,如果不前确定角所在象限,那就要进行分类讨论求解.对点训练1.(2022江苏无锡期末>已知角a的顶点为坐标原点.四象限，则用的终边在()A.笫一象限C.第三象限【答案】B始边为X轴的非负单轴,若点P(Sina,uma)在第B.第：象限D.第四象限【解礼】1点P(Sina,tana)在第四象IR.sinaX),tan«<().二角a的终边在第二象限.故选B,考点五同角三角的
