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1第一章第一章 振动振动（Vibration）1.1 简谐运动的描述简谐运动的描述1.2 旋转矢量与振动的相旋转矢量与振动的相1.4 简谐运动实例简谐运动实例1.3 简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程1.6 阻尼振动阻尼振动1.5 简谐运动的能量简谐运动的能量1.7 受迫振动受迫振动 共振共振1.8 同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成1.9 同一直线上不同频率的简谐运动的合成同一直线上不同频率的简谐运动的合成*1.10 谐振分析谐振分析*1.11 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成2随后在大风中因随后在大风中因产生共振而断塌产生共振而断塌 1940年年华盛顿的塔科曼华盛顿的塔科曼大桥大桥在大风中产生振动在大风中产生振动31.1 简谐运动的描述简谐运动的描述一一. 简谐运动简谐运动(Simple Harmonic Motion)的概念的概念 简谐振动简谐振动(SHM)是物体对平衡位置的位移按是物体对平衡位置的位移按余弦规律随时间余弦规律随时间 t 变化的运动，变化的运动，)cos( tAx 注意：注意：来研究复杂振动；来研究复杂振动；22,dtxdadtdx v即是即是广义振动。广义振动。x2 其数学表示：其数学表示：简谐振动简谐振动是某些实际振动的近似，是某些实际振动的近似，可用可用将位移推广到其它物理量，将位移推广到其它物理量，4前面表达式中前面表达式中 ( t + ) 称为称为t时刻时刻简谐振动简谐振动的的圆频率圆频率(角频率角频率) = 2 /T 1.振幅振幅(amplitude) A最大位移的绝对值最大位移的绝对值(A恒为正值恒为正值)。 2.周期和频率周期和频率(反映振动的快慢反映振动的快慢) 周期周期T T (period)，频率频率(frequency) = 1/ T二二.描述描述SHM的三个特征量的三个特征量( A, T, ) 3.相位相位(phase)相位相位(或或相相)， 当当t = 0时即为时即为 ，称作，称作初相初相。5omx0 = AxA(伸长量伸长量)om0 x0 0- = /2 T=2xotA-A = 0omx0 = 0 xA6 矢量长度矢量长度=A；3. 旋转矢量法旋转矢量法矢量矢量以以 为角速度绕为角速度绕O点点逆时针逆时针旋转；旋转； t 时刻矢量与时刻矢量与x轴的夹角为轴的夹角为 t+ ; 则矢量端点在则矢量端点在x轴上的投影作轴上的投影作SHM。这种表示方法在确定这种表示方法在确定 及及研究振动合成较方便。研究振动合成较方便。 A t+ tt = 0 x = A cos( t + ) A 参考圆参考圆(circle of reference)ox xt=0时与时与x轴夹角为振动轴夹角为振动初相初相 ；演示演示7二二. 相位相位 相差相差 知道知道 t 也可知。也可知。 的运动状态。的运动状态。 对两个对两个同频率同频率的的简谐振动简谐振动 x1、x2，1212)()( tt等于初相差而不随时间变化。等于初相差而不随时间变化。显然，对一个确定的显然，对一个确定的简谐振动简谐振动来说，来说，其其 t 时刻的位置和速度时刻的位置和速度因此可直接用相位来表示因此可直接用相位来表示简谐振动简谐振动其其相差相差时刻的时刻的相位相位 t + ，8两振动步调相同，称两振动步调相同，称同相同相。 = 2k , k为整数为整数 取其它值取其它值两振动步调相反，称两振动步调相反，称反相。反相。两振动不同相。两振动不同相。 = (2k+1) , k为整数为整数超前超前 x1 振动振动。与时间无关的相与时间无关的相位位差，一般取差，一般取| 0，则说则说 x2振动振动9由由简谐运动简谐运动中质点位移随时间的关系中质点位移随时间的关系可得到质点加速度随时间的关系可得到质点加速度随时间的关系 对比两式有对比两式有1.3 简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程)cos( tAx )cos(222 tAdtxdaxdtxda222 10即质点受力即质点受力F与质点的位移成正比而方向相反，与质点的位移成正比而方向相反，实际上，受到实际上，受到恢复力恢复力的质点之所以作的质点之所以作简谐运动简谐运动是是从从牛顿第二定律，牛顿第二定律，知道质点知道质点(质量为质量为m) 受力受力xmmaF2 这样的力称为这样的力称为恢复力。恢复力。因为因为质点的位移质点的位移满足满足微分方程：微分方程：0222 xdtxd简谐运动的简谐运动的动力学方程动力学方程11式中式中 从微分方程中已知；从微分方程中已知；从微分方程理论可知其解为从微分方程理论可知其解为)cos( tAx 条件条件算出算出。位移位移 x0 和速度和速度v0的值，的值， sin,cos00AAxv而而A、 则需从则需从初初始始一般的一般的初始条件初始条件是：已知是：已知 t = 0的的也即也即)arctan(0022020 xxA vv121.4 简谐运动实例简谐运动实例在实际过程中，如发现某一在实际过程中，如发现某一物理量物理量x随时间有随时间有周期变化，周期变化，在一些合理的近似下，在一些合理的近似下，简谐运动简谐运动的动力学方程。的动力学方程。例例1. 单摆。单摆。lg 因因 很小，质点在很小，质点在x方向受力：方向受力：则设法列出该则设法列出该物理量物理量所满足的方程。所满足的方程。往往会发现往往会发现物理量物理量 x 满足满足lOx lxmgmg sinxm mg13例例2. LC振荡电路。振荡电路。LC1 视过程为视过程为似稳过程，似稳过程，利用利用基尔霍基尔霍CL+夫第二定律：夫第二定律：选逆时针为正方向，选逆时针为正方向，u CQtiL ddtQidd 0dd22 CQtQL则则14例例3. 复摆：可绕水平固定轴摆动的刚体。复摆：可绕水平固定轴摆动的刚体。zImgh 角角 chomgIz 刚体对水平轴刚体对水平轴o的转动惯量。的转动惯量。对对水平固定轴水平固定轴利用刚体的利用刚体的转动定律转动定律tLMzzdd sinmgh tIzd)d( hmgmgh sintIzd)d( tIzd)d( zI 0 mghIz 15例例4. 稳定保守系统中的简谐运动。稳定保守系统中的简谐运动。选选稳定平衡位置稳定平衡位置为为原点，原点，在原点处作在原点处作泰勒展开：泰勒展开： 32! 3)0(! 2)0()0()0()(xExExEExEppppp再将其势能函数再将其势能函数Ep(x)物体在原点物体在原点(平衡位置平衡位置)受力为零：受力为零：0)0( pEEp(x)展开保留最低级近似展开保留最低级近似：2! 2)0()0()(xEExEppp 16则物体在平衡位置附近运动时受力则物体在平衡位置附近运动时受力xxExFpd)(d)( xEp)0( （恢复力？）（恢复力？）因此，稳定平衡位置附近的运动为因此，稳定平衡位置附近的运动为简谐运动，简谐运动，其角频率其角频率mEp)0( 171.5 简谐运动的能量简谐运动的能量这里以水平振动弹簧振子为例。这里以水平振动弹簧振子为例。1. 动能动能)(sin21222 tAm220411AmdtETETkk 221vmEk 182. 势能势能)(cos2121222 tkAkxEp20411kAdtETETpp 3. 总能总能2221AmEEEpk Ek、Ep随时间随时间t变化，但总机械能变化，但总机械能E守恒。守恒。19S 1. 已知：已知：U形管内液体质量为形管内液体质量为m，密度为，密度为 ，管的截面积为管的截面积为S 。 开始时，造成管两边开始时，造成管两边液柱面的一定的高度差，液柱面的一定的高度差，试判断液体柱振动的性质。试判断液体柱振动的性质。忽略管壁和液体间的摩擦。忽略管壁和液体间的摩擦。分析：分析：方法一方法一 分析受力规律分析受力规律恢复力恢复力ky 令令SHM角频率角频率mSgmk 2 y y- y0gSyF 2 .const2 gSk 20方法二方法二 分析能量分析能量EP = 0221)(kyygSyEP 无损耗无损耗.const ESHM角频率角频率mSgmk 2 S y y- y0弹簧振动演示弹簧振动演示211.6 阻尼振动阻尼振动（自学）（自学）1.7 受迫振动受迫振动 共振共振（自学）（自学）221.8 同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成)cos()cos(222111 tAxtAx设两个同频率的振动解析表达式为设两个同频率的振动解析表达式为利用三角公式，可得其合振动利用三角公式，可得其合振动)cos(21 tAxxx)cos(221212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg 23利用利用旋转矢量法旋转矢量法可直观的得到上述结果：可直观的得到上述结果：1. 两振动两振动同相，同相， = 2 - 1 = 2k 合振幅合振幅 A = A1 + A2 为最大。为最大。2. 两振动两振动反相，反相， = 2 - 1 = (2k+1) 合振幅合振幅 A = | A1 - A2 | 为最小。为最小。xxx1x2 1A1A2 2A o同一直线同一直线上上n个同频率个同频率的简谐运动的合成的简谐运动的合成241.9 同一直线上不同频率简谐运动的合成同一直线上不同频率简谐运动的合成)cos()cos(2211 tAxtAx设两个振动的解析表达式为设两个振动的解析表达式为利用三角关系有合振动利用三角关系有合振动21xxx )2cos()2cos(21212 ttA25由上式可见由上式可见, 合振动可看作合振动可看作振幅缓变的简谐振动。振幅缓变的简谐振动。拍：拍：合振动在强弱之间反复变化的现象。合振动在强弱之间反复变化的现象。拍频：拍频：单位时间内合振动增强或减弱的次数。单位时间内合振动增强或减弱的次数。拍频拍频应为振动应为振动)2cos(212tA 频率的两倍：频率的两倍： 222212121212 2627*1.10 谐振分析谐振分析*1.11 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成（自学）（自学）28第一章结束第一章结束作业：作业：习题习题 1.1、1.4、1.7、1.13自己做：自己做：1.2、1.3、1.17
