位值原理与数的进制.教师版.docx

5-7位置原理与数的进制国掘本讲M轨论学何体系中的两大基本问题,也是学好找论学问所必须条写我的学问要点。通过本番的学习，笑求学生双小并硼熟皮用位值原理的表示彩式，驾版透制的表示方法、各迂制网的互化以及二进：W与实除问英的冷台应用.异学会在其它遗凯中位值原理的应用.从而使一些与数论用关的问卷向洁化.角IM蚱尊画一、位值JK理傀值摩班依定义：同一个数字，由于它在所勾的教里的住直不同，所表示的教值也不同。也犹是说，每一个数字除了有自身的一个值分.还一个“住置值例加“2”，写在个位上,就表示2个一.写在百位上，就表示2个百，这种数字和教位结合起来表示敬的原则，称为与教的位值原理.征值朦现的豪达给式：以六值数为例：Mef=a×10QOOO*bX10OQO*c×1000*d×10O+e×10*f.二、敷的进制我们常用的边制为十进制，材点是“逢十选一”。在实除生活中，除了十进制计效法外，还有其他的大于1的自然敦进位制。tt如二进制.八送制.十六进制导。二进制：在升鼻机中.所关纳的计找法是二进$4.即“逢二进一”.因此.二造肥中只用两个数字0和1.二进制的计收单位分别是1'2'、22,二遗制女也可以写做蚊开式的劭式,例如100I1.o在二进制中表示为：(100110)F1.×2,+0×2*+0×2i+1×2'+1X2'+0X2N制*4烯算法则：“满二选一二“借一当二”，泵法口诀是：零零得零，一卷拜冬.事一得发.一1.挣一.毒：对于附会自然数n,我们有n°=1°n选制：n遗制的运算法划是“逢n进一，借一当n”，n进：W的四则混合运算和十遗物一样，先来除，后加成：同圾运算，先左后右：有括号时先计算括号内的。址制同的冷染：如右国所示。5三三模块一、位原理【例1】某三位数正和它的反序数丽的基被99除，商等于的差I【解析】招黑“地军迪曳。我们不妨设a>b>c.Gbc-d×'>÷99=(100a*10b*c)-(100c*10b*a)÷99=(99a-99c)÷99=a-c:<H1电产目的差被9除，商等于与的热C*Mt1.tub-Iw)÷9=(10a-)-(10b+a)÷9=(9a-9b)÷9=a-b;【虱因】而与女的和被n除，商等于与的和.KtMt1.(茄+而)÷11=(1Oa+b)+(1Ob+a>÷11=(11a+11b)÷11三+b.例2(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位ft.假如原来的两位数和交换后的新的两位数的差是46,试求这样的两位数中大的是多少？ff¼1.2原主的两位数为汇，交换后的新的两位数为而，依据逆意.%-晶=(IOa+)-(1帅-)=*-历=45,a-b=5,原两位教最大时，十住敬字至多为夕，即a=9,b=4,欺来的两位教中最大的是94.【我国】将一个四位敷的数字依次倒过耒，得到一个羲的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802.求原来的四位JR.【解析】设原数为两,时新致为小如人而-丽=(I(Xxw+1OOr+10+。)-(100+100+1Oc+d)=999(d-a)+9(xc-m.依非题麦：.<999(<-11)+90(c-fe)=8802.111.×(J-)+10×(t-/»)=978888+90.推如d-=8.c-b9.用到d=9.=1.c=9.b=0.原数为1099.<假如一个自然敷的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自稣数，我的就称这个自然数为“巧铲例如，99就是一个巧数，因为9X9+(9+9)=99.可以证明，全部的巧数都是两位效.请你写出全部的巧数.【解析】说这个巧数为0'J<ab+a+b=10a+b,a(b+1)=10a,所以b+1=10.b=9«消息条件的巧敷在：19.29、39、49、59、69、79、89,99.例3(第五届希加杯培训试JB)有3个不同的数字，用它们想成6个不同的三位数，假如这6个三位效的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位效为<bc,(Uh,b<u,hca,ab,cha,因为“Zw=10(k+1.(W>+c.<=1.(K)+1.(k+>,它们的和是：222×(+c)=1554,所以a+Z>+c=1554+222=7,由于这三个数字互不相同J1.均不为0,所以这三个数中较小的两个教至少为1,2,而7-(1.+2)=4,所以最大的数最大为4：叉1.+2+3=6v7,所以技大的敦大于3,所以最大的数为4,其他两数分别是1,2.【观事(春杯决赛)有三个数字能1&成6个不同的三位萤，这6个三位数的和是2886,求全鹏这样的6个三位数中小的三位数.【解析】设三个数字分别为a、b、c,那么6个不同的三位致的和为：abc+acb+bac+bca+Cab+cba2(÷h+C)X1.OO+2(+Z>+c)×10+2(a+c)三222×(a+b+c)所以“+>+c=2886+222=I3,最小的三R教的百位数应为1.十住效应尽可能比小，由于十位敬与个位数之和肯定，故个位数友尽可能地大，版大为9,此时十位效为13-1-9=3,所以所有这样的6个三位数中*.小的三位数为139.【观事】用1,9,7三张数字卡片可以Ia或若干个不同的三位数，全部这强三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看此"6”。作为卡片“9”，由第3电的结果可知,1,9.7可统成的六个不同的三住我之和是(1+9+7)×222:同理,作为卡片“6”.1.6.7可蛆成的六个数之和是(1+6+7)X222,这12个数的平均值是：(1+9+7)+(1+6+7)×222÷12=573.5,<从9九个数字中取出三个，用这三个数可Ia成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330,则这六个三位数中小的可能是几？大的可能是几？【解析】议这三个数字分别为a、b,c.由于每个数字都分别有两次作百住、十住、个位,所以六个不同的三国致之和为222X(a÷b+c)=3330,抵知a+b+c=15.所以，当a、b、c«t1、5、9时，它与组成.的三位数最小为159,最大为951。<«a,b,c分别是。9中不同的数码，用a,b,c共Br1.a成六个三位数.假如其中五个三位数之和是2234,那么另一个三位数是几？【解析】由%>.r纽成的六个数的和是222x(+>+c).因为2234>222x10,所以+>+c>10.若“+C=I1,时所求数为2221.-2234=2O8,但2+0+8=10*11,不合遨意.若<j+b+c=12,则所求教为222x12-2234=430,但4+3+0=7h12,不合邀点.芳。+c=1.3.时所求咏为222x13-2234=652.6+5+2=13,杯台迎意.0+<=1.4.则所求疑为222x14-2234=874.但8+7+4=19=14,不合超点：.0+c1.5.则所求找2222x15-2234=1096,但所求数为三位数.不合荒鲂.所以，只有4+)+c=1.3时将合卷玄，所求的三位数为652.例4在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码,这个两位数就变成了三位数，有笠两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出全部这样的三位数.tF¼1.因为原两i数与得#1的三住数之和北原两Ii数的10佶.所以原两住微的个住数只施,走0或5.假如个位数是0,郡么无论插入汁久敷，仔剂的三Ii数至少是原两位散的10倍,所以个住数是5.议乐两位数是7.'Jb=5.变成的三位数为ab5,由老急有100a+10b+5=(1.0a+5)×9.it3a+b=4.变成的三住数只能是405.315,225,135«观一辆汽车进入商建马路时，入口处里程律上是一个两位It汽车少速行使.一小时后才到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又短一小时后滑到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问，再行多少小时，可看到里程碑上的敷是面这个三位数末两个数字交换所得的三位数.【解析】设第一个21数为10a+b:其次个为10b+a：第三个为100a-：由恋奇：(1a+b)-(10b*a)=(10b÷a)-(10a-):化向可以推得b=6a,0a,b9,得a=1,b=6;即每小时走61-16=45;(601-106)÷45=11;住行11小时，可看到里程碑上的我是前面这个三位教首末两个数字交换所得的三位数。【虱】将四位数的敷字依次M排列后，可以得到一些新的四位敏.现有一个四位敷码互不相同，且没有。的四位数M,它比新效中量大的小3834,比新数中量小的大4338.求这个四位数.【解析】设组成这个四位数的四个皱码为叫b,c,d(,9a>b>c>d),则有两一福=3834+4338=8172,可得999(“-d)+90X-c)=8172=7992+180,则-d=8,b-c=2.«=9,J=I,M=丽+4338,J1.M的四1数字分别为1、c、b.9,由f8+9=17的个位数字为7,所以b,C中有一个为7,fS>-<=2,所以C不能为7,故/>=7,c=5,W=1579+4338=5917.例5已知abed+a1.×+<th+a=370.求R*d.【解析】原或：1111a+111b+11c+d=1370,所以a=1,)C111b+11c+d=1370-1111=259.推知b=2：进而非知c=3,d=4所以abed=1234。【观】(2008年清华附中考)已知一个四位段加上它的各位数字之和后等于2006,则全部这样的四位败之和为多少.【解析】该这样的四住数为而S1Iabed+a+b+c+<1=2(X)8.即KX)Ia+10协+11c+2rf=2008,B1.a=I2._("若=2.则10协+1.k+M=6.得/,=c=0.<1=3.标23:(21若=1.则IOV>+1.1.c+2<=1.7,由于I1.c+2<<11.×9+2×9=1.17,所以IO1>1007-117=890.所以Z>>8,故，为9,I1.c+2<=1.7-9()9=98.则C为偶数，J1.1.1.c98-29=8(>.c>7,由C为偶数知c=8.4=5.嬴7=1985：所以，这样的Dii数有2003和1985两个，典和为：23+1.985=3988.例6有一个两位数.假如无数码3加写在它的前面，则可，到一个三位数，假如把敷玛3加写在它的后面，Ie可得到一个三位数，假如在它后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于WX).求JK来的两位数._【解析】谟原来的两值妣足,对得利的两个三值数分别为正和行，四位数为砺,由起加市+亚+初=3600,即10xm+3+300+3003+10x=36«).21.x<i=294,=I4.【观事】假如把数码5和写在某自然数的右1%期该数增加AI1.1.1,这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A«#设这个微为X,)t10x÷5-x=川111,化简褐9x=A1()6,等号右边是9的倍数，火法可丹A=I,x=1234.【虱】某八位敷奉如2ab<deffi,它与3的集枳形如加力饮4,J1.I七位数R"d弥应是多少？【解析】议ahcdefgx.则Iabtdefg-2×10+,abcdefg4IoX+4,依48题急.布(2×IO,+