二次函数复习提纲.docx
二次函数复习提纲（2012.11.15）一、学问网络简洁二次函数y=ax2（a0）图像（抛物线）开口a>0,开口向上a<0,开口向下顶点(0.0)对称轴y轴（或直线x=0）性质最值a>0,ysM3=°avo,yaXfft=O增减性a>0x>（）（对称轴右侧），递增<0（对称轴左侧），递减a<0x>0（对称轴右侧）,递减x<0（对称轴左称）,递增y=ax'+bx+<>H)图像（抛物线）开口a>0,开口向上a<0,开口向F顶点(,-J1.,4ac-h'>2a痴对称轴直线X=-A2a性质最值.i>v-4c-a->HMt.4aa<0，VuKa=-<Uh-4a增减性a>0x>-A（对称轴右边），递增2ax<-A（对称轴左边），递减2aa<0>-A（对称釉右边），递减<-A（对称轴左边），递增二、二次函数的概念：I、形如¥="/+阮+«“、b、C是常数，。工0）的函数，叫做二次函数。其中一是自变员，.，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。2、二次函数须同时满意两个条件：自变量最高次数为2；二次项系数不为0。例题1、当m为何值时,），=（/_4）产-3«+2*-1是关于X的二次函数？例题2、下列各式中，y是X的二次函数的个数为（）+2x+5.y=-5+8x-x'.y=（3x+24x-3）-12./.,y=ax+bx+c>=11u'+x.y=+1（，为常数,bO）A、3B、4C、5D、6三、抛物线'=*一犷+与Y=”的关系（图像的平移）I,二者的形态（开口大小）,位翼.y="（x-%>+&是由.V=a通过平移得来的，平移后的顶点坐标为oC卅.好y=v2s°）当人则向平移个单位,小的因2、抛物线虫丽向的图他当k>OH寸向平移A个单位.Q“如田检像当火<（对向平彳纲个单位尸心一"+A的图像'例题I、抛物线y=05（x+2尸-3可以由抛物线先向平移2个堆位，再向卜平移个堆位得到。例题2、地物线），=-丁向左平移1个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为°例感3、将二次函数.y=*'-2x+2化为）'=6xf"的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标.四、抛物线、'=+限+0h°）与a、b、c、的关系a、b、C的代数式作用说明a1.a的正负确定抛物线开口方向和增减性：2.时确定抛物线开口大小，忖越大，开口越小a>0开口向上a<0开口向下C确定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标（0c）c>()交点在X轴上方C=O交点在原点c<()交点在X轴下方b'1.a确定对称轴位置，对称轴为直线x=_22aa、b同号对称轴在y轴左侧b=()对称轴为y轴a、b异号对称轴在y轴右侧bi-4ac确定抛物线与X轴交点个数b2-4ac>0抛物线与X轴有2个交点hz-Aac=0抛物线与X轴仃1个交点b1-4c<0抛物线与X轴有无交点/b4c-fr2.2a4确定顶点位置顶点纵坐标皿正就是二次函数的最大值或最小值(-i),(a-,)抛物线与X轴交点坐标-b±yb-4acx'22aX1+x>=-,x1.x>=->所以aay=ax2÷fev÷c=a(x-XIXX-x2)Nb'-4acH抛物线与X轴两交点间的距离例题1、在同始终角坐标系中，函数.y="d+方与必WO）的图级例题2、己知二次函数y=ax、bx+c的图象如下图。则下列5个代数式：ac,abc.a+b+c,4a2b+c.2a+b.2ab.a-b+c.b'-4ac.4a+b1.'.其值大于0的个数为（）A、2B.3Cx4D.5例题3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正顾的是（）五、要推断二次函数图像的增减性，须弄清两个问即：的正负；彻称抽的左则还是右侧。1、当a×）时,在对称轴直线X=-=左侧（或说*<-与），y随X的增大而减小:2aIa在对称轴右侧（X>-2>，y随X的增大而增大。2«2、当a<0时,在对称轴直线X=-二左侧（或说y1.x的增大而增大:2«2a在对称轴右侧（Xy随X的增大而减小。例如,对于抛物线y=-3x2,a<0,其开口向卜,对称轴为、，轴（也可以说峻x=0）.所以该抛樱的增减性是：在y轴左侧，y随X递增：在y轴右侧，y随X递减。例题1、已知a<1,点（a1,y1.）»（a,y2）<a+1.,乃）都在函数y=./的图象上，则（）A、yi<y2<>,5B'C,yy<y2<yiD、y2<.V1.<y3六、求二次函数的解析式I、二次函数的表达式：一般式；顶点式；交点式：设抛物线与X轴交于点A（XyO）、见七,0）则抛物线的解析式为。2、地物线解析式的求法：已知抛物线上的三点，可用一般式求解：若已知顶点或对称轴、最大（小）值，可设顶点式求解：若已知抛物线与X轴的两个交点,可设交点式求解.求二次函数解析式应依据所给的条件，敏捷选择函数关系式，应用求出未知系数.例题I、二次函数y=axj+bx+c的对称轴为x=3,最小值为-2,且过（0,1）,求此函数的解析式。(顶点式)例题2、如图，在同始终角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交FA(一I,0)、点B(3,0)和点C(0,3),一次函数的图象与抛物线交B、C两点。(1)二次函数的解析式为，(2)当自变量:X时，两函数的函数值都随X增大而增大：(3)当自变量K时，一次函数值大二次函数值：y(4)当自变量X时，两函数的函数值的积小于0。例题3、已知抛物线y=4d+u+c经过三点A(2,6),yB(-1,2),C<0.1),求它的解析式0例题4、已知二次函数的图象经过原点及点(-'，且图象与X轴的24另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为。例题5、如图，抛物线的对称轴是直线X=,它与X轴交于人、8两点，与丁轴交C点。点A、C的坐标分别是<-h×(0,1.5)。(1)求此抛物线对应的函数解析式：(2)若点P是抛物线上位于轴上方的个动点，求面积的最大值。Ar七、二次函数与一元二次方程的关系.二次函数Xru+cH)的图像与X轴的交点有三科金3：有两小交点、有一个交点、没有交点。假如抛物线y=+bx+c与X轴有交点，则交点的横坐标是就是方程的根“应用：当图像与X轴仃交点时，令y=0,解方程就可求出抛物线与X轴交点的坐标。=b'-4ac方程”/+以+c=0的根的状况抛物线）,=a+ht+c与X轴的交点状况>0两个不相等的实数根两个交点=0<0八、抛物线y=+K+c与不等式“d+"r+C>O(axi+bx+c<0)的解集的关系I、若抛物线=«/+ht+<M>0）与X轴交于（x,0）<.q,0）两点5<A2）,则不等式+bx+c>O的解集为,不等式d+加+c<0的解集为2、若抛物线了=，*+加：+4<0）与*轴交于（.卬0）（6,0）两点（a<），则不等式+加+c>0的解集为.不等式+阮+cv的解集为例题I、二次函数V=a+尿+c（。Wo）的图像如图所示，x依据图像解答下列问题：Yi<）写出方程+阮+c=o的两个根：一q一TT,（2）写出不等式+Zu+c>O的解集：/三<3）写出不等式+fer+c<0的解集：团O（4）写出y随X的增大而减小的自变量X的取值范围。九、二次函数在实际中的应用二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系：运用二次函数的学问解决实际问题中的最大（小）值问题.例题I、如图13,二次函数y=+px+q（p<O>的图象与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0,-】），AABC的面积为:。（1）求该二次函数的关系式；/（2）过y轴上的点M（O.m）作y轴上午垂线，若该垂线/与AABC的外接圆有公共点，求m的取值疮围；1./（3）在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCDX为直角梯形？若存在，求出点D的坐标：若不存在，请C1.说明理由。例题2、某商品的进价为每件40元，住价为每件50元，每个月可卖出210件;假如每件商品的告价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨X元（X为正整数），每个月的销售利润为y元.（1）求y与X的函数关系式并干脆写出自变量X的取值范困：（2）每件商品的传价定为多少元时，每个月可获得最大利洞？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的传价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？依据以上结论，请你干脆写出售价在什么范用时，每个月的利润不低于2200元？例题1、某公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第*（月）之间的函数关系式（即前A个月的利润总和y与X之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上。该图纵从左至右，依次是线段小、曲线/和曲线因其中曲线四为抛物线的一部分，点4为该地物线的顶点，曲线改、为另一抛物线>=-5+205x-1230的一部分，且点力，&C的横坐标分别为4,10,12<1）求该公司累积获得的利润J，（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式：（2）干脆写出第X个月所获得S（万元）与时间X（月）之间的函数关系式（不须要写出计算过程）:（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
