2024年指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解.docx
1.本章的结构图如卜.：一、指数的性质(一)整数指数帘1 .整数指数种概念：an=aa-a(«e/V),=1.(O)nM"=-(O.hGN")2 .将数指数室的运算性质：(I)aman=an(rn,HGZ)(2)(,vf=n(w.feZ)(3)(«Z>)"="Z>"("GZ)3.。的"次方根的概念一般地，假如一种数的"次方等于“(>1.nGAr),那么这个数叫做”的"次方根.即；若x"=,则X叫做”的次方根，(">1.,"wN)例如：27的3次方根场=3,-27的3次方根/王=一3,32的5次方根疱=2.-32的5次方根=-2.阐明：若是奇数，则a的次方根记作乐；若a>O则标>O，若a<o则,<0;若“是偶数，且“>0则。的正的“次方根记作匹，。的负的“次方根，记作；一行：(例如：8的平方根土、用=±2&16的4次方根±折不=±2)若是佃数，旦。<O则板没意义，即负数没有偶次方根：(三)vOw=(j>I.Mevj0=0:式子江叫根式，叫根指数,。叫被开方数.(U7)”=.当是做故时，原式=Ia-R+1+I=S-)+(-a-b)-2a因此，+V(4+6)”=<2a-2t为奇数为偶数例3.计算：7+40+7-40解：7+40+7-40=7(5+v/2)2+庄-行=25=F>一2=6+25=J(5+1.>2(二)分数指数帘20J2I.分数指数系：=«"=5(«>0)="=43(“>0)即当根式的被开方数能破根指数整除时,根式可以写成分数指数%的形式:黄如阳的运算性质(2>(ai)"=<产对分数指数粘也合用，例如：若a>0则加=QJ=即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数补的形式C规定：(1正数的正分数指数林的意义是fJ="(">O,，wN,”>1.);(2)正数的或分数指数舞的意义是er?=4-=-=(>0.w,11cAr.11>1.).Wr2.分数指数厘的运算性质：整数指数履的运算性质对于分数指数后也同样合川C=%>0,r,swQ)(2)(f1.rJ,=0”(">0.r,scQ)(3)(ab)r=a,br(a>O.b>O.rGQ)阐明:<1.>有掰/指数需的运算性质对无理数指数于同样合用I2O的正分数指数厘等于0.0的负分数指数R没意义.3.例题分析：例I.用分数指数林的形式表达下列各式(。>。)：解：a<i=a2-az=«2=2：I2j/1p-3V':解(1)20"/?7-60V一3下庐2IIII5=2×(-6)÷(-3)<titz=4abi1.=4a：<1,Y/2,丫<2>min*=mi|I»m=阳例3.计Jn、冽各式：<1.>(5-1.25)+/5(2)(2)疝/M=去例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数.(2)I2I5IW:<1.>(5-1.25)÷5=5-57÷57=57÷5-53IIIIII1.I÷57$-5；=行-诉G=f7="(三)综合应用例1,化简：5(2)法一)A-7+A-7=()3+(A-),=(x+)f(X)2-'+(X)2J-,+5,+5,i,.解：5,-,+5'+5*1=51(1.+5+25)=31.×5,-'=-×5*.5IIII例2.化简：(/-/)+(./-户).III!I1.1.1.IIII解：(”一户)÷(户-户)=(+)(-)÷(x-)=x*+y*.I1评述：此遨也现了分子、分母指数间的联络.叫户尸=一,由此联想到平方差公式的特点,进而使何题得到处理.II3_2例3.己知+=3,求下列各式的值：(I)x7+x7:<2>x+a.IJb1IJbI解：<1>.(x3+)2=(i)a+2j7+(x)1=.v'+i+2=3+2=5.X2+X2=±y5.I又由.+x'=3得>0+7>0,II因此一+Js=4.=(x7+Ar)(x+-,)-1.j=5(3-1.)=25.(法二)()+(x-7)J2=(x3)2+(t)2+2a'x'=+x",+2而F+x3=(X+X-1)(x2+X2-D=(x+x,)(x+x,)2-3=3x(32-3)=185_2(x"+)2=20,J又由X+=3>O得K>O,工X2+2>0.3_2因此J+/7=同=24.二、指教函教1 .指数函数定义：-般地，函数y=a'(0>0t1.HI)叫做指数函数，其中X是自变量,函数定义域是A.例1.求下列函数的定义域、例域:(1) y=8(2>y=1.-,(3)y=3+,(4)y=(a>O,1.).解：<1>.2-IO.,.xI原函数的定义域是HxgK.xh：.令=则/O,rw?.,.y=8,(eR.tO)得y>O,y1.因此,原函数的值域是»，)，>O.y1.(2) .1.-(),0.0原函数的定义城是0.”).令I=I-(1.)Yx0)WDO<,2.y=JZ在0.1)是地函数0y<1.,因此,原函数的值域是0.1).(3)原函数的定义域是我，令，=-A1.MJO.Vy=3'在(田,0是增函数，二0<y1.因此，原函数的假域是(0.1.原函数的定义域是K.由>=>(),«W1.)得=一四，a+1>-1.«/*>0；.',>0.-I<y<I>y-因此，原函数的值域是（-1.1）.用明：求复合函数的例域通过换元可转换为求简朴函数的值域,例2.当>I时，证明函数y="I超奇函数.证明：由a'-1.O得，xhO,故函数定义域(HXH0有关原点对称.,、1.+1(+1*1+«A.3=KT=E7EfX).(-A)=-因此，函数是奇函数，a-I2例3.设。是实数，/(x)=-言J(XeR),(1)试证明：对于任意”.(x)在R为增函数:(2)试确定。的值，使/(x)为奇函数分析：此题虽形式较为发杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应规定学生注意不一样也型的解答措施.(1)证明：设x1.X2R.x1.<X2,则>2/(x1)-(a-2)=(a-)-)2_2=2j+I-2x+12(2,'-2,(FTixr7Tij,由于指数函数)=2'在K上是增函数.1.1.x1.<x2,因此2“2"即2'-2,<0,又由2*>0,得2”“>0,2”>0,因此,司）-占）<0即由于此结论与。取值无关,因此对于”取任总实数./（X）在R为增函数.评述：上述证明过程中,在对差式正负判断时,运用了指数函数的值域及单调性.(2)解：若/(x)为奇函数，WUf(-x)=-f(x),22即”=-(a2't+)2'+1变形得：2a=(2-,+1.)2,2*+1.2,+1.22(2*+1)解得：«=1.因此，当=I时./（幻为奇函数.三、对数的性质1.对数定义：一般地，假如。（>0Hz1）的次后等于M就是J=N,那么数b叫做。为底N的对数，记作IOg“N=b,"叫他对数的底数，N叫做真数，即=N,TogaN=baNb指数式“6=N底数¥指数对数式IOgaN=/，对数的底数真数对数用明：1.在指数式中恭N>0,.在时数式中，出数N>0.（负数与零没有对数）2 .：对任意a>OI1.a,均有«°=I,k>g.1.=O,I可样：Iogi1.=I.3 .假如把J'=N中的写成Iogt1.A1.则将d=N（对数恒等式）.2 .对数式与指数式的互换4"=2Iog42=1IO-2=0.011.og1.o0.01=-2Iog10100=2例如：42=16Iog416=2IO2=100例I.将下列指数式写成对数式:<>54=25:2、专：3"=27：(4>riy=5.37.ft?：(1)Iog5625=4；(2)<1g.-1.=-f1.:(3)1.og,27=«s<4)Iog1.5.37=m.3 .简介两种特殊的对数:常用对数：以10作底1.ogK,N写成IgN写成Ine.自然对数：以e作底为无理数，e=2.71828.1.og。N例2.(1>计算:Iog927,1.og625.解：设X=Iog»27则0t=27.31.1.=3j.r=s=625,5'=54,=5.(2)求X的佗：Iog5X=-解：x=342x2-1>O但必须：2x2-11.x=()台去，从而x=-2.3,r+2x-1.>O37(3)求底数：Iogc3=-.IogK2=d.5O353S解："5=3=(3)=37:1«78=2=27,=2.4.对数的运算性质：假如>0.I,f>O.N>0,那么(1) IOg“(MN)=1.ogM+Iogi1.N：M<2)1.og.,=1.og.,M-IogtfN：N<3)Iogi1.M"=111.ogtfM(ne/?).例3.计算：(1.)1.g1.4-2÷1.g7-1.g1.8:吟；则更一.、叵.3g9Ig1.2耨：(1)解法一：Ig1.4-21g1.g7-1.g1.8=1.g(2X7)-2(Ig7-Ig3)+Ig7-1.g(32X2)=1.g2+1.g7-21.g7+21g3+1.g7-21g3-1.g2=0;解法二：1.g14-21.g7-1.g!8=1.g1.4-1.g()2+Ig7-1.g1.8I4×711八=Ig-=g=0:(一)2×8”=%g9Ig3221.g32（3）吆旧+收8-3依加=怆（3,户+怆2=3怆10彳=>（1.g3+21g2-1.）=工1.g1.232Ig3+21.g2-1.2g10O2N5.按底公式：1.og,N=-（a>0.oh1；11>0.11I）证明：设1.og,N=九则'=N.两边取认为桁底的对数得：1。以。'=1。以八'.=从而得：X=警®，：.IogtIN=警.gw0*用明：两个较为常用的推论：（I）1.ogZx1.oga=I：（2）Iogb,'=Iogub（a-力>0且均不为I）."m证
