华理概率论习题答案().docx
华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第五册）学院专业班级学号姓名任课教师.第十九次作业二一空题:1. 在一批垫圈中随机抽取IO个，测得它们的厚度（单位:mm）如下：1.23. 1.24,1.26.1.29.1.20.1.32,1.23.1.23.1.29,1.28用矩估计法得到这批垫圈的数学期里”的估计值=_x=1.257-,标准差Cr的估计值$=s"=0.037-二.计兑题：1.设总体X服从泊松分布PQ）,（X】，为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计员九解：矩估计法，因为*收2）,所以总体平均值£乂=2.-1«1H而样本平均值X所以2=x-yxr：n,=in.=i极大似然法,设（XX2.,X"）的组观测值为（“2,X”），似然函数1.（2）=FTP（x=X,J=FT-取对数,得1.nZ2）=nA.+（x；In2-Inx；!）.=令气一"+£廿0,解得：i=1.£gda2幺幺故V9的极大似然估计量为：i=x。2 .设总体歹服从几何分布P(X=x)=pdY,(X=1.2.).(X'X2“X”)为X的样本。(1)求未知参数的矩法估计：(2)求未知参数的极大似然估计。解：由于g-Ge仞,因此砖=1.由矩法原则可知EA=X,故p-X.PX设样本(X/,X21.M)的一组观测值为01,勺,x”),由于总体为离散型,因此似然函数1.(p)=YmXi=J=pni1.-pfx,-n.x取对数,得In1.(P)=川叩+(JC1%,-nj1.n(1.-p),上式两端关于P求导，令台&W=工壬用&J=O.咖PI-P解上式，得_1.+-p=OpI-pX3 .设总体总体X的密度函数为/Xx)JP+D汽其中<9>-1.是0.其他未知参数，(XI.X2.X")是来自总体的样本,分别用矩估计法和极大似然法求9的估计量。解：总体X的数学期里为EX=匚h(x)dx=匚。(&+I)严=*吕，设x=-a,为样本均值，则应有：X=-"幺9+2解得3的矩法估计量为：务袒设(“兀,X”)是样本(X''X2,X")的观察值，则似然函数为：)=f1.(x,)=f1.xII(.9+1)"(XjX2.,)"0<Xi<1.,i=1.,2,.,w0.其他当0<y(z=1,2".，'、)时，U3)>Q.In1.(<9)=w1.n(<9+1)+&IIn兀,令-+£O,解得禺的极大似然估计值:d&9+I幺§=J-故9的极大似然估计量为：&=£1.nx.f1.nX.MM第二十次作业一.选择题：1. 设总体X的数学期望为“，(X1.X2.,X")是取自总体的样本，则下列命题中正确的是（八）A.X是的无偏估计量；B.Xj是"的极大似然估计量：CX是"的一致(相合)估计D.X不是“估计2. 设(X”X2,X")为总体XN(",b2)(“已知)的一个样本，无为样本均值，则总体方斧的下列估计量中，为无偏估计量的是(C).A.再(“商；B心*二计算证明题：1. 设总体gNS,D,(X''X2,X3)是$的样本,111(1) 证明：M=XI+X,+X31 24-4人I1.I#=X.+X.+X3-333221“钻二“X都是"的无偏估计。22“I,“2,“3这三个估计中，哪一个估计最有效？证明：口鼬+汕+打冷码+押2“莎召+*=，晞呻乙+t+卜扣乙+£磁2.扣兀召+”扣,哄珂t+r+f:讣触+1盛2,扶兀=(+I+扣=,所以，","2,"3都是的无偏估计.由于样本XJX?.X”独立同分布，那么Dj=DX+X2+1X冷叭+存兀+右DXD?"m½÷-X,+-XW.515-5*=-DXi+DX,+OX3=2525-2525可知>D3>D2,故,'2最有效.2. 设从均值为，方斧为旷20的总体中，分别抽取容量为M和r2的两个独立样本，Xi和X2分布是这两个样本的均值，试证：对于任意常数a、b(a+Z?=1.),Y=aM+bXz都是”的无偏估计,并确定常数a、b,使得DY达到最小。证明：因为EY-EfaXx+bX)=<iEX+bEX=(a+b)j=,故对于任意常数a,b(a+b=I),Y=GG+6X2都是"的无偏估计.由于两个样本独立，因此纭，乂2相互独立,那么由定理621.可知Oy=E(aX,+bX'=-+-Mb=I-(iK,得YhmDY=旦+<11)=(也+”2丫2勒也,求其最小值，("i+m)d2-2na+也，=2(q+,2)a-2"i1.>2=Aa=小i*2b=1.-a=,即当O=,b=时.DY最小。+n：n,+n2ih+1123. 设随机变量X服从区间(V9*+1.)上的均匀分布，其中V9为未知参数，XK2,X*是来自于X的一个样本，乂是样本均值,X(i)=min(X.X2.,XJ,证明:龙=乂-_1.和金=XD-都是V9无偏估计量(w)I).2n+1(2)比较$和玄哪个更有效？证明：因为X服从区间G9.<<9+D上的均匀分布，所以EX,=EX=,2.9*1I2n1.=2n>=i22所以应=XT是£9无偏估计量.再证$是<9无偏估计量，先求X的概率分布，0.X<»9X的分布函数F(X)=PX<x=Jx-6>,&<xv&+1.x>»9+1.X的密度函数p(x)=F(X)=:尸，<9X,X2,.,X”与X独立且同分布,故X的分布函数为：F<V=PX.1<x>=I-I-F<<,<Mx)=R:<x)=n1.-F(x)r1.jp(x)于是,"(I+9-×>z1<X<+/0,其它nx(1.+9-x)"'dxE<7三E(六+9=&,-"，+/+/+/所以念-X-也是V9无偏估计量；-(1)n+/因为X股从区间69.9+1)上的均匀分布,所以DXa.-1-11=DTX)=DX=-DX=212-E(X：)=£HIix-(1+_,),Tdx=(«9+1J,孑(.9+1)+0)71D(Xd)=E(X：D(EX尸=(0+1)2-(.9+1)+(.«72+1"+2n+1.r2)D3)'D(Xd)-)=DXm="cn+1.当Z>8时，-;V,。AVD,金比&更有效；(n+1.)(n+2)I2n当1皿7时，亦A)击，耐5弘牡迈更有效第二十一次作业一、填空题1 .置信区间的可信度由宣鱼汰上控制,而样本容量可用来调整置信区间的技确度。2 .有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的近量(单位：g)如下：506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布N(Jb2),则总体均值的置信水平为95%的置信区间为5004507.U,总体标准差b的置信水平为95%的置信区间为(4.58295991。选择题I.设从总体和总体中分别抽取容量为9,16的独立样本，以匚，亍，s：,S：分别表示两个独立样本的样本均值和样本方斧，若已知bi=b2.（元一歹一C.x-v->(23)'w则”I-“2的95%的置信区间为（C）（元_歹一<v-v-w75(25)S-B.2.关于“参数”的95%的置信区间为（a.O）”的正确理解的是（八）。A.至少有95%的把握认为）包含参数其值“：B.有95%的把握认为（a."）包含参数真值"：C.有95%的把握认为参数真值“落在区间（，0内：D.若进行I（X）次抽样，必有95次参数真值”落在区间（a,0）内.二、计算题I.设某地旅游者日消费额服从正态分布Nf双b漏,且标准差<7=12,今对该地旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误斧小于2（元），问至少需要调杳多少人？解：由于总体为正态分布,且标准斧b（=已知，又由1.-a=0.95,即a=0.05,杳表可得U仝=U（»975=1.96,2误斧小于2即U°若<2n1.96<2»）I3&2976故至少要调杳139）、。2 .某厂生产一批长为5mm的药片，已知药片长X-S,cr2）,随机抽取16粒药片，测卷样本均值X=4.87mm,样本标准差5=0.32mm,求总体的方差员在置信水平为0.95卜的置信区间。解：由样本值得S=0.32,n=16,a=0.05,自由度为F=15。杏表得加皿"5)=6.262加97s(15)=27.488。所以,(Zi-I)S2加973(Zi-I)S2=15X0322=00559.27.488=5X<322=().2453.力i>«56.262即/的置信水平为0.95的宏信区间为：0.0559,0.2453。3 .假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁、25岁女青年身高得数据如下:甲地区抽取】0名,样本均值1.64/77I.样本标准0.4/77.乙地区抽取10名,样本均值1.62/771,样本标准Is05.求(1)两正态总体方斧比的95%的置信区间(2)两正态总体均值斧的95%的置信区间。解：根据根据,得，=10,Sr=02Sr=0.4,对于二0.05杳表得：比75(29)二4.03阳5(9)9)二舄丽莎计并置信卜限和上限：珂>.gs(29)=1.75,即两正态总体方斧比的95%的置信区间为0.062.1.0075o(2)注意到Ie0.062.1.(X)75>在实际中可以认为b：/穴=1,即穴对于a=0.05杏表得：也75(18)=2.1009,计算m的置信上下限：(X-Y)+ta(>>t+n2)Sn.1一+一<-Vinnucc)9×0.22+9x0.42=(1.641.62)±2.1009x./V10+10-2=0.02+0.2971,即两正态总体均值斧的95%的置信区间为卜0.2771.0.31711。
