线性代数重点总结.docx
A不可逆r（,A）IA1.=OO人V=。有非零解O是解J特征值确列（行）向量线性相关A可逆r（八）=tAoo,AV=O只有零解岫勺特征值全不为零八的列（行）向量级性无关A”是正定矩阵月与同阶单位阵等价A=P"?亿，月是初等阵?GRJAr=夕总有唯解向量组等价相似矩阵矩阵合同m反身性、对称性、传递性J关于e,%,e“：称为."的标准基，."中的自然基，单位坐标向量:e,华,e“线性无关:k/，4=1：WE)=n：任意个”维向盘都可以用牛4.4线性表示.J行列式的计算:假设人与8都是方阵（不必同阶），那么：W犹加胭；（FAW1.w1.上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘枳.«.关丁副对角线:f1.2n-1.f1.2n-1.逆矩阵的求法:A'AT方阵的席的性明：A"A"=A"F(Amy=()w设/(x)=n+xn<+.+4*+%,对阶矩阵A规定：f（八）an,A,+am.1.Am-1+4+%E为A的一个多项式.J设AIw以1,.A的列向量为%,4,8的列向量为四,人,戊，AB的列向量为44.北，则T=M=1,2,.,S,即Mhh、B）=aa:用AB简若夕=他也,也尸.则A=b1.a1.+b2a2+bnan电的一个提即：八卤向第i个列向故/;是NKJ列向量的线性组合,组合系数就是q的各分量：高运算速度A川内第i个行向fib;是所内行向量的级性组合,组合系数就是a,的各分量.J用对向矩阵A左乘一个矩阵,相当于用A的对用线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用A的对角线上的各元索依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,AU与分块对角阵相乘类似,即：4=.B=AB=矩阵方程的解法:设法化成AX=B(B)XA=BAi1.Bn当IAIKO时,（D的解法：构造SB）UJ（FY）（当研一列时,即为克莱姆法则）（ID的解法：将等式两边转置化为A'X'=Br.用（D的方法求出X1.再转巴得XAr=。和Br=。同解（A8列向量个数相同），那么:它们的极大无关组相对应,从而秩相等：它们对应的局部组有一样的线性相关性;它们有相同的内在线性关系.判断八小.、是Ar=O的根底解系的条件:仇明线性无关:/,小,-，/是AV=O的解：S=-«A)=每个解向量中自由变量的个数.零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关：单个非零向量线性无关.局部相关，整体必相关：整体无关,局部必无关.原向信组无关,接长向量级无关：接长向量组相关,原向量组相关.两个向量线性相关=对应元素成比例：两两正交的非零向量组线性无关.向生组里,见，,华中任向量区QWiW)都是此向量组的线性组合.向量组织,“线性相关o向量级中至少有一个向量可由其余1个向量线性表示.向量级四,生,对线性无关。向量级中每一个向量/都不能由其余-1个向量线性表示.m维列向量组即，用线性相关Or（八）<n;in维列向量组,线性无关Or()=n.r（八）=0<=>A=o.假设a.%.“线性无关，而.:.,Q线性相关,那么夕可由.”线性表示,且表示法惟一.矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向址间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.向51组等价1和i.2,可以相互线性表示.记作：4%.,4华机,乩,4M阵等价IA经过有限次初等变换化为8.记作：AB矩阵4与8等价Or（八）=N0工>A8作为向量级等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与3作为向量组等价Or(a、,a»)=Ng、,外，仇)=Na、,%,a.,乩,公n矩阵A与8等价.向量组4,内,0可由向量组四,生,生线性表示<=>r(avazcan.r2.-.)=r(cr1.a,.-.1)=>r(71.7,.7,)r(1.<z,.-.,).向量组四,以M可由向量蛆%外,%线性表示,且s>,那么屈,用,戊线性相关.向量组4，人、4线性无关,且可由四,七,线性表示,那么sW.向量组凡火M可由向量组线性表示,Hr(4M.夕、).”),那么两向量组等价：任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.假设两个线性无关的向量组等价,那么它们包含的向量个数相等.假设A是，X"矩阵，那么r（八）min假设r（八）=i,A的行向量:线性无关：假设-A)=",A的列向量，性无关,即:,巴,A1.线性无关.战性方程组的矩阵式IAv=I向量式XIa1.+%+XM=Aa=M非零解i仰忆A=()/o阻=£有无穷多解(二n.%,.,凡线性相关夕可由.?,.q线性表示<=>AX=#有解=r（八）=r(Af1.)=Ax=夕有唯一组解At=。只有写解“，冶用向*On=>%.%.“线性无关3型T克莱姆法则or(4)r(4)不可由.4，.“线性表示=Ax=乃无解or(A)r(A/)Or（八）+1.=r(A)矩阵转置的性质：(.,)=A(B)'=BrAr(k)r=kr田=IA1.(A+J)r=r+r矩阵可逆的性质:(AT)T=八(八8)T=STAT(k)-,=k-'-'IATI=RrGry=(Ar)T(1.)*=(At)'=-*伴随矩阵的性质：（八）=IAr1.(4)=,A'(WTA，=c,(41)=(A)-,=(Ar)=()r(A)a=(4)*AA'=XA=Er(A)=n若r（八）=nI若KA)=-1O若r(A><“-1.IAB1.=I胭MI=KpIt=4线性方程组解的性质:(1)%.力是AA=OfKJ解.+7也是它的解(2)是Ar=O的解,对任意太制也是它的解7.11(3)如生,迎是At=O的解.对任意人个常数广人J"4,4，.即4%+4%+4z也是它的解(4)½Av=用向解.是其导出组At=(帕解/+是AX=/?的解/,小是Av=阴勺两个解,7-%是其导出A1.Av=0tJ解(6)生是AX=娜J解.则叫也是它的解O小是其导H也1.Ax=Of向解“是Ar=郁J解,则Arf1.+,+4丸也是/U=向解o%+4+4=14%+4,是Ar=OfyJ解04+4+4=。J设A为mx矩阵,假设ZA)=切,那么八4)=(44)，从而小=用一定有解.当时,一定不是唯一解.=竺普<堂默”,那么该向量组线性相关.向量维数向量个数，”是"A)和NA7?)的上限.J矩阵的秩的性质：r(4)=r(r)=r(4,4)r(A±B)r（八）+d)r(AB)minr（八）.r()r(k)=r（八）若Wo0若*=0Aor=r（八）+r()oB若A0,则“A)N1若AE，B.,.且r(AB)=OMIr（八）+r(B)n若尸.0可逆，则r(¼)=r(AQ)=r（八）若A可逆,则r(A3)=r(8)若B可逆.则NAB)=MA)若"八)=",则O=(阴,且A在矩阵乘法中有左消去律:/AB=O=B=OAB=AC=>B=C标准正交基I”个“维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与/正交(a.)=0.Ia是单位向兔I1.aI1.=J(,)=1.J内积的性质：正定性：(,)20,且(,)=0u>=o对称性：g)=9,)双线性：(a.4+&)=(4)+(ZM(a1.+a2,)=(a1.,)(,a,)g.fi)=(ea.)=(a,c)施密特I%,%,火线性无关，ZfI=%正交化卜F-畿./?,=a,-2y_(7M)小(ZWg制单位化:71=i¾三J犷备正交矩阵AA'=E.A是正交矩阵的充要条件：A的个行(列)向量构成丁的一组标准正交基.J正交矩阵的性质：4r=A1.;AAr=A1A=EiA是正交阵,那么Ar(或AT)也是正交阵：两个正交阵之积仍是正交阵：正交阵的行列式等于1或-1.A的特征矩阵IAE-A.A的特征多项刘E-=().A的特征方程IE-4=0.Ax=.rAt与性相关J上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的件元素.J假设IA1.=O,那么尤=0为人的特征值,旦Ar=O的根底解系即为属于之=0的线性无关的特征向JIAI=U4Ai=trJ假设M)=1,那么A一定可分解为A=1.,b2,，11»'=(aib1.+aj>2+q>nM,从IA而A的特征值为：i1=tr=ath1.+a2b+a1.hn,i=1=n=0.J假设A的全部特征值，f(x)是多项式,那么:/(4)的全部特征值为/(4),/(&).,/(儿)：当A可逆时，川的全部特征值为土,或,A.的全部特征值为乩乩月.kAk<A+bEa-bJ2是NKJ特征值,则:A-A:分别有特征值(.AmmA'ykAkaA+bEa+bJX是A关丁渊特征向量,则X也是关于(的特征向量.Anrt,/VHA与8相似B=PIAP(P为可逆阵)记为：AB的矩阵，PzP为对角阵,主对角线上的元素为4的特征值.JA可对角化的充要条件：”-r(4E-t)=&仁为4的重数.J假设”阶矩阵八有个互异的特征值,那么人与对角阵相似.A与8正交相研B=UAP(P为正交矩阵)J相似矩阵的性质：A"'B1假设48均可逆ArB1AABi(A为整数)©ME-AI=以七-，从而A8有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即：X是A关于,的特征向量，PTX是3关于4的特征向量.4=从而A8同时可逆或不可逆(§)r(<4)=r()tr()=tr(B)J数员矩阵只与自己相似.J对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；与对角矩阵合同：不同特征值的特征向员必定正交：人选特征值必定有A个线性无
